高数定理大解析必背.docx

1、高数定理大解析必背高等数学定理大解析-考研必捋版(考研大纲要求范围+高数重点知识)第一章 函数与极限1、 函数的有界性在定义域内有f(x) K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界； 如果有f(x) K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有 界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。2、 函数的单调性、奇偶性、周期性(指最小正周期)3、 数列的极限定理(极限的唯一性)数列xn不能同时收敛于两个不同的极限。定理(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛，那么数列xn 定有 界。如果数列xn无界，那么数列xn 定发散；但如果数列xn有 界，却不能断定数列xn 定收敛，例如数列1,

2、 -1 , 1, -1, (-1) n +1该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不 是充分条件。定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列 xn收敛于a,那么它 的任一子数列也收敛于a。如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列 xn是发散的，如数列1, -1, 1, -1, (-1) n+1中子数列x2k-1收敛于1, xnk收敛于-1, xn却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也 有可能是收敛的。4、函数的极限函数极限的定义中00 (或A0 (或f(x) 0),反之也成立。函数 f(x) 当 xfxO 时极限存在的充分必要条件是左极限右极 限各自存在并且相等，即f

3、(xO-O)= f(xO+O)，若不相等则lim f(x)不存 在。一般的说，如果lim (xfx) f(x)=c，则直线y=c是函数y =f(x)的图形水平渐近线。如果lim (xf xO) f(x)= x,则直线x=xO 是函数y= f(x)图形的铅直渐近线。5、 极限运算法则定理 有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无 穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小； 有限个无穷小的乘积也是无穷 小；定理如果 F1 (x) F2 (x)，而 lim F1 (x)= a, lim F2 (x)= b, 那么a b。6、 极限存在准则两个重要极限 lim(xfO)(sinx/x)=1；li

4、m(xfx)(1+1/ x)x=1 。夹逼准则 如果数列xn、yn、zn满足下列条件：yn xn zn 且 lim yn 二 a, lim zn 二 a,那么 lim xn 二 a,对于函数该准则也成立。单调有界数列必有极限。7、 函数的连续性设函数 y= f(x) 在点 x0 的某一邻域内有定义,如果函数 f(x)当x f x0时的极限存在，且等于它在点 x0处的函数值f(xO)，即lim(xf x0) f(x)= f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续。不连续情形： 1、在点 x=x0 没有定义； 2、虽在 x=x0 有定义 但lim (xf x0) f(x)不存在；3、虽在x=x

5、0有定义且lim (xf x0) f(x)存在，但lim (xf x0) f(x)工f(x0)时则称函数在x0处不连续或 间断。如果x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在， 则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点， 不相等者称为跳跃间断点) 。非第一类间断点的任何间断点都称为第 二类间断点(无穷间断点和震荡间断点) 。定理 有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为 0)是个在该点连续的函数。定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那 么它的反函数x= f(y)在对应的区间Iy= y| y = f(x),x lx上单调增 加或减少且连续。反

6、三角函数在他们的定义域内都是连续的。定理(最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间 上一定有最大值和最小值。 如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值 定理(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即 m f(x) M。定理(零点定理)设函数 f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a) 与f(b)异号(即f(a)x f(b)0),那么在开区间(a,b)内至少有函数 f(x)的一个零点，即至少有一点三(a E b)使f( E )=0。定理(介值定理)设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且在这 区间的端点处取不同的值f(a)=A

7、 , f(b)=B，那么对于A与B之间的 任一数C,在开区间(a,b)内至少有一点E使f( E )= C, (aE 函数在该点处连续；函数f(x)在 点 x0 处连续工 在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而 不是充分条件。3、 原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。4、 函数f(x)在点x0处可微= 函数在该点处可导；函数f(x)在点 x0 处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。第三章 中值定理与导数的应用1、 定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开 区间(a,b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即 f(a)= f(b)，那 么

8、在开区间(a,b)内至少有一点E( aE b),使的函数f(x)在该点 的导数等于零：f (E )= 0。2、 定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连 续，在开区间(a,b)内可导，那么在开区间(a,b)内至少有一点E(aE 0，那么函数f(x)在a,b上单调增 加；(2)如果在(a,b)内f (x)0，那么函数f(x)在a,b上单调减 少。如果函数在定义区间上连续， 除去有限个导数不存在的点外 导数存在且连续，那么只要用方程f (x)=0的根及f (x)不存在的点 来划分函数f(x)的定义区间，就能保证f (x)在各个部分区间内保持 固定符号，因而函数f(x)在每个部分区

9、间上单调。6、 函数的极值如果函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0是(a,b)内的一 个点，如果存在着点 x0 的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何 点x, f(x) f(x 0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。在函数取得极值处， 曲线上的切线是水平的， 但曲线上有水 平曲线的地方， 函数不一定取得极值， 即可导函数的极值点必定是它 的驻点(导数为 0的点)，但函数的驻点却不一定是极值点。定理(函数取得极值的必要条件)设函数 f(x)在x0处可导， 且在x0处取 得极值，那么函数在x0的导数为零，即f (x0)=0。定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数 f(x)

10、在x0 一个邻域内可导，且f (xO)=O，那么：(1)如果当x取X0左侧临近的值时，f (x)恒为正；当x去 X0右侧临近的值时，f (x)恒为负，那么函数f(x)在x0处取得极大值；(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f (x)恒为负；当x去 x0右侧临近的值时，f (x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值；(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f (x)恒为正或恒 为负，那么函数f(x)在x0处没有极值。定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数 f(x)在x0处具有二阶导 数且f (x0)=0 , f (xO)半0那么：(1)当f (x0)0时，函数f(x)在xO处取得极小值

11、； 驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1,x2恒有f(x1+x2)/2f(x1)+f(x1)/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。定理设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内具有 一阶和二阶导数，那么(1)若在(a,b)内f (x)0，则f(x)在闭区间a,b上的图形是凹的；(2)若在(a,b)内f (x)可积。定理 设f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，贝S f(x)在区间a,b上可积。3、 定积分的若干重要性质性质 如果在区间a,b上f(x) 0则/ abf(x)dx 0。推论

12、 如果在区间a,b上 f(x) g(x)则 / abf(x)dx abg(x)dx。推论 | / abf(x)dx| ab|f(x)|dx。性质 设M及m分别是函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值， 则m (b-a)/ abf(x)dx M (b-a),该性质说明由被积函数在积分区间 上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间a,b上连续，则在积 分区间a,b上至少存在一个点E,使下式成立：/ abf(x)dx= f( E ) (b -a)。4、 关于广义积分设函数f(x)在区间a,b上除点c (ac 可偏导。5、 多元函数可微的充分条件定理

13、(充分条件)如果函数z= f(x,y)的偏导数存在且在点(x,y)连续，则函数在该点可微分6多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z= f(x,y)在点(xO,yO)具有偏导数，且在点(x O,yO)处有极值，贝陀在该点的偏导数必为零。定理(充分条件)设函数 z= f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有 一阶及二阶连续偏导数，又 fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0，令 fxx(x0,y0) =0=A, fxy(x0,y0)=B, fyy(xO,yO)=C，贝S f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得 极值的条件如下：( 1) AC-B20 时具有极值，且

14、当 A0时有极小值；( 2) AC-B20 时没有极值；( 3) AC-B2=0 时可能有也可能没有。7、 多元函数极值存在的解法( 1) 解方程组 fx(x,y)=0 ， fy(x,y)=0 求的一切实数解，即可求得一切驻点。(2)对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数的值 A、B、C。(3)定出AC-B2的符号，按充分条件进行判定f(x0,y0)是否 是极大值、极小值。注意：在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏 导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑在内。第八章 二重积分 曲顶柱体的体积曲面的面积(A= f/V1+ f2x(x,y)+ f2y(x,y)d(T)平面薄

15、片的质量平面薄片的重心坐标(x=1/A ff x de ,y=1/A ff y de ;其 中A= ff d e为闭区域D的面积。平面薄片的转动惯量(Ix= ff y2 P (x,y) d e , Iy= ff x2 p (x,y) d e ;其中p (x,y)为在点(x,y)处的密度。平面薄片对质点的引力( Fx Fy Fz)2、 二重积分存在的条件当f(x,y)在闭区域D上连续时，极限存在，故函数f(x,y)在D上的二 重积分必定存在。3、 二重积分的一些重要性质性质 如果在D上，f(x,y) (x,y)，则有不等式ff f(x,y)d xdy ff (x,y)dxdy,特殊地由于-| f

16、(x,y)| f(x,y) | f(x,y)| 又有不等式 | ff f(x,y)dxdy| ff |f(x,y)|dxdy。性质设M , m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小 值，e是D的面积，则有m eWff f(x,y) d e M e。性质(二重积分的中值定理)设函数 f(x,y)在闭区域D上连 续，e是D的面积，则在D上至少存在一点(E,n)使得下式成 立：ff f(x,y) d e = f( E,n )* e4、 二重积分中标量在直角与极坐标系中的转换 把二重积分从直角坐标系换为极坐标系， 只要把被积函数中的x,y分别换成ycosB、rsinB，并把直角坐标系中的面积元素 dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrd 0O