23双曲线 教学设计 教案.docx

1、23双曲线 教学设计 教案 教学准备 1. 教学目标 1 知识与技能 1 理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题。2 能根据已知条件利用定义或待定发系数法求双曲线的标准方程.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。3 进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法.了解借助信息技术探究动点轨迹的几何画板的制作或操作方法。2过程与方法 1提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。2通过定义及标准方程的挖掘与探究 ，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用.3培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力。3 情感态度与价值观 1亲

2、身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶。2通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。3养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神.通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生良好的思维习惯，培养学生分析、解决问题的能力。2. 教学重点/难点 重点：通过类比、提出猜想进而操作确认，获得双曲线的定义并推导双曲线的标准方程。难点：1双曲线的标准方程的推导。2综合应用双曲线的标准方程解决生产生活中的实际问题。3. 教学用具 多媒体、木板、拉链等4. 标签 教学过程 教学过程设计1 旧知回顾、引入新课【师】同学们好。

3、从今天我们开始进入新一节内容的学习：双曲线及其标准方程。【板书】2.3.1.双曲线及其标准方程【师】请同学们回忆一下前几节课的知识？【板书】 椭圆的定义？ 椭圆的标准方程？ 椭圆的简单几何性质？ 椭圆知识的考查方式？【生】椭圆的定义是：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距即当动点设为m时，椭圆即为点集。【生】椭圆的标准方程有两个（分焦点在x轴和焦点在y轴两种情况）：【生】椭圆的简单几何性质有范围、对称性、顶点、焦点坐标、离心率等内容。【生】椭圆知识的考查方式有两种方式：给方程题

4、和求方程题。常见延伸问题有焦点弦、焦点半径、焦点三角形、直线与曲线的交点、直线与圆锥曲线相交的弦长公式、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。给方程题：较大分母是a2,较小分母是b2,焦点所在轴与含a2项所在的分子所含字母相同，可求出半焦距c,继而依次写出顶点、焦点坐标、离心率等。求方程题：根据待定系数法就是确定a2与b2和焦点所在轴。【师】下面我们研究一种我们初中曾经学过的“新”的曲线。（反比例函数的图像就是双曲线，但是坐标系建立方式不同，方程形式也不同）【师】考虑以下问题，思考后作答：问题：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？即“平面内与两个定点F1

5、，F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹”是什么？阅读教材P5255，回答下列问题：双曲线的定义、图形、标准方程、应用。【生】小组合作，思考、交流，得出结论。（1）小组合作1取一条拉链；2如图把它固定在板上的两点F1、F2；3 拉动拉链（M）。思考：拉链运动的轨迹是什么？观察AB两图探究双曲线的定义如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a如图(B)， |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a由可得：| |MF1|-|MF2| | = 2a上面两条曲线合起来叫做双曲线。【师】根据以上分析，试给双曲线下一个完整的定义？【生】文字描述：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常

6、数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点。两个定点间的距离|F1F2|=2c 叫做焦距。符号描述：| |MF1|-|MF2| | = 2a（2a2c,则轨迹是什么？【生】无轨迹。【师】（5）若2a=0,则轨迹是什么？【生】此时|MF1|=|MF2|，轨迹是线段F1F2的垂直平分线。【师】仿照椭圆建立坐标系的方法，请建立双曲线的方程。【生】建系设点。设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0)，常数=2a双曲线就是集合： P=M |MF1|-|MF2| = 2a 。叫做双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在x 轴上，焦点是

7、F1(-c,0),F2(c,0)，这里c2=a2+b2。【师】请同学们尝试将焦点所在轴设为y轴，过焦点连线的垂直平分线为x轴，方程会变成怎样？【生】和椭圆的方程焦点在y轴的变化一样，方程中的x、y位置互换！方程变为。【师】好，谁来总结一下？【生】双曲线有两个标准方程：分别是焦点在x轴上时和焦点在y轴上时。【师】讨论一下a、b有没有必然的大小关系？【生】双曲线中的a、b没有必然的大小关系，方程右边为1时，左边被减数的分母是a2。2 新知介绍1双曲线及其标准方程【师】于是，我们可以得到双曲线及其标准方程。文字描述：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于F1F2）的点的轨迹叫

8、做双曲线。符号描述和图形：（如右图）助记：(椭圆到双曲线)“和”变“差”，一字之差，天地大变，从有限变无限，从看整个到看不全，a、c大小互换，还好焦点坐标没变、三对称没变。【师】请将双曲线与椭圆对比记忆。2双曲线非标准方程的标准化【师】下面我们做一些练习！求出下列双曲线的a2、b2，并写出焦点坐标。 【生】（1）a216 b29，焦点F（5，0） （2）a29 b216，焦点F（5，0）【师】以上答案有问题么?【生】第二个方程有问题，方程右边不是1，而是1.【师】有什么办法么？【生】方程两边同时乘以1就可以了。【师】（2）的正确答案变了么？【生】正确答案是（2）a216 b29，焦点F（0，5

9、）【师】对于非标准方程，首先要标准化才可以提取相关信息。 非标准方程的陷阱及对应措施：（注意到就不会出错）1、方程右边不为1：两边同除以该数使右边为1（如练习1、3、5）2、方程左边不标准。 （1）位置不标准：被减数与减数位置互换，（MN型写为N+M型） （2）系数不标准：没有分母（分母为1）或分母为分数形式不恰当整理【生】（3）、（4）、（5）都是非标准方程，先标准化再提取信息。 （3）两边同时除以225，得到标准方程，a225， b29，焦点F（0，） （4）左边分母标准化，a21 b2，焦点F（，0） （5）两边同时除以5,得，位置和系数标准化，得3双曲线及其标准方程应用问题：双曲线及其

10、标准方程能解决什么问题？【生】由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。应用于通风塔，冷却塔、地标建筑等建筑设计。造型优美，功效显著！既轻巧又坚固。生活中和军事上可以用于定位。4例题处理【师】下面我们来处理书上的例题。【生】练习并讨论。【例1】已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。解：因为双曲线的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为：，2a = 6,2c=10，a = 3, c = 5.b2 = 52-32 =16.所以所

11、求双曲线的标准方程为：【拓展探究】已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，动点P满足|PF1|-|PF2|6.求动点P的轨迹方程.解：|F1F2|10，|PF1|-|PF2|6，由双曲线的定义可知，点P的轨迹是双曲线的右支.两焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，设它的标准方程为：2a=6,2c=10,a=3,c=5.b2 =52-32 =16.动点P的轨迹方程为【师】请大家总结求双曲线方程的基本步骤。【生】1.求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a2、b2. 2.现实应用中双曲线有可能变为单曲线（一支）,通过限制方程中的x的取值范围实现.【师】补充一点，还有一

12、种可能，焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况讨论。【例2】已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.【分析】首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差,可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值. 这样，爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上.解:如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.设它的标准方程为：设爆炸点P的坐标为(x,y)，则|PA|-|PB|340x2=680，即 2a

13、=680，a=340.又|AB|800，即 2c=800,c=400,b2 = c2-a2 =16000011560044400.炮弹爆炸点的轨迹(双曲线的一支)方程为(注：课本上只是x0,本设计更精确)【应用提升】1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?解:再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求

14、出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.【例3】如果方程表示双曲线，求m的取值范围.解：由【应用提升】如果方程表示焦点在y轴上的双曲线，求m的取值范围.由例题，从m的取值中选取适合的范围即有【拓展探究】已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程解：【师】引导学生分析条件与结论，认识到解题关键是确认已知条件中的隐藏信息。再次强调：1、求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a2、b2.2、焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况

15、讨论。3、现实应用题中双曲线有可能变为单曲线（一支）注意相应自变量x的取值会发生变化。【强化练习】已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的两个顶点，且，求顶点A的轨迹方程。解：在ABC中，|BC|=10，故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支，又因c=5，a=3，则b2=16，则顶点A的轨迹方程为。5小结：双曲线及其标准方程【师】现在我们来总结一下，双曲线及其标准方程。【板书/PPT】【双曲线的定义】平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。（1）当|MF1|-|MF2|=2a表示双曲线的右支。（2）|MF2|-|MF1|=2a

16、表示双曲线的左支。（3）若2a=2c,则轨迹是分别以F1、F2为端点方向向外的两条射线F1P、F2Q。（4）若2a2c,则无轨迹。（5）若2a=0,则轨迹是线段F1F2的垂直平分线。【双曲线的标准方程】有两个：分别是焦点在x轴上时和焦点在y轴上时。【考查方式】给方程题与求方程题给方程题一般涉及方程的标准化：对于非标准方程，首先要标准化才可以提取相关信息。非标准方程的陷阱及对应措施：（注意到就不会出错）1.方程右边不为1：两边同除以该数使右边为1（如练习1、3、5）2.方程左边不标准。 （1）位置不标准：被减数与减数位置互换，（MN型写为N+M型） （2）系数不标准：没有分母（分母为1）或分母为

17、分数形式不恰当整理求方程题：一般用待定系数法：3.求双曲线的标准方程就是确定三项内容：焦点所在轴（方程二选一）、a2、b2.4.焦点所在轴不确定时可能两种情况都成立，需分情况讨论。5.现实应用题中双曲线有可能变为单曲线（一支）注意相应自变量x的取值会发生变化。【易错点点拨】1.与椭圆相关知识混淆，误认为一定有ab或仍然用a2=b2+c2来求相关值。2.忽略非标准方程的存在，错误提取相关数据。3.该分情况讨论的没有分情况讨论。答案不完整。4、忽略问题的实际意义将双曲线的一支确定为两支。课堂小结（投影，给出知识脉络图） 1. 双曲线的定义 2. 双曲线的标准方程 3. 利用双曲线的定义和标准方程解

18、决简单的应用问题3 复习总结和作业布置1课堂练习一、填空题1.a=4，b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是 .2.焦点为（0, -6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标准方程是 .3.设双曲线上的点P到(5,0)的距离是15,则P到(-5,0)的距离是 . .4.如果方程表示双曲线，则m的取值范围是 .二、选择题5设F1，F2是双曲线的焦点，点P在双曲线上，且，则点P到x轴的距离()A1 B C2 D6P为双曲线为上一点，若F是一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是()A内切 B外切 C内切或外切 D无公共点或相交7已知两定点F1(5,0)，F2(5,0)，动点 P 满足|

19、PF1|PF2|2a，则当a3和5时，P点的轨迹为( )A双曲线和一直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线三、解答题8若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的双曲线，求k的取值范围。【解答】一、填空题二、选择题5. B 6. C 7. C三、解答题8.解：由双曲线的标准方程可知(k+1)0且(k2+k-2)0，9.解：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，因P1，P2在双曲线上，所以有所以所求双曲线方程为2作业布置1、自学完成课本P58练习。.2、课本P61习题23（A组）第1、2题wind 缠绕；上

20、发条 wound wound 课本P62习题23（B组）第2题shoot 射击 shot shot3、选做题：1.设P为双曲线上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|PF2|32，则PF1F2的面积为_.2.已知ABC的两个顶点A,B的坐标为A(-5,0),B(5,0)，且AC,BC的斜率之积等于m(m0)，若顶点C的轨迹是双曲线（去掉两个顶点），求m的取值范围.strike 敲击 struck struck(附答案：)1.由已知得2a2，又由双曲线的定义得，|PF1|PF2|2，又|PF1|PF2|32，3. 以n结尾的词，在词后加t。如：meanmeant, burnburn

21、t, learnlearnt|PF1|6，|PF2|4.又|F1F2|2c由余弦定理得sleep 睡 slept sleptPF1F2为直角三角形stick 坚持；伸出；粘住 stuck stuck2.设C点的坐标为C（x,y)，则AC的斜率为，BC的斜率为let 让 let let依题意有,化简得mx2-y2=25m(y0).因为m0，所以原方程可化为broadcast 播放 broadcast broadcast由题知方程表示的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（去掉两个顶点）,所以m0.may 可以 might 所以所求m的取值范围是(0,+)get 得到 got got4、预习提纲：前面学习了椭圆的简单几何性质，类比学习下一节双曲线的简单几何性质