中考复习讲义三种构造辅助圆解题的模型.docx

1、中考复习讲义三种构造辅助圆解题的模型中考热点 : 三种构造辅助圆解题的模型一、问题导读“圆”是一个完美的图形，在初中数学中具有丰富内容，其中大部分是与角度相关 性质，如在圆周角中能轻易找到，等角和直角并与圆心角联系也比较紧密 ，通过在图形 中构造辅助圆往往能获得意想不到的效果，如果题目中出现了以下条件：三点及三点以 上到同一点距离相等，作辅助圆；同一侧有相等的角，或者需要构造出相等的角时，作 辅助圆；若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆在这些情况下，借助圆 去解决一些问题都是非常好的一个选择，下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应 用。二、典例精析 类型 1 根据共端点等线段模型，

2、根据圆的定义构造圆1.如图，已知 OAOB OC，且 AOB kBOC，则 ACB是 BAC的(BOC2 BAC，而 AOBkBOC，即可得到 ACBk BAC解答】 OA OB OC， A， B， C在以 O为圆心的同一个圆上，如图， AOB 2 ACB， BOC2BAC，而 AOB k BOC，即 2 ACB k2 BAC， ACB k BAC故选： B2.如图，在 RtABC中， C90， AC6，BC8，点 F 在边 AC上，并且 CF2，点 E 为边 BC上的动点，将 CEF沿直线 EF翻折，点 C落在点 P处，则点 P 到边 AB距离的最 小值是（ ）A1.5 B 1.2 C 2.

3、4 D 以上都不对【分析】先依据勾股定理求得 AB的长，然后依据翻折的性质可知 PF FC，故此点 P 在以F 为圆心， 以 2 为半径的圆上， 依据垂线段最短可知当 FPAB 时，点 P到 AB的距离最短， 然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可【解答】如图所示：当 PE AB在 RtABC中， C90， AC6，BC8，由勾股定理可求得 AB10， 由翻折的性质可知： PF FC 2， FPE C 90PEAB， PDB90 由垂线段最短可知此时 FD有最小值又 FP为定值， PD 有最小值又 A A， ACB ADF， AFD ABCAF/AB=DF/BC，即 4/10

4、=DF/8 ，解得： DF 3.2 PDDFFP3.221.2 故选： B3.如图 2 所示 , 在凸四边形 ABCD中 ,AB=BC=BD,ABC=80, 则 ADC的度数为 度【解析】 AB BC BD，得到 A， C，D在以 B为圆心的同一个圆上， ACD=1/2ABD, DAC=1/2 DBC, ABC= ABD +DBC =80, ACD+DAC=1/2ABD+1/2DBC=1/2(ABD+DBC)= 1/2 80=40, ADC 180( DAC+ ACD) 180 40 140 故答案为： 1404.如图，在四边形 ABCD中， AB AC AD，若 BAC25， CAD 75，

5、则 BDC【解析】法一： AB AC AD，点 B，C， D在以 A为圆心的圆上， BAC 25， BDC1/2BAC12.5 ， CAD 75， DBC1/2CAD37.5 故答案为： 12.5 ， 37.5 法二： AB AC AD， ADB ABD， ACB ABC， ADC ACD， BAC 25， CAD 75， ACB( 180 25) 277.5 ， DAB DAC+ CAB 100， ADC ACD( 180 75) 2 52.5 ， ADB( 180 100) 2 40， BDC ADC ADB52.5 40 12.5 ， DCB DCA+ACB 52.5 +77.5 130

6、，DBC 180 DCB BDC180 130 12.5 37.5类型2 直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题5.如图所示，矩形 ABCG与矩形 CDEF全等，点 BCD在一条直线上， APE的顶点 P 在线的 O的圆上运动；以 AE 为直径作 O， O与 BD的交点即为所求解答】点 BCD在一条直线上， APE的顶点 P 在线段 BD上移动， APE为直角， 点 P 在以 AE为直径的 O的圆上运动，点 P 就是 O与 BD的交点，由图示知， BD与O有 2 个交点故答案为： 2点评】本题主要考查了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角解答该题时，采用了 数形结合”的数学

7、思想6.已知：如图，直尺的宽度为 2，A、B 两点在直尺的一条边上， AB6，C、D两点在直尺的另一条边上若 ACB ADB90，则 C、D两点之间的距离为 【分析】由 ACB ADB90，根据 90的圆周角所对的弦是直径，可得 A， B， C， D在以 AB为直径的圆上， C，D 即是此圆与直尺的交点，设 E为 AB中点，可得 EC是半径为3，然后作 EF CD交 CD于 F，根据垂径定理可得： CD 2CF，然后由勾股定理求得 CF的长，继而求得答案【解答】设 E为AB中点， ACBADB90，A，B，C，D在以 AB为直径的圆上， 连接 DE，CE，则 CE DE 1/2AB 3，作 E

8、F CD交 CD于 F， CD2CF，ABCD， EF2，在 Rt CFE和 RtDFE中， CF 5， CD25故答案为： 2 5【点评】此题考查了圆周角定理，垂径定理以及勾股定理等知识此题拿度适中，解题 的关键是由 ACB ADB 90 ，根据 90的圆周角所对的弦是直径，得到 A， B，C，D在以 AB为直径的圆上7.已知 RtABC中， AC5，BC12， ACB 90， P 是 AB边上的动点（与点 A、B不 重合）， Q 是 BC边上的动点（与点 B、C不重合）（1）如图，当 PQ AC，且 Q为 BC的中点时，求线段 CP的长；（ 2）当 PQ与 AC不平行时， CPQ可能为直角

9、三角形吗？若有可能，请求出线段 CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由【分析】（ 1）根据平行线等分线段定理得到点 P 是斜边的中点，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，要求线段 CP的长，只需根据勾股定理求得 AB 的长（ 2）若 PQ与 AC不平行，则要使 CPQ成为直角三角形只需保证 CPQ 90根据直径所对的圆周角是直角，则分析以 CQ为直径的圆和斜边 AB 的公共点的情况：一是半圆和 AB 相切；二是半圆和 AB 相交首先求得相切时 CQ 的值，即可进一步求得相交时 CQ的范围【解答】（ 1）在 Rt ABC中 ACB 90， AC5，BC12， AB13；Q是 BC的中点，

10、CQ QB；又 PQAC， APPB，即 P是 AB的中点， Rt ABC中， CP 13/2 （ 2）当 AC与 PQ不平行时，只有 CPQ为直角， CPQ才可能是直角三角形以 CQ为直径作半圆 D，1当半圆 D 与 AB相切时，设切点为 M，连接 DM，则 DM AB，且 AC AM 5， MBABAM1358； 设 CDx，则 DMx， DB12x；在 RtDMB中， DB DM+M，B即（ 12 x） x+8 ，解之得 x 10/3 ， CQ 2x 20/3 ；即当 CQ20/3 且点 P 运动到切点 M位置时， CPQ为直角三角形2当 20/3 CQ12 时，半圆 D与直线 AB有两

11、个交点，当点 P运动到这两个交点的位置 时， CPQ为直角三角形3当 0CQ20/3 时，半圆 D与直线 AB相离，即点 P在 AB边上运动时，均在半圆 D 外， CPQ 90，此时 CPQ不可能为直角三角形当 20/3 CQ 12 时， CPQ可能为直角三角形8.已知平面直角坐标系中两定点 A(-1,0),B(4,0), 抛物线 y=ax+bx-2 过点 A,B, 顶点为 C, 点 P(m,n) 为抛物线上一点 , 其中 n0.(1) 求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标 ;(2) 当 APB为钝角时 ,求 m的取值范围 .【分析】( 1)利用待定系数法求出解析式，再利用 x0得出 y 的值即

12、可得出 C点坐标(2)因为 AB为直径，所以当抛物线上的点 P在 C的内部时，满足 APB为钝角，进而得出 m的取值范围； 解:(1) ( 1)抛物线 yax+bx2(a0)过点 A，B，a-b-2=0, 16a+4b-2=0 ，解得： a=1/2, b=-3/2 ， 抛物线的解析式为： y1/2x 3/2x 2， 当 x0时， y 2， C( 0， 2)；(2) A(-1,0),B(4,0), 抛物线与 y 轴的交点 D 的坐标为 (0,-2),如图，抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 M(3/2,0),AD=1+2=5,AB=(4+1) =25,BD=4+2=16+4=20, 则 AD+BD

13、=AB,由勾股定理的逆定理 ,知 ABD是直角三角形 ,ADB=90,以 M为圆心 ,以 MA为半径作圆 则 M经过点 D,则 M内抛物线上的所有的点都可以是 P点,且使 APB为钝角 ,根据抛物线及圆的对称性 , M与抛物线的另一个交点坐标为 (3,-2), 则满足条件的 m的取值范围为 :-1m0 或 3mn 0点 P为 x轴正半轴上的一个动点，当 APB达到最大时，直接写出此时点 P 的坐标 【解析】当以 AB 为弦的圆与 x 轴正半轴相切时，对应的 APB最大，根据垂径定理和勾股定理即可求解当以 AB为弦的圆与 x 轴正半轴相切时，作 CDy 轴，连接 CP、CB A的坐标为（ 0， m），点 B 的坐标为（ 0， n），10.在平面直角坐标系中，已知点 A（4，0）、B（6，0），点 C是 y 轴上的一个动点，当 BCA 45时，点 C的坐标为 【分析】如解答图所示，构造含有 90圆心角的 P，则 P 与 y 轴的交点即为所求的点C注意点 C 有两个【解答】设线段 BA的中点为 E，点 A（4，0）、B（ 6，0）， AB 10，E（ 1，0）（1）如答图 1 所示，过点 E在第二象限作 EP BA，且 EP 1/2AB 5，则易知 PBA为等 腰直角三角形，