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1、完整版傅里叶变换分析doc第一章 信号与系统的基本概念1信号、信息与消息的差别？信号：随时间变化的物理量；消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。2什么是奇异信号？函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。例如：单边指数信号 （在 t=0 点时，不连续），单边正弦信号 （在 t =0 时的一阶导函数不连续）。较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号 ( t) 和单位阶跃信号 u( t) 。3单位冲激信号的物理意义及其取样性质？冲激信号：它是一种奇异函数， 可以由一些

2、常规函数的广义极限而得到。 它表达的是一类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。其重要特性是筛选性，即：(t) x(t)dt (t) x(0) dt x(0)4什么是单位阶跃信号？单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为：1 t 0u(t)0 t 0它可以表示单边信号，持续时间有限信号，在信号处理中起着重要的作用。5线性时不变系统的意义同时满足叠加性和均匀性以及时不变特性的系统，称为线性时不变系统。即：如果一个系统，当输入信号分别为x1(t)和 x2(t)时，输出信号分别是y1(t)和 y2(t)。当输入信号x(t)是 x1 (t) 和x2(t )的线性叠加，即：x(t) ax1 (t) bx2 (

3、t ) ，其中 a 和 b 是任意常数时，输出信号y(t)是 y1 (t) 和y2 (t )的线性叠加，即：y(t )ay1(t )by2(t )；且当输入信号x(t )出现延时， 即输入信号是x(tt0 )时， 输出信号也产生同样的延时， 即输出信号是y(tt0 )。其中，如果当 x(t ) x1 (t ) x2 (t ) 时， y(t) y1 (t ) y2 (t ) ，则称系统具有叠加性；如果当 x(t ) ax1(t) 时， y(t) ay1 (t) 则称系统具有均匀性。线性时不变系统是最基本的一类系统，是研究复杂系统，如非线性、时变系统的基础。6线性时不变系统的意义与应用？线性时不变

4、系统是我们本课程分析和研究的主要对象， 对线性时不变性进行推广， 可以得到线性时不变系统具有微分与积分性质，假设系统的输入与输出信号分别为 x(t ) 和 y(t) ，则当输入信号为dx(t)时，输出信号则为dy(t )；dtdttt或者当输入信号为x( )d时，输出信号则为y( )d。另外，线性时不变系统对信号的处理作用可以用冲激响应（或单位脉冲响应） 、系统函数或频率响应进行描述。而且多个系统可以以不同的方式进行连接，基本的连接方式为：级联和并联。假设两个线性时不变系统的冲激响应分别为：h1(t) 和 h2 (t) ，当两个系统级联后，整个系统的冲激响应为：h(t )h1 (t)* h2

5、(t ) ；当两个系统并联后，整个系统的冲激响应为：h(t )h1 (t) h2 (t) ；当 t0 时，若 h(t ) 0 ， 则此系统为因果系统；若| h(t) |dt， 则此系统为稳定系统。第二章 连续时间系统的时域分析1如何获得系统的数学模型？数学模型是实际系统分析的一种重要手段，广泛应用于各种类型系统的分析和控制之中。不同的系统，其数学模型可能具有不同的形式和特点。 对于线性时不变系统， 其数学模型通常由两种形式：建立输入 - 输出信号之间关系的一个方程或建立系统状态转换的若干个方程组成的方程组（状态方程） 。对于本课程研究较多的电类系统而言， 建立系统数学模型主要依据两个约束特性：

6、 元件特性约束和网络拓扑约束。一般地，对于线性时不变连续时间系统，其输入 -输出方程是一个高阶线性常系数微分方程，而状态方程则是一阶常系数微分方程组。在本章里，主要讨论系统的输入 -输出方程。2系统的起始状态和初始状态的关系？起始状态：通常又称 0 状态，它是指系统在激励信号加入之前的状态，包含了全部“过去”的信息（一般地，我们认为激励信号都是在零时刻加入系统的） 。初始状态：通常又称 0 状态，它是指系统在激励信号加入之后的状态。起始状态是系统中储能元件储能情况的反映。 一般用电容器上的电压 vc (0 ) 和电感中的电流 i L (0 ) 来表示电路的储能情况。若电路的输入信号中没有冲激电

7、流或阶跃电压，则 0 时刻状态转换时有：vc (0 ) vc (0 ) 和 i L (0 ) iL (0 )3零输入响应和零状态响应的含义？零输入响应和零状态响应是根据系统的输入信号和起始状态的性质划分的。如果系统无外加输入信号（即输入信号为零）时，由起始状态所产生的响应（也可以看作为由起始状态等效的电压源或电流源 -等效输入信号所产生的响应） ， 称为零输入响应， 一般用 yzi (t ) 表示；如果系统起始无储能， 系统的响应只由外加信号所产生， 称为零状态响应， 一般用 yzs (t )表示。根据等效原理，系统的起始储能也可以等效为输入信号，根据系统的线性性质，系统的响应就是零输入响应与

8、零状态响应之和。4冲激响应与阶跃响应的关系和意义？冲激响应与阶跃响应都属于零状态响应，而且分别是特殊激励条件下的零状态响应。冲激响应：是系统在单位冲激信号 (t) 激励下的零状态响应。 对线性时不变系统， 一般用h(t) 表示，而且利用 h(t) 可以确定系统的因果性和稳定性。当 t0 时，若 h(t ) 0 ， 则此系统为因果系统；反之，系统是非因果的。若| h(t) |dt， 则此系统为稳定系统。反之，系统是不稳定的。阶跃响应：是系统在单位阶跃信号 u(t ) 激励下的零状态响应。对线性时不变系统，一般用g (t ) 表示。t( ) d ， 有 g(t)t根据 u(t )h( )d或： 根

9、据(t )du(t ) ，有 h(t )dg (t)dtdt5卷积积分的意义？卷积积分定义为：y(t ) x(t )* h(t ) x( )h(t )d其意义在于：将信号分解为冲激信号之和，借助系统的冲激响应 h(t ) ，求解线性时不变系统对任意激励信号的零状态响应 yzs(t ) 。在数学计算时，一般分为 5 个步骤：Step1：变量代换， 将给定信号的自变量 t 转换为 ；例如： x(t) x( ), h(t) h( )Step2：反褶，把两个参与卷积运算的信号中的一个信号反褶；例如： h( ) h( )Step3：平移，把反褶后的信号沿横轴（时间轴） 位移 t ；例如： h( ) h(

10、t )Step4：乘积，把变换后的两信号相乘； 例如： x( ) h(t )Step5：积分，根据位移不同导致的信号乘积的不同结果，在非零区间进行积分运算； 即t 2。x( ) h(t )dt1第三章 傅里叶变换分析1什么是频谱？如何得到信号的频谱？目前我们熟悉的是信号幅度随着时间变化而变化的常见表示方式， 比如正弦信号的幅度随着时间按正弦函数的规律变化；另一方面，对于正弦信号，如果知道其振幅、频率和相位，则正弦信号的波形也惟一确定。根据这个原理和傅里叶级数理论，满足一定条件的周期信号都可以分解为不同频率的正弦分量的线性组合，从而我们用各个正弦分量的频率 -幅度、频率-相位来表示周期信号的描述

11、方式就称为周期信号的频谱表示，随着对信号研究的深入，我们将周期信号的频谱表示又推广到非周期信号的频谱表示，即通常的傅里叶变换。对于周期信号，其频谱一般用傅里叶级数表示，而傅里叶级数的系数就称为信号的频谱：f T(t)a0ancosn1tbnsin n1tc0cncos(n1tn )n 1n 1或fT (t)Fnejn 1tn其中：1Tjn 1 tFn2fT (t )edtn 0, 1, 2,.,TT2Fn1 (anjbn )n1,2,.2F0a0对于非周期信号，其频谱一般用傅里叶变换表示：f (t)1F ( j )ej t d2其中：F ( j ) f (t )e j t dt2周期信号和非周

12、期信号的频谱有何不同？周期信号的频谱可以用傅里叶级数表示，它是离散的、非周期的和收敛的。而非周期信号的频谱用傅里叶变换表示， 它是连续的、 非周期的和收敛的。 若假设周期信f T (t)TT号为 fT (t ) ， 非周期信号为2t，并假设周期信号fT (t ) 的傅里叶级数f0 (t )20otherwise的系数为 Fn ，非周期信号 f0 (t ) 的傅里叶变换为 F ( j ) ，则有如下的关系：Fn1 F ( j ) | n11 F ( j ) |2 nTTT3吉伯斯现象是如何产生的？当周期信号存在不连续点时， 如果用傅里叶级数逼近， 则不论用多少项傅里叶级数， 只要不是所有项，则在

13、不连续点必然有起伏，且其起伏的最大值将趋近于一个常数，大约等于不连续点跳变值的 8.95%， 我们称这种现象为吉伯斯现象。4傅里叶变换的对称性如何应用？傅里叶变换的对称性是指：若f (t )F ( j ) | F ( j ) | ej ( )则 f ( t)F ( j ) | F ( j ) | ej () ；f * (t )F * ( j)| F ( j ) | e j ()f * ( t )F * ( j)| F ( j ) |e j ( )从而应用傅里叶变换的线性性质：实信号的傅里叶变换具有共轭对称性， 即实信号的幅度谱具有偶函数的特点， 而相位谱具有奇函数的特点。 实际中我们应用的基本

14、都是实信号和实系统， 因而在频域分析时基本上都用到这一特性。例如：某实系统的频响特性是： H ( j )| H ( j) | e j h ( )；输入的是实信号，具有频谱： X ( j) | X ( j) | e jx ( )从而输出的也是实信号，且频谱为：Y ( j)| H ( j) | X ( j ) | ej h ( ) x ( )5傅里叶变换的对偶性有何意义？傅里叶变换的对偶性建立了信号的时域表示波形和频域表示波形之间的对偶特点，即信号的表示形式不论是哪一种，在对信号的信息表示方面是等价的。利用傅里叶变换的对偶性可以很方便地求解某些信号的傅里叶逆变换。6傅里叶变换的微分积分特性应用有何

15、条件？傅里叶变换的微分积分特性有两个方面， 即时域的微分积分特性和频域的微分积分特性；根据傅里叶变换的对偶性，两类的条件也具有对偶性。这里说明应用时域的傅里叶变换微分积分特性的条件。时域微分特性表示为：若 f (t)F ( j) ， 则： df (t)j F ( j )dt时域积分特性表示为：tF ( j)若 f (t)F ( j) ，则：f ( )djF (0) ( )一般地，这两个特性常结合起来用于求解复杂信号的傅里叶变换。即：假设：df (t)易于得到相应的傅里叶变换( j ) ；(t)dt从而应用积分特性，有( j)F ( j )(0) (j注意，上述间接求解法中，对于傅里叶变换的时域

16、微分特性应用没有特殊的要求，但是，对于积分特性的应用要求信号 f (t) =0（ t )。若不能满足此条件，则上式的积分特性表达式要修正为：( j)f ( ) ( )F ( j ) f (j7什么是信号的周期取样，取样对信号产生什么样的影响？取样会不会改变信号的性质，如果改变，如何改变的？随着数字技术的发展，数字信号处理的优点得到了信号处理和电子应用领域工作者的广泛认可，因而数字系统的应用领域也越来越广。而数字系统要求处理的信号是数字信号，这样就要求产生数字信号，在工程中，一般是通过 A/D 转换器实现的，而从物理概念上来说，首先对连续时间信号进行取样，然后通过对取样得到的离散信号量化而获得数

17、字信号。一般地，取样是通过周期地启动取样开关，即取样是等间隔进行的，因而称为周期取样。信号经取样后，由连续时间信号而成为离散时间信号。若取样间隔太大，将会造成信号中信息的丢失；而若取样间隔太小，虽然可以很好地保留信号中的信息，但需存储的数据量太大，造成系统的负担太重。如何很好地确定取样间隔，可由奈奎斯特取样定理进行选择。而且取样对信号产生的作用可用下式表示：假设信号 x(t) 的频谱为 X ( j ) ，对其进行周期取样得到 xs (t ) ，取样频率为 f 1/ T （T 是取样间隔）。则 xs(t) 的傅里叶变换为：X s( j )1X ( jj 2 n)T nT8什么是调制？调制对信号产

18、生什么样的影响？调制的优点是什么？如何从幅度调制中解调出原基带信号？调制就是通过携带信息的基带信号 （调制信号） g (t) 去控制载波信号 c(t) 的某一个或某几个参数，使这些参数按照 g(t) 的规律变化，从而形成具有高频频谱的窄带信号 s(t) 。其目的是为了实现信号的高效传输。信号被调制后，将易于发射和接收，且易于区分同一频带的不同基带信号。幅度调制有多种方式，对于常规幅度调制方式，只要利用简单的包络检波就可以实现解调；而对于抑制载波调制或脉冲幅度调制，可以利用同步解调方式实现。9系统频域分析的特点是什么？系统频域分析方法实际上也是对线性时不变系统的具体运用。 它是将输入信号分解为不

19、同频率的正弦信号的线性组合， 而这些正弦信号经系统后， 其稳态输出也是同频率的正弦信号，但幅度和相位受到系统的控制而改变，在输出端，对这些幅度和相位发生改变的正弦信号相加，即得到系统的输出信号。而将输入信号推广到任意的频谱存在的信号，则为系统的频域分析方法。10不失真传输的条件是什么？在实际工作中能否获得不失真传输系统？不失真传输的意义是输出信号和输入信号相比， 只有幅度大小和出现先后的差别， 而波形相同。根据线性时不变系统的特点，这就必然有系统的冲激响应为h(t) K (t t0 )或系统的频率响应为H (ej ) Ke j t 0由此可见，该系统是一个理想系统，因而在实际工作中是不能实现的

20、。11理想低通滤波器的频率响应具有什么特点？理想低通滤波器定义为具有如下频率响应的系统：H LP (e j )Kej t0| | c0otherwise因而若输入信号的频谱全部包含在滤波器的通带范围之内，则此低通滤波器对于此输入信号而言就为不失真传输系统。但理想低通滤波器实际上也是不能实现的，工程中，常用实际的滤波器来逼近理想滤波器。第四章 拉普拉斯变换分析1拉普拉斯收敛域的意义是什么？拉普拉斯变换定义为：X ( s) x(t)e stdt是广义积分， 其中变量 s j 是复变量，因而积分是否存在将取决于变量 s， 那么使得广义积分存在的 s 的值所组成的集合就是拉氏变换的定义域。这说明，拉氏

21、变换的收敛域确定了拉氏变换存在范围。收敛域不同，说明信号不同。对于单边拉变换来说，其收敛域的一般形式为 0 。2极点和零点的意义是什么？它们有什么作用？如果lim X (s)， 则称 sp 是 X ( s) 的极点；s p如果lim X (s)0 ， 则称 sz 是 X ( s) 的零点。s z极点的位置决定了信号波形变化参数，如单调性（增长或衰减）和振荡快慢（频率） ；而零点确定了信号波形的不变参数，如振幅和初相位。3拉普拉斯变换的初值定理和终值定理的应用条件是什么？拉普拉斯变换的初值定理为：若f (t)F ( s) ， 且 f (t) 连续可导则 lim f (t )f (0 ) lim

22、sF( s)t 0s其应用的条件为 F (s) 必须是有理真分式； 如果不是，则必须利用长除法，将 F (s) 表示为 ：F (s) B( s) F0 (s)其中， B(s)是 s 的多项式， F0 ( s) 是有理真分式。则有lim f (t )f (0 )f 0(0 ) lim sF0 ( s)t 0s拉普拉斯变换的终值定理为：若f (t)F ( s) ， 且 f (t) 连续可导则lim f (t)f ()lim sF (s)ts 0由于我们只讨论单边拉氏变换，因而其应用的条件为 F (s) 的极点必须全部在 s 平面的左半平面，否则，其终值不存在。4如何获得电容或电感元件的等效电路？根

23、据电容和电感的伏安特性以及拉氏变换的微分积分性质， 可以很方便地获得两种元件的s域等效电路。电容： iC (t )C dvC (t )拉氏变换： I C (s)sCVC ( s)CvC (0 )（1）dt或 VC (s)1 I C (s)1 vC (0 )（2）sCs从而等效电路为：1sC11IC (s)sCvC (0 )I C (s)s+CvC (0 )+VC ( s)+VC (s)（ 1）（ 2）同理，对电感也可以进行类似的分析，请参阅课本Page193 图 4-15 和图 4-16。第五章 连续时间系统的 s 域分析1系统函数是如何定义的？它的意义何在？系统函数定义为：H ( s) Yz

24、s(s)X (s)其中， Yzs (s), X (s) 分别是系统的零状态响应和输入信号的拉氏变换； 也就是说系统函数定义为系统的零状态响应和输入信号的拉氏变换的比值。换一种写法： Yzs(s) H (s) X ( s) 。根据拉氏变换的时域卷积性质，则有 yzs (t) h(t )* x(t ) 。从而系统函数和系统的冲激响应是一对拉氏变换的关系。因而其地位和作用与系统的冲激响应完全等同。但是由于在拉氏变换域内，零状态响应是系统函数和输入信号的乘积运算，因而应用系统函数分析系统将比应用冲激响应的方法分析系统更为简便和直观。2在给定相应的系统条件时，如何利用系统函数求解系统的零状态响应和零输入

25、响应？线性时不变系统的系统函数一般是有理分式的形式， 因而又可以表示为零、 极点分布的表示形式， 对求解系统的响应特别方便。对 n 阶系统，已知其系统函数为 H ( s) ，其 n 个极点（假设互不相同）分别为 p1, p2 ,., pn 。若给定系统的起始条件 y(k ) (0 ), k 0,1,2,., n 1， 则系统的零输入响应为：nyzi (t)Azii epi ti1其中： Azii 由下面的方程组确定。nAzii y(0 )i1nAzii pi y (0 )i 1nAzii pi n 1y( n 1) (0 )i1若给 定 系统 的输 入信 号 x(t) ， 其拉 氏变 换为 X

26、 ( s) ， 则系 统 的 零 状 态 响 应 为Yzs( s) H ( s) X (s)的逆变换。3系统函数在分析系统稳定性时有何作用？根据线性时不变系统稳定性的条件：| h(t) | dt，则h(t )est dt |s 0， 即冲激响应的拉氏变换的收敛域包含虚轴，而考虑到我们研究的都是因果系统，其收敛域为0 ，说明当系统函数的极点都在 s 平面的左半平面时，系统是稳定的，这也说明了系统函数的极c 为半径，以点位置决定着系统的稳定性。4系统函数在分析系统的频率响应时有何作用？系统的频率响应定义为：在正弦信号激励下，系统的稳态响应随信号频率变化而变化的特性。根据对系统的稳态响应的研究，系统的频率响应与系统函数（必须是稳定系统）之间具有如下的关系：H ( j ) H (s) |s j用系统函数的零极点表示为：