高中三角函数常见题型与解法.docx

1、高中三角函数常见题型与解法三角函数的题型和方法一、思想方法1、三角函数恒等变形的基本策略。（ 1）常值代换：特别是用“ 1”的代换，如 1=cos2 +sin2 =tanx cotx=tan45 等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项： sin2x+2cos 2x=(sin 2x+cos2x)+cos 2x=1+cos2x；配凑角： =（ +）， = 等。22（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。（ 4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切） 。（ 5）引入协助角。 asin +bcos = a 2 b2 sin( + )，这里协助角 所在象限由 a、b 的符号

2、确立，角的值由 tan = b 确立。a（ 6）全能代换法。巧用全能公式可将三角函数化成 tan 的有理式。22、证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行假名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、剖析法、比较法、代换法、相消法、数学概括法。3、证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、剖析法，利用函数的单一性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及鉴别法等。4、解答三角高考题的策略。（ 1）发现差别：察看角、函数运算间的差别，即进行所谓的“差别剖析” 。（2）找寻联系：运用有关公式，找出差别之间的内在联系。（3）合理转变：选择适合的公

3、式，促进差别的转变。二、注意事项对于三角函数进行恒等变形，是三角知识的综合应用，其题目种类多样，变化仿佛复杂，办理这种问题，注意以下几个方面：1、三角函数式化简的目标：项数尽可能少，三角函数名称尽可能少，角尽可能小和少，次数尽可能低，分母尽可能不含三角式，尽可能不带根号，能求出值的求出值。2、三角变换的一般思想与常用方法。注意角的关系的研究，既注意到和、差、倍、半的相对性，如1( ) ( ) 2 2 也要注意题目中所给的各角之间的关系。2 2注意函数关系，尽量异名化同名、异角化同角，如切割化弦，互余互化，常数代换等。熟习常数“ 1”的各样三角代换：1 sin2 cos2 sec2 tan2 c

4、os sec sin cos0 tan 2 sin 等。2 4 6注意全能公式的利害：它可将各三角函数都化为 tan 的代数式，把三角式转变为代数式但常常代2数运算比较繁。熟习公式的各样变形及公式的范围，如sin = tan cos ， 1 cos 2cos2 ， 1 cos tan 等。2 sin 2利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行起落幂办理，如 1 cos 2 sin2 ，22 21 sin sin cos ， 1 sin sin cos 等从右到左为升幂，这种变形有益用根式的化2 2 2 2简或通分、约分；从左到右是降幂，有益于加、减运算或积和（差）互化。3、几个重要的三角

5、变换：sin cos 可凑倍角公式；1 cos 可用升次公式；1 sin 可化为 1cos2，再用升次公式；asinb cosa2b2sin（此中 tanb ）这一公式应用宽泛，娴熟掌握。a4、单位圆中的三角函数线是三角函数值的几何表示，四种三角函数y = sin x、y = cos x、 y = tan x、 y =cot x 的图像都是“平移”单位圆中的三角函数线获得的，所以应娴熟掌握三角函数线并能应用它解决一些有关问题5、三角函数的图像的掌握表此刻：掌握图像的主要特色（极点、零点、中心、对称轴、单一性、渐近线等）；应该娴熟掌握用“五点法”作图的基来源理以及迅速、正确地作图。6、三角函数的

6、奇偶性结论： 函数 是奇函数kkZ。y = sin (x ) 函数 y = sin (x )是偶函数k2kZ。 函数 y =cos (x)是奇函数k2kZ。 函数 y = cos (x )是偶函数kk Z。7、三角函数的单一性三、典型例题与方法题型一 三角函数的观点及同角关系式此类题主要观察三角函数引诱公式及三角函数的符号规律 .解此类题注意必需的分类议论以及三角函数值符号的正确选用。1、三角函数的六边形法例。2、几个常用关系式：（ 1），三式知一求二。2（2） 1sin1 sin。2（ 3）当 x 0, 时，有 sin x x tan x 。23、引诱公式（奇变偶不变，符号看象限） 。4 、

7、。5、熟记关系式sinxcosxcos x； cos xsinx。44444【例 1】记 cos(80 )k ,那么 tan100（）A 、1k 2B 、1k2C、kkkkk2D、11 k 2解： sin80 o1cos2 80 o1cos2 (80o)1 k 2,tan100tan80osin 80o1k 2.。应选 Bcos80ok评注： 本小题主要观察引诱公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转变思想的应用。同时娴熟掌握三角函数在各象限的符号。【例 2】 cos300（）A 、3113B、 -C、D、2222解： cos300cos 360 60cos6012评注： 本小题主要观

8、察引诱公式、特别三角函数值等三角函数知识。练习：1、 sin585的值为（ ）2B、233A 、C、2D、2222、以下关系式中正确的选项是（ ）A 、 sin110 cos100 sin168 0 B、 sin168 0 sin110 cos100C、 sin110 sin168 0 cos100 D 、 sin168 0 cos100 sin1103、若 sin40 ，则 cos, tan514、 “2k (kZ ) ”是“ cos 2”的（）62A 、充足而不用要条件B、必需而不充足条件C、充足必需条件D、既不充足也不用要条件5、 若 cos2sin5, 则 tan()A 、 1B、 2

9、C、1D、 222题型二 化简求值这种题主要观察三角函数的变换。解此类题应依据考题的特色灵巧地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和引诱公式，进行化简、求值。【例 3】已知为第三象限的角，cos 232 )。,则 tan(54解：为第三象限的角2k 32k24k22 4k3( KZ )又cos230,函数 y=sin( x+)+2 的图像向右平移4个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ）A 、解 ：2B 、3将 y=sin(334C、 3D 、 3324x+)+2的图像向右平移单位后为个4343y sin (x) 2 sin( x) 233334,3k=2k即30 ，2又k 1故3k3 ，所以

10、选 C2 2评注： 此题观察了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，观察了同学们对三角函数图像知识灵巧掌握的程度。【例 7】函数 f (x)(13 tan x) cos x 的最小正周期为（）A 、23C、D、B、22【答案】 A【分析】由 f ( x)(13 tan x)cos xcos x3 sin x2sin( x) 可得最小正周期为2,6【例 8】函数 y2cos 2 xsin 2x 的最小值是 _ 。【答案】 12【分析】 f ( x) cos 2xsin 2x12 sin(2 x)1，所以最小值为： 124【例】若函数 f (x)(13 tan x) cos x，0x，则 f

11、( x) 的最大值为（）92A 、1B、 2C、 31D、32【答案】 B【分析】由于f ( x)(13 tan x) cos x = cos x3sin x = 2cos( x)3当 x3是，函数获得最大值为2。 应选 B。练习：1、将函数 ysin x 的图像向左平移( 0 2) 的单位后， 获得函数 ysin( x) 的图像，则等6于（）A 、57D 、11B 、C、66662、若将函数 y tan(x)(0) 的图像向右平移6个单位长度后，与函数ytan(x) 的图像46重合，则的最小值为（）A 、1B、11164C、D 、323、将函数 ysin 2x 的图像向左平移个单位，再向上平

12、移1 个单位 ,所得图像的函数分析式是()4A 、 ycos 2xB 、 y2cos2xC、 y 1sin( 2x)D 、 y2sin 2 x44、已知函数f (x)sin( wx)(xR, w0) 的最小正周期为， yf (x) 的图像向左平移| |个单4位长度，所得图像对于y 轴对称，则的一个值是（）A 、B 、3C、D、88245、已知函数f (x)sin(x)( xR,0) 的最小正周期为，为了获得函数g( x) cosx的图像，4只需将 yf (x) 的图像（）A 、向左平移个单位长度B、向右平移个单位长度88C、向左平移个单位长度D、向右平移个单位长度446、已知 a 是实数，则函

13、数f ( x)1 a sin ax的图像不行能是 ()7、已知函数 f ( x) =Acos( x)的图象如下图，f ( )2），则 f (0) =（232211A 、B、C、D 、33228、函数 y Asin( x ) （ A, , 为常数， A 0, 0 ）在闭区间 ,0 上的图像如下图，则 = .9、已知函数 y=sin （ x+ ）（ 0, - ）的图像如下图，则 =_10、已知函数 f ( x) 2sin( x) 的图像如下图，则 f7。1211、已知函数 f (x) sin( x )( 0) 的图像如下图，则 12、已知函数 f ( x)3 sinxcosx(0) ， yf ( x) 的图像与直线 y 2的两个相邻交点的距离等于，则 f ( x) 的单一递加区间是（）A 、 k,k5, kZ5, k1112B 、 k, k Z121212C、 k, k, k ZD、 k,k2 , kZ366313、假如函数 y 3sin(2 x) 的图像对于点4| 的最小值为（）(,0) 中心对称，那么 |3A 、B、C、3D 、64214、已知函数 f ( x)sin( x)( xR)，下边结论错误 的是（）2A 、函数 f ( x) 的最小正周期为 2B 、函数 f ( x) 在区间 0, 上是增函数2