学年人教A版必修 第一册1 511 任意角学案.docx

1、学年人教A版必修 第一册1 511 任意角学案51任意角和弧度制51.1任意角考点学习目标核心素养任意角的概念理解任意角的概念，能区分各类角数学抽象终边相同的角掌握终边相同的角的含义及其表示方法数学抽象、逻辑推理象限角与区域角的表示掌握象限角的概念并能用集合表示各类象限角及区域角数学抽象、直观想象 问题导学预习教材P168P171，并思考以下问题：1角的概念推广后，分类的标准是什么？2如何判断角所在的象限？3终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？1任意角(1)角的表示如图，OA是角的始边，OB是角的终边，O是角的顶点角可记为“角”或“”或简记为“”(2)角的分类按旋转方向，角可以分为三

2、类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角名师点拨(1)正确理解正角、负角、零角的定义，关键是抓住角的终边的位置是由角的始边所对应的射线按照逆时针方向旋转、顺时针方向旋转还是没有旋转得到的(2)若两角旋转方向相同且旋转量相等，则两角相等2象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限名师点拨象限角的条件是角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合3终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角

3、在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和名师点拨对终边相同的角的理解(1)为任意角，“kZ”这一条件不能漏(2)k360与中间用“”连接，k360可理解成k360()(3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)第一象限的角一定是正角()(2)终边相同的角一定相等()(3)锐角都是第一象限角()(4)第二象限角是钝角()答案：(1)(2)(3)(4) 110是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案：C 与30角终边相同的角的集合是()A|30k360，kZB|30k3

4、60，kZC|30k180，kZD|30k180，kZ解析：选A.由终边相同的角的定义可知与30角终边相同的角的集合是|30k360，kZ 如图，角的终边为OB，则_答案：|125k360，kZ 将35角的终边按顺时针方向旋转60所得的角度数为_，将35角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为_答案：25395任意角的概念 下列结论：三角形的内角必是第一、二象限角；始边相同而终边不同的角一定不相等；钝角比第三象限角小；小于180的角是钝角、直角或锐角其中正确的结论为_(填序号)【解析】90的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故不正确；始边相同而终边不同的角一定不相等，故正确；钝角大于100

5、的角，而100的角是第三象限角，故不正确；0角小于180，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故不正确【答案】理解与角的概念有关问题的关键正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可 经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是()A60，720 B60，720C30，360 D60，720解析：选B.钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而36060，2360720，故钟表的时针和分针转过的角度分别是60，720.终边相同的角 在与角10 0

6、30终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)360，720)内的角【解】与10 030终边相同的角的一般形式为k36010 030(kZ)(1)由360k36010 0300，得10 390k36010 030，解得k28，故所求的最大负角为50.(2)由360k36010 030720，得9 670k3609 310，解得k26，故所求的角为670.(变问法)在本例条件下，求最小的正角解：由0k36010 030360，得10 030k3609 670，解得k27，故所求的最小正角为310.(1)写出终边落在直线上的角的集合的步骤写出在0，360)内相应的角；由终边相同的

7、角的表示方法写出角的集合；根据条件能合并一定合并，使结果简洁(2)终边相同的角常用的三个结论终边相同的角之间相差360的整数倍；终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍；终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍 1下列角的终边与37角的终边在同一直线上的是()A37 B143C379 D143解析：选D.与37角的终边在同一直线上的角可表示为37k180，kZ，当k1时，37180143，故选D.2若角2与240角的终边相同，则()A120k360，kZ B120k180，kZC240k360，kZ D240k180，kZ解析：选B.角2与240角的终边相同，则2240k360，kZ

8、，则120k180，kZ.选B.3终边在直线yx上的角的集合S_解析：由题意可知，终边在直线yx上的角有两种情况：当终边在第二象限时，可知|135k360，kZ；当终边在第四象限时，可知|315k360，kZ综合可得，终边在直线yx上的角的集合S|135k180，kZ答案：|135k180，kZ象限角与区域角的表示(1)如图，终边落在阴影部分的角的集合是()A|45120B|120315C|k36045k360120，kZD|k360120k360315，kZ(2)已知角是第三象限角，则角是()A第一或第二象限角 B第二或第三象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角【解析】(1)阴影部分的

9、角从45到9030120，再加上360的整数倍，即k36045k360120，kZ.(2)因为是第三象限角，所以k360180k360270(kZ)，所以k18090k180135(kZ)当k2n(nZ)时，n36090n360135(nZ)，所以是第二象限角；当k2n1(nZ)时，n360270n360315(nZ)，所以是第四象限角【答案】(1)C(2)D(1)象限角的判定方法根据图象判定依据是终边相同的角的概念，因为0360之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系；将角转化到0360范围内在直角坐标平面内，在0360 范围内没有两个角终边是相同的(2)表示区域角的三个步骤

10、借助图形，在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界；按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的360360范围内的角和；分别将起始边界，终止边界的对应角，加上360的整数倍，即可求得区域角 1给出下列各角：300，240，145，45，30，124，210，300.则第一象限角有_；第二象限角有_；第三象限角有_；第四象限角有_答案：300，30240，124145，21045，3002.如图，分别是终边落在OA，OB位置上的两个角，且60，315.(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合；(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在0360范围内的角的集合解：

11、(1)因为与角终边相同的一个角可以表示为45，所以阴影部分(不包括边界)所表示的角的集合为|k36045k36060，kZ(2)|060或3153601下列角中，终边在y轴非负半轴上的是()A45 B90C180 D270解析：选B.根据角的概念可知，90角是以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转了90，故其终边在y轴的非负半轴上2下列各角中与330角终边相同的角是()A510 B150C150 D390解析：选D.390330720，所以与330角终边相同的角是390.3若角的终边与75角的终边关于直线y0对称，且360360，则角的值为_解析：如图，设75角的终边为射线OA，射线OA关于直线y

12、0对称的射线为OB，则以射线OB为终边的一个角为75，所以以射线OB为终边的角的集合为|k36075，kZ又360360，令k0或1，得75或285.答案：75或2854在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)150；(2)650.解：(1)因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角(2)因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角 A基础达标1下列角的终边位于第二象限的是()A420 B860C1 060 D1 260解析：选B.42036060，终边位于第

13、一象限；8602360140，终边位于第二象限；1 0602360340，终边位于第四象限；1 2603360180，终边位于x轴非正半轴故选B.2与1 303终边相同的角是()A763 B493C137 D47解析：选C.因为1 3034360137，所以与1 303终边相同的角是137.3集合A|k9036，kZ，B|180180，则AB()A36，54 B126，144C126，36，54，144 D126，54解析：选C.令k1，0，1，2，则A，B的公共元素有126，36，54，144.4集合|k18045k18090，kZ中的角的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是()解析：选C.当

14、k2n，nZ时，n36045n36090，nZ；当k2n1，nZ时，n360225n360270，nZ.故选C.5若角，的终边相同，则的终边落在()Ax轴的非负半轴上 Bx轴的非正半轴上Cx轴上 Dy轴的非负半轴上解析：选A.因为角，的终边相同，故k360，kZ.所以的终边落在x轴的非负半轴上6在0360范围内，与120终边相同的角是_解析：与120终边相同的角为120k360(kZ)，由0120k360360，kZ，得k，又kZ，所以k1，此时120360240.答案：240750角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是_解析：顺时针方向旋转3周转了(3360)

15、1 080，又50(1 080)1 030，故所得的角为1 030.答案：1 0308终边在第一或第三象限的角的集合是_解析：因为终边在第一象限的角的集合为|k36090k360，kZ，终边在第三象限的角的集合为|180k360270k360，kZ，故终边在第一或第三象限的角的集合为|k18090k180，kZ答案：|k18090k180，kZ9已知角的集合M|30k90，kZ，回答下列问题：(1)集合M有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于360且小于360的角是哪几个？(3)写出集合M中的第二象限角的一般表达式解：(1)集合M的角可以分成四类，即终边分别与150角，60角，30角，120

16、角的终边相同的角(2)令36030k90360，kZ，则k，kZ，所以k4，3，2，1，0，1，2，3，所以集合M中大于360且小于360的角共有8个，分别是330，240，150，60，30，120，210，300.(3)集合M中的第二象限角与120角的终边相同，所以120k360，kZ.10已知角为以O为顶点，x轴为始边，逆时针旋转60所成的角(1)写出角的集合S；(2)写出S中适合不等式360720的元素解：(1)由题可知，角的集合S|60k180，kZ(2)在S|60k180，kZ中，取k2，得300，取k1，得120，取k0，得60，取k1，得240，取k2，得420，取k3，得60

17、0.所以S中适合不等式360720的元素分别是300，120，60，240，420，600. B能力提升11若是第二象限角，那么和2都不是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角解析：选B.由是第二象限角可知是第一或第三象限角，2是第三或第四象限角，所以和2都不是第二象限角12角满足180360，角5与有相同的始边，且又有相同的终边，则角_解析：因为5与的始边和终边相同，所以这两个角的差应是360的整数倍，即5k360，k90.又180360，令k3，得270.答案：27013已知，都是锐角，且的终边与280角的终边相同，的终边与670角的终边相同，求角，的大小解：由题意可知，

18、280k360，kZ，因为，都是锐角，所以0180.取k1，得80.因为670k360，kZ.因为，都是锐角，所以9090.取k2，得50.由，得15，65. C拓展探究14如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1，0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过角，黑蚂蚁每秒爬过角(其中0180)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求，的值解：根据题意可知14，14均为360的整数倍，故可设14m360，mZ，14n360，nZ.由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0180，知022360，进而知2，2都是钝角，即9022180，即4590，所以4518090，4518090，所以m， n.因为，所以mn，又m，nZ，所以m2，n3，所以，.