立体几何中的探索性问题.docx

1、立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究.这类试题的一般设问方式是“是否存在 ？存 在给出证明，不存在说明理由”.解决这类试题，一般根据探索性问题的设 问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到 了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设.8 如图，在四棱锥P- ABC中，底面ABC是矩形，P从底面ABCDPA二AB=1AD*3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理 由.(2)AF.小求证：无论点E在

2、BC边的何处，都有 PE1(3)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大 为 45。?拓展提升(1)开放性问题是近几年高考的一种常见题型.一般来说，这种题型依 据题目特点，充分利用条件不难求解.(2)对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代 数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无 解则不存在.9 如图，四棱锥S-ABCC的底面是正方形，每条 棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：AC丄SD(2)若SDL平面PAC求二面角 P-AC-D的大小.(3)在的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE/平面PAC若存在，求SE EC的

3、值；若不存在，试说明理由.如图 所示，在正方体ABCABC.D中，M,N分别是BC中点.(1)求证：平面BiMNL平面BBDD; ii(2)在棱DD上是否存在点P,使BD/平面PMN若 确定点P的位置；若没有，说明理由.如图 所示，在四棱锥 P-ABCD中,侧面PADL底面ABCD侧棱PA=PD*2,底面ABCD直角梯形，其中BC/ AD AB丄AD AD=2AB=2BC=20 为 AD中点.(1)求证：POL平面ABCD(2)求异面直线PB与CD所成角的大小：(3)线段AD上是否存在点Q使得它到平面PCD的距离为仝？若存在，求出2AQ DQ的值；若不存在，请说明理由.立体几何中探索性问题的向

4、量解法高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于 这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立 体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维 的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优 势.本节课主要研究：立体几何中的存在判断型和位置探究型问题等探索性 问题。一、存在判断型1、已知空间三点 A (-2 , 0, 2), B(-2 , 1, 2), C(-3 , 0, 3).设 a=AB , b=AC，是否存在存在实数k,使向量ka+b与ka-2 b互相垂直，若存在，求k的值；若不存在，说明理由。解 vka+

5、b=k (0, 1,0) + (-1 , 0, 1) = ( -1 , k, 1), ka-2 b= (2, k, -2),且(ka+b)丄(ka-2 b),(-1 , k,1).( 2, k, -2 ) =k2 -4=0.则 k=-2 或 k=2.点拨：第(2)问在解答时也可以按运算律做. (ka+b)(k a-2b)二k2a2-ka b-2b2= k2 -4=0，解得 k=-2 或 k=2.2、如图，已知矩形ABCD PAL平面ABCDM N分别是AB PC的中点， / PDA为，能否确定，使直线MN是直线AB与PC的公垂线？若能确定，求 出 的值；若不能确定，说明理由.解：以点 A为原点

6、建立空间直角坐标系 A- xyz.设|AD|=2a , |AB|=2b，/ PDA=.则 A(0, 0, 0)、B(0, 2b, 0)、C(2a, 2b, 0)、D(2a, 0, 0)、P(0, 0, 2atan )、M(0, b, 0)、N(a, b, atan ).二 ab =(0 , 2b, 0) , PC=(2a , 2b, -2atan ) , mn =(a ,0, atan ).ab MN =(0 , 2b, 0) (a , 0, atan )=0,ab 丄 mn .即 ABlMN.若 MNL PC则 mn PC=(a , 0 , atan ) (2a , 2b , -2atan

7、)2 2 2=2a -2a tan =0.tan 2 =1 ,而是锐角.tan =1 , = 45.即当=45时，直线MN是直线AB与 PC的公垂线.【方法归纳】对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则 肯定存在；若出现矛盾，则否定存在。这是一种最常用也是最基本的方法 .二、位置探究型3.如图所示。PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2 E是PB的中点，DP 与AE夹角的余弦值为 于。(1)建立适当的空间坐标系，写出点 E的坐标。(2)在平面PAD内是否存在一点F,使EFL平面PCB 解析：以DA DC DP所在直线分别为x轴、y轴

8、、z轴，建立空间直角坐标系，设 P (0,0,2m ).则 A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、E(1,1,m),从而 AE =(-1,1,m), DP=(0,0,2m).2DP AE = 2m Dp|aE| 2m& _所以E点的坐标为(1,1,1 ). (2)由于点F在平面PAD内,由EF丄平面PCB得： EF CB 0 且 EF PC 0 ,即(x 1, 1.z 1) (2,0,0) 0 x 1(x 1, 1.z 1) (0,2, 2) 0 z 0。cos DP, AE所以点F的坐标为(1,0,0 ),即点F是DA的中点时，可使EF丄平面PCB.【方法归纳】点F在平面PA

9、D上一般可设 DF tQA t2DP、计算出匕出后，D点是已知的，即 可求出F点。4、在棱长为a的正方体ABCBAqD,中，E、 F分别是棱BC CC上的点，且BE= CF.(1)当E、F在何位置时，B1F D|E;(2)是否存在点E、F,使AC丄面CEF?Pi.D.(3)当E、F在何位置时三棱锥 q CEF的体积取得最大值，并求此时二面角qEF一C的大小. |解：(1)以A为原点，以ABAD、：为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，设 BE=x，则有因此，占论E、F在何位置均有B1Q1D1E (2) AC .(a,a,-a),EG .(0,ax,a),Fc1.(x,0, a),CEF,贝S

10、 “若AC丄面盾，故不存在点(3 ) % .CEFa(ax)a2 0厶-得a 0矛 ax a 0E、F使AC丄面C1EF_a_6-(x-2)2当x -时，三棱锥CiCEF的体积最大，这时， 2F分别为BG CD的中点。连接AC交EF于G,则AC丄EF,由三垂线定理知:GG丄 EF：GGC是二面角 G-EF -C的平面角.，【方法归纳】 立体几何中的点的位置的探求经常 借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式, 体几何中的点的位置的探求的常用方法.三、巩固提高月nd，4 二一6E、al_E解出参数 这是立DD5、在正三棱柱ABC ABC中，所有棱的长度都是2, M是BC边的中点，问：在侧

11、棱 CG上是否存在点N,使得 异面直线AB和MN所成的角等于45?解：以A点为原点，建立如图9-6-5所示的空间右手 直角坐标系A xyz.因为所有棱长都等于2,所以A (0, 0, 0), C( 0, 2, 0), B U3, 1, 0),B( 3,1,2) ,m( ,3, ).点N在侧棱CC上，可设N (0, 2, m) (0=| AB1 |?|MN | =2.2? . m2 12m 1以 2 2 ?m $ 1 = 3m=-4,这与0eme2矛盾.因为底面ABCD菱即在侧棱CC上不存在点N ,使得异面直线AB和 MN所成的角等于45.6、(湖南高考理)如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD

12、 中 , / ABC=60, PA=AC= , PB=PD=2a,点 E 在 PD上,且 PE:ED=2:1.(I )证明PAL平面ABCD(II )求以AC为棱，EAC与 DAC为面的二面角 的大小；(皿)在棱PC上是否存在一点F,使BF (I )证明形，/ ABC=60 ,所以 AB=AD=A(a= 在厶 PAB中 , 由 P+AB=2a2二PB 知 PAL AB.同理，PAL AD 所以PAL平面 ABCD.(H)解 作EG知 EGL平面ABCD作GHLAC于H,连结EH， 则EHL AC / EHG即为二面角 的平面角.又 PE : ED=2 : 1 ,所以 EG a,AG 2a,GH

13、 AGsin 60 3 a.3 3 3EG 3 “从而 tan , 30 .GH 3 (皿)解法一 以A为坐标原点，直线AD AP分别为y轴、z轴，过A 点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件， 相关各点的坐标分别为1由 EM -PE ED,知E是MD的中点.2连结BM BD 设BD AC=O贝卩O为BD的中点.所以 BM由、知，平面BFM又 BF 平面BFM所以BF证法二因为 BF BC 1CP AD 1(CD DP) 2 2 所以 BF、Ae、Ac共面._又巧 平面ABC从而BF【方法归纳】点F是线PC上的点，一般可 设PF PC，求出 值，P点是已知的，即可求出

14、F点高考复习课：立体几何中探索性问题的向量解法 本节课主要研究：立体几何中的存在判断型和位置探究型问题等探索性 问题。一、存在判断型1.已知空间三点 A( -2 , 0, 2), B( -2 , 1, 2), C( -3, 0, 3).设 a=AB , b=AC，是否存在存在实数k,使向量ka+b与ka-2 b互相垂直，若存在，求 k的值；若不存在，说明理由。2.如图，已知矩形ABCD PAL平面ABCD M N分别是AB PC的中点， / PDA为，能否确定，使直线MN是直线AB与PC的公垂线？若能确定，求 出 的值；若不能确定，说明理由.【方法归纳】：二、位置探究型3.如图所示。PD垂直于

15、正方形ABCC所在平面，AB=2 E是PB的中点,(1)建立适当的空间坐标系，写出点 E的坐标。(2)在平面PAD内是否存在一点F,使EF丄平面PCB4.在棱长为a的正方体ABCBA1B1C1D1F分别是棱BC CDh的点，且BE= CF.(1)当E、F在何位置时，B1F DjE;(2)是否存在点E、F,使AC丄面CEF?(3)当E、F在何位置时三棱锥 C|- CEF 积取得最大值，并求此时二面角 qEF C的大2、如图，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD是矩 丄底面ABCD PA=AB=j AD=/3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.(1) 点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理 由.为 45。?【方法归纳】三、巩固提高5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱的长度都是2, M是BC边的中点，问：在侧棱 CC上是否存在点N, 使得异面直线AB和MN所成的角等于45?6.(湖南高考理)如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD 中，/ ABC=60, PA二ACa, PB=PD=2a, 点 E在 PD上，且 PE:ED=2:1.(I )证明PAL平面ABCD(II )求以AC为棱，EAC与 DAC为面的二面 角的大小；(皿)在棱PC上是否存在一点F,使BF