122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则docx.docx

1、122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则docx1.2.2基本初等函数的导数及导数的运算法则备课人：王宏伟 年级组：高二教材分析本节内容是导数的计算这一节的关键部分，对后面更深刻地研究导数起着至关重要的 作用在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法.但 是，如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可 能的.因此，我们希望找到一些简单函数的导数（作为我们的基本公式）与运算法则，借助它 们来简化导数的计算过程.因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则，使得用定义求导数比较麻烦问题得以解决，为以后导数的研究

2、带來了方便，同时也将 所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥得淋漓尽致.复合函数的求导 法则是导数的计算这一节的最后一小节内容.教材在基本初等函数的导数公式和导数的四则 运算法则的基础上将导数的计算研究得更深入，虽然棊本初等函数的导数公式和导数的四则 运算法则解决了不少导数问题，但对于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及，我们平时 研究的函数不会仅限丁基本初等函数，因此我们要想将问题研究得更加透彻，就得继续研究 导数.教材层层深入，给我们展示了什么是复合函数，同时将复合函数的构成和复合函数的 求导法则也展示给了学生.因此，使很多较难的问题层层分解以后显得简单易懂.课吋分配 2课

3、吋.第1课时（基本初等函数的导数公式及导数的运算法则）；第2课时（复合函数的求导法则）第1课时教学目标1. 知识与技能目标（1） 熟练掌握基本初等函数的导数公式；（2） 掌握导数的四则运算法则.2. 过程与方法目标能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.3. 情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力.由于利用定义求函数的导数非常复杂， 本节课直接给出了八个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则.学生不用推导而直接 去求一些简单函数的导数，认识事物z间的普遍联系，达到学有所用.在训练屮也加深了学 生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际

4、的求知欲，培养浓厚的学习兴趣. 教学重点：应用八个函数导数求复杂函数的导数教学难点：商求导法则的理解与应用.教学过程：一、复习回顾复习五种常见函数y = c、y = x y二丄、y = 的导数公式填写下表兀函数导数y = cy = x2y = x1y=-Xy = 4xy = f(x) = xne Q)二、 提出问题，展示目标我们知道，函数y = /(%) =兀丘Q*)的导数为y =恣心,以后看见这种函数就可以直 接按公式去做，而不必用导数的定义了。那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决 两个函数加。减。乘。除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。三、 合作探究1. (1)分四组对比记忆基

5、本初等函数的导数公式表函数导数y = cy=0y = f(x) = xn(ne 2*)y =y = sinxy =cosxy = cos xy =-sinxy = /(兀)=axy = ax In a (a 0)y = fM = exy - exf(x) = log “ X./ (兀)=log“ xf (x)= (d 0且。丰 1)xlnaf(x) = nx/w=1X(2)根据基木初等函数的导数公式，求下列函数的导数.(1) y = x2 与 y - 2(2) y = 3v y = log3x2. 导数运算法则：(1) 和(或差)的导数法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的

6、和(或差)，即(吐以=土例1求y=x +sin的导数.解:/=(/) z+ (sinx)，=3#+cosx.例2求y=xxx+的导数.解：./=4, 2x.(2) 积的导数法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即 uv),= i/v+uV.由此可以得出 (Cu),= C,u+Cl/ = O+Ci/=Cl/ .也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即 3= Cd例3求y=2xx +54的导数.解：/=6/6+5.例 4 求 y= (2/+3) (3x2)的导数.解：./=(2#+3) (3j2) + (2,+3) (3x2

7、)，=4*3x2) + (2#+3) 3 = 18/-8x+9.或：y 二 6/ - 2/ + 9/ - 6, / = 18/ -4 + 9(3) 商的导数例5.求下列函数的导数提示：积法则，商法则，都是前导后不导，前不导后导，但积法则中间是加号，商法则屮 间是减号.四、当堂检测1. 填空：(3, + 1) (4,3) = ( ) (4, 3) + (3Z +1)( )；(xsinx) z=( )# sinx+f (_ ).2. 判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正：(3 + ,) (2 %) =2x(2 ,)+3,(3 + ,).(3 + x) (2 x) ，=2x(2 x) 3x (

8、3 + x).3. 求下列函数的导数：4. 求函数y = x sin x cos x的导数5. 思考：设 fx) =x(x+1) (x+2)(x+ h),求 f r (0).6. 函数 fx) =(r1) (x2) (x3) (/100)在丸=0 处的导数值为( )五、课堂总结(1) 分四组写出基本初等函数的导数公式表：(2) 导数的运算法则:1. 和(或差)的导数 (/ r),= z/ /.2. 积的导数 uv)f=dv+uV.3. 商的导数6. 课后作业1. 课本第18页习题1.1A组:42. 求下列函数的导数：(1) y=(l + Qcos”； (2) y = 2V cos x - 3

9、log2 x1 2 5(3) y + (4) y - x tan x 一 cos xx x_ x七、 板书设计1.2.2基本初等函数的导数及导数的运算法则（1）一、 复习回顾复习五种常见函数y = c、 y = x、y = x2、y = i、 y = 的导数公式二、 提出问题，展示目标三、合作探究1. 分四组对比记忆基本初等 两数的导数公式表2. 导数运算法则：（1） 和（或差）的导数（2） 积的导数（3）商的导数四、当堂检测5. 课堂总结6. 课后作业8. 课后反思第2课时课程内容：复合函数的导数内容分析：复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点.要弄清每一步的求导是哪个变量对哪 个变量的

10、求导求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一 个直观的了解.教学目标：1. 知识与技能（1） 理解复合函数的概念（2） 能正确分解简单的复合函数，记住复合函数的求导公式(3) 理解并掌握复合函数的求导法则2. 过程与方法(1) 记基本初等函数求导公式，会利用基本初等函数求导公式求函数的导数(2) 通过分析复合层次确定函数的复合顺序，为正确求导奠定基础3 情感态度与价值观通过正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确培养学生严谨的治 学态度，做事的条理性和处理问题大局观，进而影响到学生的一生。教学目的：理解，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律教学重

11、点：复合函数的求导法则的概念与应用教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解授课类型：新授课课时安排：1课时教学过程：一、 复习引入1. 常见函数的导数公式：C=0； (x/?)= : (sinx)= cosx； (cosx)= -sinx2. 法则 1 况(兀)卩(兀)=u (x)vx).法则 2 m(x)v(x)z = u (x)v(x) + w(x)v(x), Cw(x)y 二 Cu (x)法则 3 = (vO)3丿 V二、 讲解新课1. 举出例子y = (3x-2) y二sin兀2,让学生感觉到这既不是基本初等函数，也不是初 等函数，然后引入如何函数的概念。2. 复合函数：由几个函数复合

12、而成的函数，叫复合函数.由函数y = f(u)与u =(p(x)复 合而成的函数一般形式是y = f(p(x),其中称为中间变量.3. 求函数y二(3x-2)2的导数的两种方法与思路：方法一：)=(3兀一2)2丫 = (9x2-12x+4)z = 18x-12；方法二：将函数y = (3兀-2尸看作是函数y = u2和函数u = 3x-2复合函数，并分别求对应变量的导数如下：yu (w2)z = 2u , ux (3x2/ = 3两个导数相乘，得yuux 2ulZB = 2(3x 一 2)E3 = 18兀 一 12,从而有 y = yt，u对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求/，时，就可

13、以转化为求和m，的 乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.4. 复合函数的导数：设函数U=（p3在点无处有导数/ 冷 3,函数尸在点无 的对应点U处有导数y尸尸3）,则复合函数y=f（p 3）在点X处也有导数，且儿二儿 或尸 A（p 3）二尸（刃（p （%）.证明：（教师参考不需要给学生讲）设/有增量力上 则对应的弘y分别有增量4弘/y,因为尸0（劝在点/可导，所以 u=（p （方在点/处连续.因此当/U-O时，皿-0.当存0时，由怂=型竺 且Ax Am Ax 山 况 mto Ax lim怂=心TO心v Ay 卄 Ay v Aw v Av v Aw=lim = lim li

14、m =lim lim 心TO Aw Ax 心T() 比 Att()心 Mt() A% Ait()心即yx = y,ux (当m=0时,也成立)例1试说明下列函数是怎样复合而成的？(1) y = (2-x2)3 ； (2) y = sinx2 ；(3) y = cos(f-x)； (4) y = lnsin(3x-l).解：(1)函数y = (2-x2)3由函数y = u3和u = 2 F复合而成；(2) 函数y nsinx?由函数y = sin u和弘= 合而成；JI JI(3) 函数丿= cos( x)由函数y = cosu和比= 兀复合而成； 4 * 4(4) 函数 y = lnsin(3

15、x-1)由函数 y = nu . u = sin y 和 v = 3x-1 复合而成.说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一 次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等.例2写出由下列函数复合而成的函数：(1) y - cosw , m = 1 + x ； (2) y = Inm , w = Inx.解：(1) = cos(l + x2) ； (2) y = ln(lnx).例3求y = (2x + l)5的导数.解：设 y = u5, w = 2x +1,贝ij儿=儿叭=3儿(2兀+ 1)=5u4 2 = 5(2兀 +1)? 2 = 10(2x +

16、1)4.注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成口变量的函数.有时复合 函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪 些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外 向内逐层求导.例4求f(x)=sinx的导数.解：令尸f(x)二sin”； u=x V： = A；必： =（sin） u （Z）xz 二cos” 2尸cos# 2a=2xcos#.A V “ -A.e. ff （方二2xcos#解：令尸/尸sin（2x+）,再令sinr,3兀尸2卅一3分析：i7t 7t殳沪sin（2x+时，求,“但此时仍是复合函

17、数，所以可再设2叮例5求尸si（2吟的导数.:儿=y；0广/ Xu y V a)JTy”八W5几(2乜八z 71、 . 龙、=2u cosr 2=2sin(2x+)cos(2/+) 23 3二 4sin (2t+) cos (2+)二 2sin (4+)3 3 32兀即 y- _r=2sin(4+ )3例6求函数3） Vl + x2的导数分析：y可看成两个函数的乘积，2# 3可求导，JlTx7是复合函数，可以先算出 J1 + /对x的导数.解：令 y=UV,尸2# 3,厂 J1 + 兀$ ,令 V=ya）, Q二 1+#卩；=卩：血二（巫）：（1+，） *1 _|/n 2 兀 X= 69 _（

18、2兀）= =.2 2J1 +无 2 J1 + F尸（“说 R xvuv x= (2)5 吋+ (2一)灰=4%V1 + X22x3 -3x _ 6x3 + xJ1+/ 71+ X26x + xVl + X2四、课堂练习1. 求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)7=(53)1 (2)尸(2+3/) (3) 7= (2 /)3 (4) 7=(2/+2. 求下列函数的导数(先设屮间变量，再求导)(刀丘10(4) y=c,otnx尸 sin/LY (2) y=cosnx (3) y=xnx解：(1)令尸sin”，u=nx(2)令尸coss trnx尸sinz/ rp nsinnx(3) 令

19、 jtan仏 u=nxn 2H -n sec nxCOS IIX(4) 令 y=colu, u=nxy. = yu = (cotu)f u (nx)f x=( ) nsin u一 sin u sin u 一 cos u cos u 1 n 2 ； n= ； rp = ncsc nx.(sin sin - u sin - nx五、课堂小结这节课你学到了什么？把它写下来！(1) 明确了什么是复合函数(2) 学会了分解复合函数(3) 复合函数的求导法则：(4) 开阔思路，恰当选用求导数方法.(5) 计算要认真，要学会循序渐进。(6) 复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数

20、分解成为 较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；(7) 复合函数求导的基本步骤是：分解一一求导一一相乘一一冋代.六、课后作业1.课本第18页习题1A组:4、62.求 y = lax2 +bx + c 的导数.1 2A = u 3 (2日卅方)3解：令y=/u ,iRaxbxc2ax + by. = yu -u=( lu Yu* (/+亦 c)=(ax+bxc) 3 (2日x+力)二 3 3/(ox2 +bx + c)213. 求尸sin匚的导数.（卩解：令y=u , u=sin x ,再令沪sin【Gyx - yuux * v，尸(/) u (sinr)z =2u cosy0-1 1 1=2sin 兀 cos xX设计意图：对一般学牛布置第1题，而对学有余力的学生布置2、3题，体现了分层、有梯度的教学，及时巩I古I新知识。七.板书设计1.2.2基本初等函数的导 数及导数的运算法则（2）一、复习回顾1. 基本函数求导公式2. 求导法则二、 讲解新课1. 复合函数概念2. 复合函数求导的两种方法 与思路3. 复合函数的求导法则4. 基本步骤三、 讲解范例4. 课堂练习5. 课堂总结6. 课后作业八.课后反思