高中数学解析几何解答题有答案.docx

1、高中数学解析几何解答题有答案高中数学解析几何解答题（有答案）试卷分析 解析几何解答题 1、椭圆G： 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 （1）求此时椭圆G的方程； （2）设斜率为k（k0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0， ）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由 解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心 1分 故该椭圆中 即椭圆方程可为 3分 设H（_,y）为椭圆上一点，

2、则 4分 若 ，则 有最大值 5分 由 （舍去）(或b2+3b+927,故无解) 6分 若 7分 由 所求椭圆方程为 8分 （1） 设 ，则由 两式相减得 又直线PQ直线m直线PQ方程为 将点Q（ ）代入上式得， 11分 由得Q（ ）12分 而Q点必在椭圆内部 ， 由此得 ,故当 时，E、F两点关于点P、Q的直线对称14分 2、已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，动直线 与圆 相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为 . （）求 的取值范围，并求 的最小值； （）记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，那么， 是定值吗？证明你的结论. 解：（） 与圆相切, 由 ,得 , , ,故 的取值范围为 .

3、由于 ， 当 时， 取最小值 .6分 （）由已知可得 的坐标分别为 ， ， ， 由，得 ， 为定值.12分 3、已知抛物线 的焦点为F，点 为直线 与抛物线 准线的交点，直线 与抛物线 相交于 、 两点，点A关于 轴的对称点为D （1）求抛物线 的方程。 （2）证明：点 在直线 上； （3）设 ，求 的面积。 解：（1） 设 ， ， ， 的方程为 （2）将 代人 并整理得 ， 从而 直线 的方程为 ， 即 令 所以点 在直线 上 （3）由知， 因为 ， 故 ，解得 所以 的方程为 又由知 故 4、已知椭圆的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，点 （2，3）、 在该椭圆上，线段 的中点

4、在直线 上，且 三点不共线 (I)求椭圆的方程及直线 的斜率； ()求 面积的最大值 解：（I）设椭圆的方程为 ， 则 ，得 ， . 所以椭圆的方程为 .3分 设直线AB的方程为 (依题意可知直线的斜率存在)， 设 ，则由 ，得 ,由 ，得 ， ，设 ,易知 ， 由OT与OP斜率相等可得 ，即 ， 所以椭圆的方程为 ，直线AB的斜率为 .6分 （II）设直线AB的方程为 ，即 ， 由 得 ， ， .8分 . 点P到直线AB的距离为 . 于是 的面积为 10分 设 ， ，其中 . 在区间 内， ， 是减函数；在区间 内， ， 是增函数.所以 的最大值为 .于是 的最大值为18.12分 5、设椭圆

5、 的焦点分别为 、 ，直线 ： 交 轴于点 ，且 （）试求椭圆的方程； （）过 、 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 、 、 、 四点（如图所示），若四边形 的面积为 ，求 的直线方程 解：（）由题意， -1分 为 的中点-2分 即：椭圆方程为 -3分 （）当直线 与 轴垂直时， ，此时 ， 四边形 的面积 不符合题意故舍掉；-4分 同理当 与 轴垂直时，也有四边形 的面积 不符合题意故舍掉；-5分 当直线 ， 均与 轴不垂直时，设 : ， 代入消去 得： -6分 设 -7分 所以 ，-8分 所以 ，-9分 同理 -11分 所以四边形的面积 由 ，-12分 所以直线 或 或 或 -13分

6、6、已知抛物线P：_2=2py(p0) （）若抛物线上点 到焦点F的距离为 （）求抛物线 的方程； （）设抛物线 的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线 的切线，求此切线方程； （）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接 ， 并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F 解：（）（）由抛物线定义可知，抛物线上点 到焦点F的距离与到准线距离相等，即 到 的距离为3； ，解得 抛物线 的方程为 4分 （）抛物线焦点 ，抛物线准线与y轴交点为 ， 显然过点 的抛物线的切线斜率存在，设为 ，切线方程为 由 ，消y得 ，6分 ，解得 7分 切线方程为 8分 （）直线 的斜率

7、显然存在，设 ： ， 设 ， ， 由 消y得 且 ， ； ，直线 ： ， 与 联立可得 ，同理得 10分 焦点 ， ， ，12分 以 为直径的圆过焦点 14分 7、在平面直角坐标系 中，设点 ，以线段 为直径的圆经过原点 . （）求动点 的轨迹 的方程； （）过点 的直线 与轨迹 交于两点 ，点 关于 轴的对称点为 ，试判断直线 是否恒过一定点，并证明你的结论. 解：（I）由题意可得 ，2分 所以 ，即 4分 即 ，即动点 的轨迹 的方程为 5分 （II）设直线 的方程为 , ，则 . 由 消 整理得 ，6分 则 ，即 .7分 .9分 直线 12分 即 所以，直线 恒过定点 .13分 8、已知

8、椭圆 的离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 （）求椭圆 的方程； （）设直线 与椭圆 交于 两点，且以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ， 求 面积的最大值 解：（）因为椭圆 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 ， 所以 ，1分 又椭圆的离心率为 ，即 ，所以 ，2分 所以 ， .4分 所以 ，椭圆 的方程为 .5分 （）方法一：不妨设 的方程 ，则 的方程为 . 由 得 ，6分 设 ， ，因为 ，所以 ，7分 同理可得 ，8分 所以 ， ，10分 ，12分 设 ，则 ，13分 当且仅当 时取等号，所以 面积的最大值为 .14分 方法二：不妨设直线 的方程 . 由 消去

9、得 ，6分 设 ， ， 则有 ， .7分 因为以 为直径的圆过点 ，所以 . 由 ， 得 .8分 将 代入上式， 得 . 将代入上式，解得 或 （舍）.10分 所以 （此时直线 经过定点 ，与椭圆有两个交点）， 所以 .12分 设 ， 则 . 所以当 时， 取得最大值 .14分 9、过抛物线C: 上一点 作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点。 （1）求证：直线AB的斜率为定值； （2）已知 两点均在抛物线 ： 上，若 的面积的最大值为6，求抛物线的方程。 解：（1）不妨设 5分 （2）AB的直线方程为： 点M到AB的距离 。7分 9分 又由 且 11分 设 为偶函数，故只需考虑

10、， 所以 上递增， 当 时， 。故所求抛物线的方程为 13分 10、已知椭圆 的左焦点 是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线 交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为 （1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线 轴时，求 的值； （2）求 的值。 （）解：由题意椭圆的离心率 ， ，所以 ， 故椭圆方程为 ，3分 则直线 ， ， 故 或 ， 当点 在 轴上方时， ， 所以 ， 当点 在 轴下方时，同理可求得 ， 综上， 为所求6分 ()解：因为 ，所以 ， ， 椭圆方程为 , ,直线 ， 设 ， 由 消 得， ， 所以 8分 故 由 ，及 ，9分

11、 得 ， 将代入上式得 ，10分 注意到 ，得 ，11分 所以 为所求12分 11、在平面直角坐标系_Oy中，已知椭圆 (ab0)的离心率为 ，其焦点在圆_2+y2=1上 (1)求椭圆的方程； (2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角，使 (i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值； (ii)求OA2+OB2 解：(1)依题意，得c=1于是，a= ，b=12分 所以所求椭圆的方程为 4分 (2)(i)设A(_1，y1)，B(_2，y2)，则 ， 又设M(_，y)，因 ，故 7分 因M在椭圆上，故 整理得 将代入上式，并注意 ，得 所以， 为定值10分 (ii) ，故 又 ，

12、故 所以，OA2+OB2= =316分 12、已知圆 的圆心为 ，一动圆与圆 内切，与圆 外切。 （）求动圆圆心 的轨迹方程； （）（）中轨迹上是否存在一点 ，使得 为钝角？若存在，求出 点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由 解:（）设动圆P的半径为r,则 两式相加得|PM|+|PN|=4|MN| 由椭圆定义知，点P的轨迹是以M、N为焦点，焦距为 ，实轴长为4的椭圆 其方程为 6分 （）假设存在，设 （_,y）.则因为 为钝角，所以 ， ， 又因为 点在椭圆上，所以 联立两式得： 化简得： ， 解得： ，所以存在。13分 13、已知点 是椭圆 的右焦点，点 、 分别是 轴、 轴上的动点，且满

13、足 若点 满足 ()求点 的轨迹 的方程； ()设过点 任作一直线与点 的轨迹交于 、 两点，直线 、 与直线 分别交于点 、 （ 为坐标原点），试判断 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 解：() 椭圆 右焦点 的坐标为 ，(1分) ， 由 ，得 (2分) 设点 的坐标为 ，由 ，有 ， 代入 ，得 (4分) （）解法一：设直线 的方程为 ， 、 ， 则 ， (5分) 由 ，得 ，同理得 (7分) ， ，则 (8分) 由 ，得 ， (9分) 则 (11分) 因此， 的值是定值，且定值为 (12分) 解法二：当 时， 、 ，则 ， 由 得点 的坐标为 ，则 由 得点 的坐标为

14、，则 (6分) 当 不垂直 轴时，设直线 的方程为 ， 、 ，同解法一，得 (8分) 由 ，得 ， (9分) 则 (11分) 因此， 的值是定值，且定值为 (12分) 14、在平面直角坐标系 中，已知圆B： 与点 ，P为圆B上的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C。 （1）求曲线C的方程； （2）曲线C与 轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与 轴重合的直线与曲线C的交点记为M，N，连结QM，QN，分别交直线 为常数，且 ）于点E，F，设E，F的纵坐标分别为 ，求 的值（用 表示）。 解：(1)连接 ，由题意得， ， ， 所以 ，2分 由椭圆定义得，点 的轨迹方程是 .4分 (2)设 ，则 ， 的斜率分别为 ， 则 ， ，6分 所以直线 的方程为 ，直线 的方程 ，8分 令 ，则 ，10分 又因为 在椭圆 ，所以 ， 所以 ，其中 为常数.14分