模拟退火算法的旅行商问题.docx

1、模拟退火算法的旅行商问题人工智能原理实验报告模拟退火算法解决TSP问题1 旅行商问题和模拟退火算法1.1 旅行商问题1.1.1 旅行商问题的描述旅行商问题（Traveling Salesman Problem，简称TSP）又名货郎担问题，是威廉哈密尔顿爵士和英国数学家克克曼(T.P.Kirkman)于19世纪初提出的一个数学问题，也是著名的组合优化问题。问题是这样描述的：一名商人要到若干城市去推销商品，已知城市个数和各城市间的路程（或旅费），要求找到一条从城市1出发，经过所有城市且每个城市只能访问一次，最后回到城市1的路线，使总的路程（或旅费）最小。TSP刚提出时，不少人认为这个问题很简单。后

2、来人们才逐步意识到这个问题只是表述简单，易于为人们所理解，而其计算复杂性却是问题的输入规模的指数函数，属于相当难解的问题。这个问题数学描述为：假设有n个城市，并分别编号，给定一个完全无向图G=（V，E），V=1，2，n，n1。其每一边(i,j)E有一非负整数耗费 Ci,j(即上的权记为Ci,j，i，jV)。并设 G的一条巡回路线是经过V中的每个顶点恰好一次的回路。一条巡回路线的耗费是这条路线上所有边的权值之和。TSP问题就是要找出G的最小耗费回路。1.2 模拟退火算法 模拟退火算法由KirkPatrick于1982提出7，他将退火思想引入到组合优化领域,提出一种求解大规模组合优化问题的方法，对

3、于NP-完全组合优化问题尤其有效。模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其缓慢降温(即退火)，使之达到能量最低点。反之，如果急速降温(即淬火)则不能达到最低点。加温时，固体部粒子随温升变为无序状，能增大，而缓慢降温时粒子渐趋有序，在每个温度上都达到平衡态，最后在常温时达到基态，能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为exp(-E/(kT)，其中E为温度T时的能，E为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始

4、，对当前解重复产生“新解计算目标函数差接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子a、每个t值时的迭代次数L和停止条件C。1.2.1 基本思想 模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解3部分。其基本思想是：(1)初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态s(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L；(2)对k=1，L做第(3)至第6步；(3)产生新解s；(4)计算增量cost=cost(s)-cost(s)，其中co

5、st(s)为评价函数；(5)若t0则接受s作为新的当前解，否则以概率exp(-t/T)接受s作为新的当前解；(6)如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法；(7)T逐渐减少，且T趋于0，然后转第2步运算。 具体如下（1）新解的产生和接受模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下4个步骤：由一个函数从当前解产生一个位于解空间的新解。为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等。产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影

6、响。计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。判断新解是否被接受。判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则：若t0则接受S作为新的当前解S，否则以概率exp(-t/T)接受S作为新的当前解S。当新解被确定接受时，用新解代替当前解。这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代，可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。模拟退火算法与初始值无关，算法求得的

7、解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。（2）参数控制问题模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下3点7：温度T的初始值设置。温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一。初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。温度衰减函数的选取。衰减函数用于控制温度的退火速度，一个常用的函数为：

8、式中是一个非常接近于1的常数，t为降温的次数。马尔可夫链长度L的选取。通常的原则是：在衰减参数T的衰减函数已选定的前提下，L的选取应遵循在控制参数的每一取值上都能恢复准平衡的原则。2 TSP模拟退火算法的实现 TSP是典型的组合优化问题，模拟退火算法是一种随机性解决组合优化方法。将TSP与模拟退火算法相结合，以实现对其求解。2.1 TSP算法实现2.1.1 TSP算法描述 （1）TSP问题的解空间和初始解 TSP的解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是所有城市排列的集合。TSP问题的解空间S可表示为1,2,n的所有排列的集合，即S = (c1,c2,cn) | (c1,c2,cn)为1,

9、2,n的排列），其中每一个排列Si表示遍访n个城市的一个路径，ci= j表示在第i次访问城市j。模拟退火算法的最优解与初始状态无关，故初始解为随机函数生成一个1,2,n的随机排列作为S0。（2）目标函数 TSP问题的目标函数即为访问所有城市的路径总长度，也可称为代价函数： 现在TSP问题的求解就是通过模拟退火算法求出目标函数C(c1,c2,cn)的最小值，相应地，s*= (c*1,c*2,c*n)即为TSP问题的最优解。 （3）新解产生新解的产生对问题的求解非常重要。新解可通过分别或者交替用以下2种方法产生：二变换法：任选序号u,v(设uvn)，交换u和v之间的访问顺序，若交换前的解为si=

10、(c1,c2,cu,cv,cn),交换后的路径为新路径，即：si= (c1,cu-1,cv,cv-1,cu+1,cu,cv+1,cn)三变换法：任选序号u,v和(uv)，将u和v之间的路径插到之后访问，若交换前的解为si= (c1,c2,cu,cv,c,cn)，交换后的路径为的新路径为：si= (c1,cu-1,cv+1,c,cu,cv,c+1,cn)（4）目标函数差计算变换前的解和变换后目标函数的差值：c= c(si)- c(si)（5）Metropolis接受准则根据目标函数的差值和概率exp(-C/T)接受si作为新的当前解si，接受准则： 2.1.2 TSP算法流程 根据以上对TSP的

11、算法描述，可以写出用模拟退火算法解TSP问题的流程图2-1所示：图 2-1 TSP的模拟退火流程2.2 TSP的C实现2.2.1 加载数据文件下面是加载数据文件的一个例子：中国31省会城市数据： 1304 2312;3639 1315;4177 2244;3712 1399;3488 1535;3326 1556; 3238 1229;4196 1044;4312 790;4386 570;3007 1970;2562 1756; 2788 1491;2381 1676;1332 695;3715 1678;3918 2179;4061 2370; 3780 2212;3676 2578;40

12、29 2838;4263 2931;3429 1908;3507 2376 3394 2643;3439 3201;2935 3240;3140 3550;2545 2357;2778 2826;2370 2975;当调用数据文件函数时，包含城市坐标信息的矩阵载入到数组中。2.2.2 计算总距离的函数这是一个城市间计算距离的函数，根据给定路径计算该路径对应总路程。inline double dist(int x1, int y1, int x2, int y2) return sqrt(double(x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1);inline double to

13、taldist(path p) int i; double cost = 0; for (i=1; iN; i+) cost += Dp.Cityip.Cityi+1; cost += Dp.City1p.CityN; return cost; TSP问题的成本函数是城市之间的距离。调用此函数将计算n个城市之间的距离。2.2.3 交换城市的函数 这是一个用于城市交换的函数，它从某路径的邻域中随机的选择一个新的路径。 path getnext(path p) int x, y; path ret; ret = p; do x = rand() % N + 1; y = rand() % N +

14、1; while(x = y); swap(ret.Cityx, ret.Cityy); ret.Length = totaldist(ret); return ret;2.2.4 执行模拟退火的函数 void sa() / 退?火e和降温?过y程 double T; path newpath, curpath; int i, A_t=0; double delta; T = INIT_T; curpath = F_Path; while(true) for (i=1; i=IN_K; i+) newpath = getnext(curpath); delta = newpath.Length

15、 - curpath.Length; if (delta rnd) curpath = newpath; if (curpath.LengthF_Path.Length) F_Path = curpath; if (T FINAL_T) break; T = T * RATE; 输入参数：INIT_K则是开始模拟退火过程的起始温度。 RATE是模拟退火过程的冷却速率，冷却速率应该始终低于1。 FINAL_T是模拟退火的停止条件。2.3实验结果2.4小结模拟退火算法是依据Metropolis准则接受新解，该准则除了接受优化解外，还在一定的限定围接受劣解，此举避免陷入局部极小值、提高解空间的搜索能

16、力和扩大搜索围方面具有明显的优越性；其次，初始温度T，循环次数K，以及温度衰减率t的选取对结果影响很大，适当的选取很重要。3源代码#include stdafx.h#include #include #include using namespace std; const int MAXN = 200; /最大城市数const double INIT_T =100000; /初始温度const double RATE = 0.05; /温度下降率 const double FINAL_T = 1E-10; /终止温度const int IN_K = 10000; /层循环数struct path

17、 /定义路径结构类型 int CityMAXN; /依次遍历的城市的序号 double Length; /所有城市的总长度; int N; /城市数量double DMAXNMAXN; /任意两个城市之间的距离path F_Path; /最优的遍历路径inline double dist(int x1, int y1, int x2, int y2) /计算两点之间的距离 return sqrt(double(x2-x1)*(x2-x1)+(y2-y1)*(y2-y1);inline double totaldist(path p) /计算遍历路径总长度 int i; double cost

18、= 0; for (i=1; iN; i+) cost += Dp.Cityip.Cityi+1; cost += Dp.City1p.CityN; return cost;void init() /读数据，并初始化 int CMAXN2; /城市的坐标 int i, j; freopen(城市坐标.txt, r, stdin); scanf(%d, &N); for (i=1; i=N; i+) scanf(%d%d, &Ci0, &Ci1); for (i=1; iN; i+) /计算任意两个城市之间的路径长度 for (j=i+1; j=N; j+) Dij = Dji = dist(C

19、i0, Ci1, Cj0, Cj1); for (i=1; i=N; i+) /最优解的初始状态 F_Path.Cityi = i; F_Path.Length = totaldist(F_Path); srand(unsigned)time(NULL);path getnext(path p) /新解产生函数 int x, y; path ret; ret = p; do x = rand() % N + 1; y = rand() % N + 1; while(x = y); swap(ret.Cityx, ret.Cityy); /交换两城市之间位置顺序 ret.Length = tot

20、aldist(ret); return ret; void sa() / 退火和降温过程 double T; /温度 path newpath, curpath; /当前路径和新路径 int i, A_t=0; double delta; T = INIT_T; /赋值初始温度 curpath = F_Path; while(true) for (i=1; i=IN_K; i+) newpath = getnext(curpath); /获取新路径 delta = newpath.Length - curpath.Length; if (delta rnd) curpath = newpath

21、; if (curpath.LengthF_Path.Length) F_Path = curpath; if (T FINAL_T) break; T = T * RATE; /降温 int main() clock_t begin, end; double cost; begin = clock(); init(); printf(初始路径长度: %.4fn, F_Path.Length); for(int i=0;i, F_Path.City+i); printf( %d, F_Path.City1); printf(n); sa(); printf(最优路径长度: %.4fn, F_Path.Length); for(int j=0;j, F_Path.City+j); printf( %d, F_Path.City1); printf(n); end = clock(); cost = (double)(end - begin) / CLOCKS_PER_SEC; printf(%lf secondsn, cost); /printf(Elapsed time:%u secs.n,clock()/CLOCKS_PER_SEC); return 0;