崔氏班排列组合精讲精练 基础篇.docx

1、崔氏班排列组合精讲精练 基础篇排列组合加法原理：一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有种不同做法，第k类方法中有种不同的做法，则完成这件事共有N=种不同的方法。这就是加法原理。乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法,，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有 N=种不同的方法。这就是乘法原理。加法原理和乘法原理有什么区别？加法原理：先把方法分类，每一类的方法都能完成这件事。最后把这些方法相加。乘法原理：先把方法分步，每一步都不能独立完成这件事，但是完成这件事，这些步骤缺一不可。

2、最后把方法相乘。运用两个基本原理时要注意：抓住两个基本原理的区别，千万不能混.不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3

3、、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分.在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的.排列组合在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法就是排列问题在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关例如 某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间问：应准备有多少种不同船票？分析这个问题，可以用枚举法解决，三个城市之间，船票有下面六种设置方式：如果不用枚举法，注意到要准备的船票

4、的种类不仅与所选的两个城市有关，而且与这两个城市作为起点、终点的顺序有关，所以，要考虑共准备多少种不同的船票，就要在三个城市之间每次取出两个，按照起点、终点的顺序排列首先确定起点站，在三个城市中，任取一个为起点站，共有三种选法其次确定终点站，每次确定了一个起点站后，只能从剩下的两个城市之中选终点站，共有两种选法由乘法原理，共需准备：32=6种不同的船票为叙述方便，我们把研究对象（如天津、青岛、大连）看作元素，那么上面的问题就是在三个不同的元素中取出两个，按照一定的顺序排成一列的问题我们把每一种排法叫做一个排列（如天津青岛就是一个排列），把所有排列的个数叫做排列数那么上面的问题就是求排列数的问题

5、一般地，从n个不同的元素中任取出m个（mn）元素，按照一定的顺序排成一列叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样如果两个排列的元素不完全相同或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列从n个不同元素中取出m个（mn）元素的所有排列的个数，叫做从上面的问题要计算从3个城市中取出2个城市排成一列的排列数，就是一般地，从n个不同元素中取出m个元素（mn）排成一列的问题，可以看成是从n个不同元素中取出m个，排在m个不同的位置上的问题，而第一步：先排第一个位置上的元素，可以从n个元素中任选一个，

6、有n种不同的选法；第二步：排第二个位置上的元素这时，由于第一个位置已用去了一个元素，只剩下（n-1）个不同的元素可供选择，共有（n-1）种不同的选法；第三步：排第三个位置上的元素，有（n-2）种不同的选法；第m步：排第m个位置上的元素由于前面已经排了（m-1）个位置，用去了（m-1）个元素这样，第m个位置上只能从剩下的n-（m-1）=（n-m+1）个元素中选择，有（n-m+1）种不同的选法由乘法原理知，共有：n（n-1）（n-2）（n-m+1）种不同的排法，即：这里，mn；且等号右边从n开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m个因数相乘例1：小明和小王从北京出发先到天津看海，然后再到上海东方

7、明珠塔参观。从北京到天津可以做火车或者做公共汽车，坐火车有4种车次，坐公共汽车有3种车次；而从天津到上海可以坐火车，公共汽车，轮船或者飞机，火车有3种，汽车有5种，轮船有4种，飞机有2种。问小明和小王从北京到上海旅游一共有多少种走法？解：首先看他们完成整个过程需要几个过程，这是判断利用加法原理和乘法原理的依据。很明显整个过程要分两步完成，先从北京到天津，再从天津到上海，应该用乘法原理。我们再分开来看，先看从北京到天津，无论是坐火车还是汽车都是一步完成，所以要用加法原理，从北京到天津走法有：4+3=7种，同样的道理，天津到上海走法有：3+5+4+2=14种最后，算出从北京到上海的走法有：717=

8、119种点评：本题是考察学生对加法乘法原理的理解，只要正确利用加法乘法原理，解这种题应该难度不大。例2：某公园有两个园门，一个东门，一个西门.若从东门入园，有两条道路通向龙凤亭，从龙凤亭有一条道路通向园中园，从园中园又有两条道路通向西门.另外，从东门有一条道路通向游乐场，从游乐场有两条道路通向水上世界，另有一条道路通向园中园.从水上世界有一条道路通向西门，另有一条道路通向小山亭，从小山亭有一条道路通向西门.问若从东门入园，从西门出园一共有多少种不同的走法（不走重复路线）？【解】 这个题的已知条件比较复杂.首先让我们将已知条件“梳理”一下：1.从东门入园，从西门出园；2.从东门入园后，可以通向两

9、个游览区，龙凤亭与游乐场；3.从龙凤亭经园中园可达到西门；4.从游乐场经水上世界可达到西门，或从游乐场经园中园可达到西门；5.从水上世界经小山亭可达到西门；根据以上五条可知，从东门入园经龙凤亭经园中园达到西门为一主干线.而东门到龙凤亭有两条不同路线；龙凤亭到园中园只有一条路线；园中园到西门又有两条不同的路线.由乘法原理，这条主干线共有212=4种不同的走法。再看从东门入园后到游乐场的路线.从东门到游乐场只有一条路，由游乐场分成两种路线，一是经园中园到西门，这条路线由乘法原理可知有112=2种不同走法；二是经水上世界到西门，从水上世界到西门共有两条路线（由水上世界直接到西门和经小山亭到西门），再

10、由乘法原理可知这条路线有122=4种不同路线。最后由加法原理，从东门入园从西门出园且不走重复路线的走法共有212+112+122=10种。这道题也可用“枚举法”来解。我们可以先画出一个图（图5），从图上便可以得出正确的答案。图中A表示东门，B表示西门，C表示龙凤亭，D表示园中园，E表示游乐场，F表示水上世界，G表示小山亭，线表示道路。不同的走法有：即共有10种不同走法.例3：由数字0、1、2、3组成三位数，问：可组成多少个不相等的三位数？可组成多少个没有重复数字的三位数？解：首先确定解题方法， 在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定所以，每个问题都可以看成是分三个步骤

11、来完成，所以最后要用乘法原理来处理。要求组成不相等的三位数所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法，由乘法原理，共可组成344=48个不相等的三位数要求组成的三位数中没有重复数字，百位上，不能取0，有3种不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一个，故只剩下0和其余两个数字，故有3种取法；个位上，由于百位和十位已各取走一个数字，故只能在剩下的两个数字中取，有2种取法，由乘法原理，共有332=18个没有重复数字的三位数点评：在解题之前首先确定解题方法，然后各个击破就可以了。例4如下图，A，

12、B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？解：首先确定解题方法，将染色这一过程分为依次给A，B，C，D，E染色五步，很明显要用乘法原理，现在只要算出各个量就行了。先给A染色，因为有5种颜色，故有5种不同的染色方法；第2步给B染色，因不能与A同色，还剩下4种颜色可选择，故有4种不同的染色方法；第3步给C染色，因为不能与A，B同色，故有3种不同的染色方法；第4步给D染色，因为不能与A，C同色，故有3种不同的染色方法；第5步给E染色，由于不能与A，C，D同色，故只有2种不同的染色方法。根据乘法原理，共有不同的染色方法5

13、4332360（种）。点评：染色问题，一般用乘法原理。例5有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？解：这里五面不同颜色的小旗就是五个不同的元素，三面小旗表示一种信号，就是有三个位置我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，排在三个位置的问题由于信号不仅与旗子的颜色有关，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中n=5，m=3由排列数公式知，共可组成种不同的信号补充说明：这个问题也可以用乘法原理来做，一般，乘法原理中与顺序有关的问题常常可以用排列数公式做，用排列数公式解决问题时，可避免一步步地分析考虑，使问题简化点评：首先看清楚是排列还是

14、组合，这个是解决排列组合问题的前提，也是必需的条件，信号旗问题是典型的排列问题例6从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：有多少个不同的乘积？有多少个不同的乘法算式？解： 要考虑有多少个不同乘积.由于只要从5张卡片中取两张，就可以得到一个乘积，因为乘法的交换率，有多少个乘积只与所取的卡片有关，而与卡片取出的顺序无关，所以这是一个组合问题.由组合数公式得到，共有个不同的乘积.要考虑有多少个不同的乘法算式，它不仅与两张卡片上的数字有关，而且与取到两张卡片的顺序有关，所以这是一个排列问题.由排列数公式，共有P25 5420种不同的乘法算式.点评：看准是排列还

15、是组合，剩下的就是简单计算了。例7如下图，问：下左图中，共有多少条线段？下右图中，共有多少个角？解：在线段AB上共有7个点（包括端点A、B）.注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，而与选这两个端点的顺序无关，所以，这是一个组合问题由组合数公式知，共有条不同的线段；从O点出发的射线一共有11条，它们是OA， OP1，OP2，OP3，OP9，OB.注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从11条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角.显然，是组合问题，共有C211种不同的取法，所以，可组成C211个角.由组合数公式知，共有点评：在几何计数当中也用到了很多排列组

16、合的方法。例8从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？分析 首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.解： 符合要求的选法可分三类：不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有 5315种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有 5210种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有326种选法.这三类是各自独立发

17、生互不相干进行的.因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有 1510 631种.点评：前面我们已讨论了加法原理、乘法原理、排列、组合等问题.事实上，这些问题是相互联系、不可分割的.例如有时候，做某件事情有几类方法，而每一类方法又要分几个步骤完成.在计算做这件事的方法时，既要用到乘法原理，又要用到加法原理.又如，在照相时，如果对坐的位置有些规定，那么就不再是简单的排列问题了.类似的问题有很多，要正确地解决这些问题，就一定要熟练地掌握两个原理和排列、组合的内容，并熟悉它们所解决问题的类型特点.例9国家举行足球赛，共15个队参加.比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队.各组都

18、进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）.然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军.问：共需比赛多少场？如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？解：实行单循环赛，比赛的所有场次包括三类：第一组中比赛的场次，第二组中比赛的场次，决赛时比赛的场次.总 的场次计算要用加法原理。第一组中8个队，每两队比赛一场，8个队里边选2两个队，是组合问题，所以共比赛C28场；第二组中7个队，每两队比赛一场，所以共比赛C27场；决赛中4个队，每两队比赛一场，所以共比赛C24场.实行单循环赛共比赛由于是实行主客场制，每

19、两个队之间要比赛两场，比赛场次是中的2倍.另外，还可以用排列的知识来解决.由于主客场制不仅与参赛的队有关，而且与比赛所在的城市（即与顺序）有关.所以，第一组共比赛P28场，第二组共比赛P27场，决赛时共比赛P24场.实行主客场制，共需比赛2（C28C27C24）110（场）.或解为：P28P27P24877643564212110（场）.1如下图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走那么，从甲地到丙地共有多少种走法？提示1： 分析题意，从甲地到丙地，先看是用加法原理还是乘法原理，判断好方法，然后简单计算就可以了。提示2：从甲地到丙地共有两大类不同的走法，

20、用加法原理。第一类，由甲地途经乙地到丙地这时，要分两步走，第一步从甲地到乙地，有4种走法；第二步从乙地到丙地共2种走法，所以要用乘法原理，这时共有42种不同的走法第二类，由甲地直接到丙地，由条件知，有3种不同的走法提示3：由加法原理知，由甲地到丙地共有：42+3=11（种）不同的走法2一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同问：从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？提示1：先弄清楚用加法原理还是乘法原理，先看有几大类，再看分几步。本题应注意加法原理和乘法原理的区别及使用范围的不同，乘法原理中，做完一件事要分

21、成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理提示2：从两个口袋中只需取一个小球，则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法所以是加法原理的问题要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题提示3：从两个口袋中任取一个小球共有3+8=11（种），不同的取法从两个口袋中各取一个小球共有38=24（种）不同的取法3

22、右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子问：共有多少种不同的放法？提示1： 由于四个棋子要一个一个地放入方格内故可看成是分四步完成这件事要用乘法原理。 提示2：第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放B，B有9种放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C，C有4种放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D有1种放法，本题要由乘法原理解决提示3：由乘法原

23、理，共有16941=576种不同的放法4如下图，要从A点沿线段走到B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方问有多少种不同的走法？提示1：注意到，从A到B要一直向右、向上，那么，经过右图中C、D、E、F四点中的某一点的路线一定不再经过其他的点也就是说从A到B点的路线共分为四类，它们是分别经过C、D、E、F的路线提示2：第一类，经过C的路线，分为两步，从A到C再从C到B，从A到C有2条路可走，从C到B也有两条路可走，由乘法原理，从A经C到B共有22=4条不同的路线第二类，经过D点的路线，分为两步，从A到D有4条路，从D到B有4条路，由乘法原理，从A经D到B共有44=16种不同的走法第三类，经过E点

24、的路线，分为两步，从A到E再从E到B，观察发现各有一条路所以，从A经E到B共有1种走法第四类，经过F点的路线，从A经F到B只有一种走法最后由加法原理即可求解提示3：如上右图，从A到B共有下面的走法：从A经C到B共有22=4种走法；从A经D到B共有44=16种走法；从A经E到B共有1种走法；从A经F到B共有1种走法所以，从A到B共有：4+16+1+1=22种不同的走法5某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？提示1：首先根据不同情况分清楚看是用排列还是组合，然后再根据排列组合公式进行求解。提示2。要在42人中选3人去参加夏令营，

25、那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名同学被选出的顺序无关.所以，共有C343种不同的选法. 要在42人中选出3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三名同学被选出的顺序有关.所以，共有P342种不同的站法.提示3。由组合数公式，共有种不同的选法由排列数公式，共有P34242414068880种不同的站法.6从8人的数学兴趣小组中选2个（1）分别担任正副组长，有多少种不同的选法？（2）共同参加一次数学竞赛，有多少种不同的选法？提示1：注意分清排列问题和组合问题提示2：（1）选出正副组长，有正副之分，也就是从8人中选2人后，要进一步确认正副组长，因此是个排列问题（2）题选

26、人参加数学竞赛没有顺序，因此是个组合问题。提示3：（1）利用排列公式，共有=87=56种选法。（2）利用组合公式，共有=28种选法。7在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的（1）直线段（2）三角形（3）四边形？提示1：首先观察是组合问题还是排列问题，那就要看你取的点是否与顺序有关？提示2：很明显，你要画的三个图形都与取出点的顺序无关，所以三个问题都应该是组合问题。由于10个点都在圆周上，因此任意三点都不共线，故只要在10个点中任取2点，就可画出一条线段；在10个点中任取3个点，就可画出一个三角形；在10个点中任取4个点就可画出一个四边形。提示3：由组合数公式： （1）

27、，可画出45条线段； （2），可画120个三角形； （3），画210个四边形。8七个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人必须排在一起，有多少种不同的排法？提示1：首先看是排列还是组合？这道题明显是排列问题，然后你再看所要排列的各个元素之间的关系，利用排列公式就可以了。提示2：甲乙丙三人必须排在一起，可以用分类的方法，考虑三人在七个位置中的不同情况，如：甲乙丙此时甲乙丙占了头三个位置，然后再排其他四个人，最后再考虑甲乙丙三人的顺序，这种方法比较复杂，我们可以换一种方法来考虑这个问题，由于甲乙丙要拍在一起，因此我们可以先将这三个人看作一个元素，将这个元素与其他四个元素进行排序，最后将这三个元素排序，

28、用这种方法大大简化了思维过程。第一步：甲、乙、丙看作一个元素与其他四个元素排列，即五个元素进行排序：；第二步：甲乙丙三个元素排序： 提示3：不同的排法数有：=54321321=720.9（1）把八本书排在上下两格书架上，每格四本，求有多少种不同的排法？（2）把八本书放在书架上，上格一本，中格三本，下格四本，求有多少种排法？提示1：书放在上层和下层是否相同？弄清楚是排列还是组合？提示2：很明显，书放在上层和下层不相同，应该用乘法原理，但每层书的摆放要用排列原理，（1）八本书中先选四本排在第一格，有种排法，再将剩下4本书排在第二格，有种排法（2）八本书选一本放在上格有种排法，再从剩下的7本中选三本

29、放中格，有种排法，最后四本书放下格，有种方法提示3：根据乘法原理：（1）不同的排法数是=87654321=40320种（2）不同的排法是=87654321=40320种。注意：从上两小题发现，无论放几层，分几本放，结果都是一样的，都是40320，若分成4层呢？是不是还是40320？10学校乒乓球队有10名男生，8名女生，现要选8人参加区里比赛，在下列的条件下，分别有多少种排法？（1）恰有3名女生入选；（2）至少有2名女生入选；（3）最多有3名女生入选；（4）某2名女生，某2名男生必须入选。提示1：此题是个典型的组合问题，元素之间没有顺序，第二三小题中涉及至少至多的问题，一般可分类来解决，而至少

30、有2名女生入选的情况有：2名，3名，4名，5名8名女生入选，情况较多，因此考虑从全部选法中除去没有女生的选法和恰有1名女生的选法，这种方法称为间接法。提示2：（1）先选3名女生，再从10名男生中选5人： （2）从全部选法中除去没有女生的选法和恰有1名女生的选法全部选法数恰有1名女生入选的选法：没有女生入选的选法： 分四类，第一类没有女生入选，;第二类，恰有一女生入选，；第三类，恰有二女生入选；第四类，恰有三名女生入选；（4）某2名女生，某2名男生必须入选，说明有4人已选定，只须从剩下的14人中再选4人提示3：（1）恰有3名女生入选共有：=14112种选法（2）至少有2名女生入选的方法： -=42753种（3）最多有三名女生入选的选法数：+=45+960+5880+14112=20997（4）从剩下的14人中再选4人，共有选法=1001种。课后练习【例 1】 （20