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1、矩阵与线性方程矩阵与线性方程 作者： 日期： 第一章 矩阵与线性方程组在中学已经学习了有关两个未知量、两个方程的二元一次方程组的基本知识。一次方程又称为线性方程。在自然科学、社会科学和许多工程技术问题中，常常需要处理几十、几百甚至成千上万个未知量的线性方程组，未知量的个数和方程的个数也不一定完全一致，这就要求我们把关于二元一次方程组的知识推广到有n个未知量和m个方程的线性方程组上去。矩阵是解决这类问题的重要工具之一。1.1 矩阵及其运算1.1.1 线性方程组及其矩阵表示 线性方程组（system of linear equations）的一般形式为 (1.1)显见，二元一次方程组是其特款。方程

2、组（1.1）中有m个方程、n个未知量。ij代表第i个方程中未知量xj 的系数，bi 是第i 个方程的常数项。当常数项b1 ，b2 ，bm 全为零时，式（1.1）称为齐次线性方程组；当常数项不全为零时，式（1.1）称为非齐次线性方程组。当m、n较大时，方程组（1.1）的书写需重复许多次未知量以及“+”、“=”运算符号，如用计算机进行处理，则浪费很多存储空间。因此，我们将方程组（1.1）中未知量的系数简化成如下的m行n列矩形数表如果再考虑到方程组右端的常数项（非齐次项），还可以得到m行n+1列矩形数表对方程组的研究将归结于对如上形式数表的研究。将上述类型的数表抽象为如下的矩阵定义。定义1.1 将m

3、n个数（i=1,2,m;j=1,2,n）排成一个矩形数表 A = (1.2)称为一个m行n列矩阵(matrix)，简称为mn矩阵。其中横向各排称为行，纵向各排称为列，mn个数叫作矩阵A的元或元素；aij叫做矩阵A的第i行第j列元；所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O。元是实数的矩阵称为实矩阵，元是复数的矩阵称为复矩阵。式（1.2）也简记为：A = (aij)mn 或 A = (aij)一般情况下，我们用大写字母A，B，C，表示矩阵。本书中的矩阵除特殊说明外，都指实矩阵。定义1.2 如果两个矩阵A，B有相同的行数与相同的列数，并且对应位置的元均相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。即如果

4、A = (aij)mn, B= (bij)mn , 且aij =bij (i=1,2, m ; j=1,2, n),则 A=B我们可以对矩阵定义一些运算，它们都是有其实际背景的。为了说明线性方程组如何通过矩阵来表示，先引进矩阵的乘法运算。定义1.3 设矩阵A = (aik )ml的列数与B= (bk j)ln行数相同，则由元素 ci j=ai1b1j + ai2b2j + ailbl j = (i=1,2, m ; j=1,2, n)构成的m行n列矩阵C = (cij)mn=()mn称为矩阵A与矩阵B的乘积,记为 C=AB 如果记A =, x =, b =则线性方程组(1.1)可以通过矩阵的乘

5、法表示成矩阵方程 Ax=b (1.3)1.1.2 矩阵的基本运算及性质需要指出，能用矩阵描述的问题并不局限于线性方程组。矩阵在工业、农业、经济等许多领域有着广泛的应用，伴随计算机技术的飞速发展，矩阵被更有效地运用到物理学、力学、化学、生物学、遗传学、医学等众多学科中，成为解决线性问题的有力工具。矩阵已经有了完整的理论体系，本小节主要介绍矩阵的基本运算。定义1.4 设有两个mn矩阵A = (aij )mn，B= (bi j)mn，那么A与B的和记作A+B，规定为A+B=应当注意，只有两个矩阵是同型矩阵，即它们的行数、列数分别对应相等时，这两个矩阵才能进行加法运算。矩阵加法满足下列运算规律（设A、

6、B、C都是mn矩阵）(1) A+B= B+A(2) (A+B)+C=A+(B+C)设矩阵A= (aij ),记 A= (aij )A称为矩阵A的负矩阵, 显然有 A+(A)=O由此规定矩阵的减法为 AB=A+(B)定义1.5 数与矩阵A的乘积记作A或A,规定为A=A=设A、B为mn矩阵，、为数，数乘矩阵满足下列运算规律 (1) ()A=(A) (2) (+)A=A+A (3) (A+B)=A+B 这些运算规律都很容易从数的运算规律得到。下面给出一些矩阵基本运算的例子。例1.1 设 A= B=则 A+B=例1.2 3=例1.3 矩阵乘法例1.4 矩阵乘法=例1.5 给定矩阵A= B= 则有 AB

7、= O BA=O由定义及例1.5可以看出，矩阵乘法与数的乘法有一些根本性的区别：（1）矩阵的乘法对相乘的两个矩阵在行数和列数上是有要求的，即乘积AB中A的列数必须与B的行数相一致，否则乘法无意义。（2）矩阵的乘法一般是不可交换的，即在一般情况下，ABBA。实际上，AB有意义时，BA不一定有意义，即使有意义，两者也不一定相等。（3）两个非零矩阵相乘有可能变成零矩阵。因而，由AB=O并不能推出A=O或B=O。随之而来的是：由AB=AC，且AO，并不能推出B=C。可以验证矩阵的乘法满足如下运算规律（假设运算都是可行的）（1）结合律 A(BC)=(AB)C（2）分配律（A+B）C=AC+BC A(B+

8、C)=AB+AC （3）对任一数k，有k(AB)=(kA)B=A(kB)矩阵连同对其所定义的满足如上运算规律的加法、数乘和乘法运算一起称为矩阵代数。对于矩阵，还可以定义转置运算。定义1.6 把矩阵A的各行变成同序数的列得到一个新的矩阵，称为A的转置（transpose），记作AT(或At，或)。例如矩阵 A=的转置矩阵为 AT=矩阵的转置满足如下运算规律（假设其中所涉及的运算都是有意义的）（1）(AT)T=A（2）(A+B)T=AT+BT（3）(A)T=AT（4）（AB）T=BTAT前三个规律是显然的，现在证明（）：设A= (aij)是mn矩阵，B=(bij)是np矩阵。于是AT=()nm，B

9、T=()pn，其中 aji ，bji BT AT中第i行第j列元为而（AB中第i行第j列元是AB中的第j行第i列元，即 所以 （ABBT AT 证毕设A为n阶方阵，如果满足AT=A，即 aij=aji (i,j=1,2,，n)那么A称为对称阵。对称阵的特点是：它的元以主对角线为对称轴而对应相等。1.1.3 几种特殊形式的矩阵如果矩阵A = (aij) 行数与列数等于n，则称A 为n阶矩阵（或称n阶方阵）。在方阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，主对角线上的元称为对角元。主对角线一侧所有元都为零的方阵称为三角形矩阵。三角形矩阵有两种，分别称 或 为上三角形矩阵或下三角形矩阵。主对角线以外

10、全为零的n阶方阵=称为对角线矩阵（diagonal matrix），简称对角阵，也可以记为=diag(1 ,2 ,n)主对角线上元都为1的n阶对角阵称为n阶单位矩阵（identity matrix），记为E或En。在矩阵的乘法运算中，单位矩阵具有如下性质：对任意矩阵A，B，有EA =A，BE=B这里假设上述矩阵乘法都是有意义的。1.1.4 逆矩阵定义1.7 设A是一个n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=E则称A为可逆阵，B是A的逆矩阵（inverse），简称逆阵；可逆阵也称为非退化阵或非奇异阵。性质1.1 如果方阵A可逆，则A有唯一的逆阵。证明 设矩阵B、C都是A的逆阵，则有B=EB

11、=(CA)B=C(AB)=CE=C所以A的逆阵是唯一的。 证毕由于可逆阵A的逆阵为唯一确定，所以可以用符号A1表示，有A A1A1A E利用逆矩阵的记号，可以方便地表示出某些线性方程组的解。考虑由n个方程、n个未知量构成的线性方程组：其系数矩阵是方阵A =假设A可逆，则可对如上方程组的矩阵表示形式Ax=b两端同时左乘A1，得到A1 Ax= A1 b即Ex= A1 b从而解得x= A1 b这说明，只要能够求得A1，则利用矩阵的乘法，就可以求出方程组的解。为了能求得A1，需要进一步探讨逆矩阵的性质。性质1.2 如果矩阵A可逆，且AB=E，则必有BA=E；如果矩阵A可逆，且BA=E，则必有AB=E。

12、证明 由A可逆，必有 A-1A=AA-1=E 又已知 AB=E于是有 BA=E(BA)=(A-1A)(BA)=A-1(AB)A=A-1EA=A-1A=E同理可以证明后一结论。 证毕 性质1.3 如果n阶方阵A，B都可逆，则AB也可逆，并且（AB）-1=B-1A-1证明 由于（AB）(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E利用性质1.2直接可得(B-1A-1)（AB）=E所以A可逆，由逆阵的唯一性得:（AB）-1=B-1A-1 证毕这个性质可以推广到有限个方阵乘积的情况，即（A1A2An）-1=An-1A2-1A1-1性质1.4 如果方阵A可逆，则A-1可逆，而且（A-1

13、）-1=A .证明 直接利用逆阵的定义即可证明。性质1.5 如果方阵A可逆，则A的每一行都不能全为零，A的每一列也都不能全为零。证明 假设A的第i行全为零，则由矩阵乘法的定义可知AA-1的第 i行全为零，这与AA-1=E矛盾。所以A的每一行都不能全为零。同理，A的每一列也都不能全为零。 证毕性质1.6 如果方阵A可逆，则AT，kA（k为任一非零常数）都可逆，且（AT）-1=(A-1)T 及 （kA）-1=A-1证明 因为 AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E 以及（kA）（A-1）=(k)( A A-1)=E由性质1.2及定义即得结论。1.2 矩阵的初等变换与逆矩阵的求法1.2.1 线性

14、方程组的同解变换对于(1.1)所示的线性方程组，可以做如下的三种变换：（1）互换两个方程的位置；（2）把某一个方程两边同乘以一个非零常数c；（3）将某一个方程加上另一个方程的k倍。这三种变换都称为初等变换。应当指出，如上的变换是可逆的。也就是，如果经过一次变换把方程组 (1.1)变成一个新方程组，那么，新方程组必可经过一次同类型的变换变为原方程组(1.1)。具体讨论如下：（1）如果互换方程组(1.1)中第i,j两方程的位置，则对新方程再互换第i,j两方程的位置就变回原方程组（1.1）；（2）如果将方程组(1.1)的第i个方程乘以非零常数c，那么，只要将新方程组的第i个方程乘以非零常数1/c就变

15、回方程组（1.1）；（3）如果将方程组(1.1)的第j个方程加上第i个方程的k倍，那么，只要将新方程组的第j个方程加上第i个方程的k倍就变回原方程组（1.1）。因此，如果将方程组(1.1)经过若干次变换化为一个新方程组，那么，新方程组也可以经过若干次变换化为一个原方程组(1.1)。另外，在做变换的过程中，方程组中方程的个数既不增加也不减少。定理1.1 设方程组(1.1)经过某一初等变换后变为另一个方程组，则新方程组与原方程组同解。证明 设方程组(1.1)有一组解 x1=k1，x2=k2，xn=kn， (1.4)代入(1.1)之后得到m个恒等式对这组等式做相同的变换，得到一组新恒等式（也有m个），它恰好是把(1.4)式代入新方程所得的结果。因此，原方程组(1.1)的任一组解都是新方程的解。反之，因为新方程组也可以经过适当的变换化为原方程组(1.1)，所以新方程组的任一解也是原方程组(1.1)的解。于是两方程组同解。 证毕 由定理1.1，我们又把初等变换称为线性方程组的同解变换。例1.6 解线性方程组