图形与几何.docx

1、图形与几何图形与几何”领域要求与核心内容分析“图形与几何”是小学数学课程内容四个领域之一，主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换。它是人们更好地认识和描述生活世界并进行交流的重要工具。一、课标中对“图形与几何”的要求在2011版的义务教育数学课程标准中，在各学段中都安排了四个部分的课程内容：“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”。与2001年出版的义务教育数学课程标准实验稿中几何领域进行对比，在2001年版课标中，把研究“图形与图形关系”的学习内容归纳为“空间与图形”，而在2011年版中则将这个领域的名称修改为“图形与几何”。为什么要做这

2、样的修改呢？时间和空间是人们认识世界最为基本的概念：通过时间可以分辨事物之间的先后关系，得到事物的顺序差异；通过空间可以分辨事物之间的位置关系，得到事物的性质差异。因此，空间是一个关于物体存在形式的基础概念，人们从物体的存在形式中抽象出关于图形以及图形关系的概念，构成数学的研究对象。为了研究这些概念的位置关系和变化规律，人们必须构建空间的度量方法，几何学就是研究如何构建空间度量方法的学科。构建空间的度量方法是至关重要的，人们根据度量方法的不同称谓不同的空间。比如，把基于直线距离的有限维空间称为欧几里得空间，把基于内积的无穷维空间称为希尔伯特空间，把基于曲线坐标的空间称谓黎曼空间等。在义务教育阶

3、段，这方面的学习内容主要是欧几里得几何，研究对象是抽象出来的那些平直的概念，比如，点、线、面、体、角；度量方法主要是两点间的直线距离1。通过对空间等概念的辨析，可以得知，空间是一个基础概念，从中抽象出研究的对象是图形及图形的关系，运用的研究方法是几何学。因此，用“图形与几何”作为此领域的名称，其实是在揭示这个领域的研究内容和研究方法。数学课程标准中规定，“图形与几何”主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。由于数学课程标准中的内容是涵盖义务教育三个学段、1-9年级的，所以上述内容也

4、是指向了三个学段。其中“平面图形基本性质的证明、图形的相似和投影”等内容就明显不是小学阶段几何领域学习的内容。“图形与几何”领域要求与核心内容分析“图形与几何”是小学数学课程内容四个领域之一，主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换。它是人们更好地认识和描述生活世界并进行交流的重要工具。二、“图形与几何”领域具体课程内容几何领域的具体课程内容，第一、二学段可以分为四个部分：图形的认识、测量、图形的运动、图形与位置。图形的认识、测量、图形的运动和图形与位置这四个方面的内容让儿童从不同层面认识空间形式的特征。图形的认识是让儿童从宏观上识别图形的实在（抽象模式），图形

5、测量是让儿童从微观上认识图形的广延（元素数量特征），它们都是对静态空间图形的认识；图形的运动是让儿童感知图形在运动和变化过程中的特征，图形与位置是让儿童从数量关系上理解图形的性质，它们都是对动态空间图形的认知。儿童通过对空间图形在静态和动态这两个层面上的认知，可以建立空间观念，形成几何直观。空间观念主要是指实物特征与几何图形的双向建构，包括由实物特征抽象出几何图形和根据几何图形想象出实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言描述画出图形等。几何直观主要是利用图形来描述和分析数学问题，把复杂的数学问题变得简明、形象，借以探索解决问题的思路和预测结果。一般情况下

6、，对学生空间观念和几何直观的培养，应以发展学生的空间想象力为目标。空间想象力就是依据感知经验在头脑中正确建构起客观事物的直观表象和由词语定义或符号对直观表象建构起的概念意象。空间想象力（空间观念和几何直观）也是几何课程的最基础、最核心的目标。而且显见，空间观念的建立和几何直观能力的形成，必将使儿童形象思维能力与抽象思维能力获得综合的有机发展。1.“图形的认识”知识网络（1）整体知识网络上面对于关于“图形的认识”知识的整理，是从点、线、面、体的逻辑定义出发，进行演绎式展开。我们生活的空间是立体的三维空间，二维空间是平面，一维空间是直线，零维就是一点。而点动能成线、线动能成面、面动能成体。同时，两

7、个面相交又形成线，两条线相交又形成点，这就使得零维、一维、二维和三维空间联系起来。但实际教学内容的年段安排并非如此。（2）具体知识网络1 平面图形的基本特点：立体图形的基本特点：2.“图形的认识”知识网络（1）整体知识网络如果按照学段来划分，则物体长度和面积的度量与估计、长方形、正方形的周长和面积计算、常见长度单位和面积单位的认识被安排在第一学段；角的度量、平面基本图形以及不规则图形的测量、简单几何体以及简单实物的测量等内容被安排在第二学段。（2）具体知识网络1 长度、面积和体积之间的区别与联系：平面图形的面积公式的推导：立体图形的体积公式的推导：3.“图形的运动”知识网络图形的运动只研究平面

8、上图形运动所形成的变换。平移、旋转与反射（轴对称）是最为基本的三种运动形式，明晰几何变换是一种变换，更重要的是要发现几何图形变化之后，存在哪些不变性质，哪些不变。对于学生更多的是感受现象，发现变换的基本性质，探索变换前后的关系。了解图形的运动对学生认识丰富多彩的现实世界、形成初步的空间观念，以及对图形美的感受和欣赏是十分重要的。“图形的运动”的核心目标是让学生通过亲身经历来积累几何活动经验，在头脑中形成初步地变换的表象，主要凸显基本图形及其运动规律，把握变换前后图形的相对位置关系及其对应点的关系，而且仅限于在方格纸上进行。4.“图形与位置”知识网络图形与位置在小学阶段就要能用辨认方向、描述及确

9、定物体的相对位置，不仅是满足生活中“确定物体位置”的需要，也为进一步学习平面直角坐标系做铺垫。“图形与位置”可以分成“相对位置”，“方向与路线”两部分讨论。确定物体的相对位置，其核心是明确参照物。物体相对于观察者的位置,如学生背着书包，书包在学生的后面，属于以自我为参照物，也就是自我中心的表征方式；物体与物体之间的相互位置，如电脑在书桌的上面，属于以物体为参照物，也就是自然标志的表征方式；物体在某一参照系下的位置，如用数对确定方格纸中的位置，属于使用抽象的形式表述物体的位置，是去自我中心的表征方式。辨认方向和路线图。这部分学习主要是建立方位的观念以及一些常用方位词的使用和图示方式、方法、操作性

10、技能。对东、南、西、北、东南、东北、西南、西北这几个方向之间的关系，形成辨认技能，把这些方位和平面示意图或地图方位联系起来。用方向和距离确定物体的位置，是指在一个平面内，通过方向和距离这两个条件确定物体的位置。“平面图形的认识”内容分析与案例在“图形与几何图形的认识”这部分的内容中，关于平面图形的认识占了大部分，学生将在现实世界积累的有关图形的经验的基础上，认识常见的平面图形；在丰富的现实背景中，通过观察、操作、比较、概括、推理等探索常见图形的性质，并运用它们解决实际问题，建立空间观念；欣赏丰富多彩的图形世界，体会图形在现实世界中的广泛存在。一、课标中对“平面图形的认识”的要求1.第一学段能辨

11、认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角能对简单几何体和图形进行分类（参见例20）第一学段主要包括两个方面的内容，一个是封闭的简单图形的认识，一个是角的初步认识。（1）封闭的简单图形的认识主要包括以下三方面内容：首先是“辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形”。长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等是最基本的图形。认识这些基本图形是学生进一步学习的基础，也是学生从实物立体图中逐步过渡到抽象的平面图形的过程。本目标的重点是辨认，即能用学生自己

12、的语言，叙述对图形的感受，能说出这些图形的不同特征。其次是“通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征”。允许学生用自己的语言把观察、操作、探索中的体验表达出来，这是把学生作为“学习的主人”的体现，也是逐步发展学生数学语言的过程。本目标实施的重点是尽可能地为学生提供观察、操作的机会，并能用自己的语言描述长方形、正方形的特征，而不是简单地、机械地让学生模仿教师和书本上的语言。再次是“会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图”。用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图，是课标新增加的内容，这是从儿童“拼图”游戏中迁移过来的学习内容。增加这一部分内容，就是为了向学生提供几何直觉的学习素材

13、。通过学生的拼图活动，进一步认识长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆的特征。本目标实施重点是让学生独立操作拼图，难点是对所拼的图形进行想象。（2）角的认识重视学生的生活经验，密切数学与现实的联系，是课标理念之一，“结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角”是以学生生活情境为背景，从中概括出角的特征，不需要用严密的概念定义来描述，是对学生体验的感受进行描述。（3）图形的分类图形的分类是认识图形的核心。“辨认”不同的几何图形的过程就是将图形分类的过程。“结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角”及第二学段“认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形”的学习中都有分类的思想。第

14、一学段中的“能对简单几何体和图形进行分类”的要求，实际上就是借助对图形的认识使学生体会和感悟分类的思想。2.第二学段知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆。认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180。认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。第二学段的内容以认识平面图形的基本特征为主，内容的抽象程度已经比第一学段有较大提高，但仍然是操作几何、实验几何的范畴。具体包括：（1）理解角的大小关系角是平面图形的主要研究对象之一，角的大小关系是进一步学习平面

15、图形特征的必备基础。课程目标的含义主要是“知道周角、平角的概念及周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系”，是在第一学段的基础上拓展角的大小关系，研究周角、平角以及各种角之间的大小关系。（2）认识简单平面图形的基本特征“通过观察、操作、认识平行四边形、梯形和圆，会用圆规画圆”，是在学生直观认识平行四边形、梯形和圆以及有关角、线段、平行线、垂线等基础上，从理性上进一步认识平行四边形、梯形和圆，认识的手段是实践、观察、操作。“认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大于第三边，三角形内角之和是180o。目的是了解三角形边与边之间、角与角之间的基本关系，实施的重点是运用三角形特征解决一些简单

16、的实际问题，并在运用中加深理解三角形。“认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形”。三角形是图形的基本组成要素之一，把三角形按边或角分类，是进一步学习三角形的基础。这项目标试图通过三角形的分类，从边、角的角度进一步认识三角形，因而，实施重点是学生理解三角形分类标准，懂得同样一个三角形，按照不同的分类标准，可以得到不同结果的道理。“平面图形的认识”内容分析与案例在“图形与几何图形的认识”这部分的内容中，关于平面图形的认识占了大部分，学生将在现实世界积累的有关图形的经验的基础上，认识常见的平面图形；在丰富的现实背景中，通过观察、操作、比较、概括、推理等探索常见图形的性质，并运

17、用它们解决实际问题，建立空间观念；欣赏丰富多彩的图形世界，体会图形在现实世界中的广泛存在。二、“平面图形的认识”部分内容教材分析1.长方形的认识长方形的认识内容各版本教材均分两次编写，第一次为初步认识长方形等基本图形，一般都在一上或者一下，第二次为进一步认识长方形的特征，一般安排在二下或者三上。对于素材的选择，各版本教材基本上都采用生活实物加主题图的方式进行呈现，并配上相关的问题。在两个阶段中，教材都设计了大量观察、实验、操作等活动。就长方形和正方形的关系，绝大多数教材均进行了处理，有的教材是明确地表明了长、正方形的关系，有的教材是将二者关系隐含在例题的设计中。2.三角形的认识与长方形的认识相

18、同，在初步认识了三角形之后，各版本教材均在第二学段编写了“三角形”的特征等知识的学习，有的教材是将三角形作为一个独立的单元进行编写，有的则与平行四边形、梯形特征的学习放在了一起。三角形的特征包括三角形的定义（底、高等元素）、三边的关系、内角和、分类等，有的教材还将三角形的稳定性作为一个重要的知识点编写在教材中。各版本教材基本上都给出了三角形描述性的定义，及底和高的定义等；三角形的分类这一内容各教材安排的位置不太相同，有的在三边关系、内角和之后，有的在二者之间或其前面。另外，各版本教材也都设计了丰富的操作活动，既作为一种引入知识点的方式，也是对教学方式的一种提示。3.角的认识角的认识分为两次编写

19、。第一次为“角的初步认识”，不同版本教材均从具体素材引入教学，介绍角的顶点及边的写法，有的教材设计了做角、比较角的大小等活动，另外还有认识直角、锐角及钝角的内容。不同版本教材的共同点在于，无论用何种具体情境作为引入，均呈现了来自生活的素材，且具有一定的相似性，如剪刀、钟面、三角板等素材就几乎被各版本教材所使用，但对于角的各部分名称、读法记法的学习，各版本教材差别比较大。第二次为“角的认识”，在第二学段。各版本教材采用了丰富的方式引入了“角”，并且有部分教材格外关注了动态变化的角，利于学生探索角的本质特征，理解角的概念。但各版本教材对“角的概念”的描述及处理还是有比较大的区别的。4.圆的认识圆的

20、认识涉及圆的各部分名称、画圆的方法、圆的特征等许多内容。对于教材的引入，各版本教材都注重联系学生的生活实际，并关注圆本质属性的呈现。而对“画圆”的处理，多数教材都先编写用圆规以外的其它工具画圆，再呈现用圆规画圆，其中，用“一根绳子一支笔”画圆的方法出现在了多数教材中。对“圆心、半径、直径”的认识，各版本教材都结合图示给出了概念，但有的教材是对其进行了严格的定义；各版本教材也都安排了探索的活动，让学生经历探索圆的特征的过程。“平面图形的认识”内容分析与案例在“图形与几何图形的认识”这部分的内容中，关于平面图形的认识占了大部分，学生将在现实世界积累的有关图形的经验的基础上，认识常见的平面图形；在丰

21、富的现实背景中，通过观察、操作、比较、概括、推理等探索常见图形的性质，并运用它们解决实际问题，建立空间观念；欣赏丰富多彩的图形世界，体会图形在现实世界中的广泛存在。三、“平面图形的认识”教学建议在教学中，必须注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和图形的形状、大小，通过多样的活动发展学生的空间观念。1.抓住“平面图形认识”的内容主线平面图形的认识这部分的知识内容比较繁杂，可以把握以下的几个主线：从直观辨认图形到辨析图形的基本元素。对多数平面图形，尤其是封闭图形，教材总是从直观的、整体的认识开始编写，然后逐渐深入到对图形基本元素的认识和辨析上，到了中高年级学生需要继续探索这些图

22、形的特征。就如同去看一个人，首先对他有一个整体认识，然后关注这个人的眉毛、鼻子、眼睛等局部特征；反过来当关注了眉毛、鼻子、眼睛等以后，再去整体认识这个人，就会有一个更新的认识。从生活中的实物抽象出图形到应用于生活。目前，教师普遍重视从生活中的实物抽象出图形的过程，但是反过来将图形及其特征应用到生活中，还挖掘的不够。从静态到动态。对于图形的认识，不仅可以从静态的角度去认识，还可以从动态的角度丰富这种认识。如有的教材编写角时，第一次编写侧重于静态，体会角是一个端点和两条边组成的图形；第二次编写时侧重动态，体会角还是一条边绕端点旋转形成的部分。2.注重使学生体会图形与现实世界的密切联系图形与几何领域

23、的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中有着极其广泛的应用。因此教学中应注意以现实世界中有关空间与图形的问题作为学习素材。这里有两个含义：第一，虽然数学的图形是抽象的，但学生的理解也是需要背景的，需要在现实生活中找到它们的“影子”；第二，仅仅停留在丰富的背景中是不够的，学生需要进一步进行概括和抽象，从而得到数学中的图形。3.鼓励学生经历观察、操作、想象、推理、表达等活动在认识图形和图形特征的探索过程中，学生必然要从事多种活动，这也是小学图形与几何学习的一个重要特征。这些活动，既包括观察，也包括操作，如撕、剪、拼、折、画，还包括学生的想象等。动手操作过程中，不要忽视推理的价值，操作要始终伴随着思考

24、。4.重视图形分类的价值图形分类可以帮助学生不断对图形进行比较、概括，从而不断体会图形的特征。因此，在图形认识的教学中，教师应重视图形分类的价值。在图形学习完之后，教师可以在复习整理阶段进行图形分类的活动。也可以在图形性质探索的初始阶段，就安排图形分类的活动，鼓励在尝试对图形进行分类的过程中去关注图形的边、角等特征。具体来说，认识某种具体图形的教学还只是个案，只有让学生感悟到了图形的分类才使得教学具有一般意义。在分类的过程中一方面可以让学生感悟如何合理地制订分类标准，学会如何遵循标准进行合理的分类，这对培养学生的数学素养是非常重要的；一方面还能培养学生的抽象能力，因为在分类的过程中，既要关注图

25、形的共性也要关注图形的差异，而共性和差异都是抽象的结果，是抽象的具体体现。比如下面的表格可以在教师的引导下由学生进行整理，学生将体会到图形之间的相同和不同以及图形之间的联系。“观察物体”内容分析与案例一、课标中对“观察物体”的要求在2001年国家出台的义务教育阶段数学课程标准中，对“图形”领域“图形的认识”部分，较之原来的课程内容，第一次增加了“观察物体”的部分。这一新增内容教材如何编写、教学如何设计等问题成为教材编写者和一线教师关注的问题。在2011年修订的课标中，对“观察物体”每一个学段内容都提出了具体的教学要求。课标中对“观察物体”具体内容的要求表述如下：第一学段：能根据具体事物、照片或

26、直观图辨认从不同角度观察到的简单物体（参见例11）。例11：如图，桌上放着一个茶壶，四位同学从各自的方向进行观察。这个要求中两处需要重点把握：一个是“从不同角度”，上面的例子中示范的是前后左右四个角度；另一个是“简单的物体”，更多的是指生活中的实际物体，而非数学所研究的抽象的几何体。第二学段：能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图（参见例32）。例32：观察图8。【说明】可以为学生提供实物，让学生进行实际观察。观察之前也可以先说一说自己的想法，再实际验证。这个要求需要重点把握的是：一个是对方向的要求，虽然与第一学段相比看似是少了一个面，但实际上是对方向提出了更高的要求，“前面、

27、侧面、上面”实际上是观察一个物体至少需要的几个维度，也是“前、后、左、右、上、下”这六个方向的代表，也是画物体三视图的三个规定方向；另一个是“形状图”，即这一学段的观察物体，更多是对“形状”的观察和描述，因此例32中给出了被观察图形是抽象的几何体的代表，这与第一学段是完全不同的。与2001版课标相比，此次修订版课标中“观察物体”两个学段的内容更加清晰和准确。2001版课标对“观察物体”的描述如下：第一学段：辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状。第二学段：能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置。2011版课标第一学段明确提出了将“具体事物、照片、直观图”作为观察的对象，并且对简单物体

28、的观察从原来“正面、侧面、上面”的规定修改为“从不同角度”，这更容易帮助学生建立起对物体的整体印象；第二学段有两个变化，一个是将从“不同方向”细化成“前面、侧面、上面”三个方位，帮助学生明确通过“三视图”就可以刻画和描述物体，同时去掉了辨认“相对位置”的内容，课标中的例子也从两组分开的正方体修改成了一组相连接的正方体组成的形状。“观察物体”内容分析与案例二、“观察物体”的教育价值为什么增加“观察物体”的内容呢？1.对空间的研究始于观察学生生活在立体的世界中，每天都看到周围各种各样的物体，这些物体经过抽象才成为数学中所研究的几何图形。对空间及空间中物体的研究是从观察开始的，学生入学后学习的第一个

29、与几何相关的内容是“立体图形的认识”，学生要通过“看一看、摸一摸、推一推、滚一滚”等一系列活动认识生活中常见的圆柱、长方体、正方体、球等几何图形，为未来图形与几何内容的学习做好准备和铺垫。不仅如此，学生认识任何一个几何图形、掌握图形的运动、变化等的规律都离不开观察，而“观察物体”的内容则是帮助学生有步骤的、系统的学习如何对物体进行观察，其价值不在于这个内容本身，而在于运用所获得的方法，养成正确、有序观察的习惯，成为学习其他几何图形内容的助力。2.观察是发展空间观念的必要活动学生的空间观念发展是要经历几个阶段的，从空间知觉到空间表象再到空间想象。学生对物体、图形的形状、大小及距离、方位等位置关系

30、的直觉判断就是空间知觉；在大量空间直觉的基础上形成的关于物体、图形的形状、大小及相互位置关系的印象是空间表象；而在事物或图形的影响下，在言语的调解下，头脑中已有的空间表象经过加工、改造、结合，产生新表象的心理过程就是空间想象。小学阶段对学生空间观念的培养应以培养学生的空间想象力为目标。学生空间知觉的发掘、空间表象的建立都需要以观察为前提，用观察做支撑，学生要通过观察得到对物体大小、方位等的直觉判断，并通过反复的观察、测量、操作等活动在头脑中形成表象，进而通过观察新事物并与头脑中的表象对比形成空间的想象力。因此，没有观察等活动，学生就无法建立对物体的认识及后续的一切学习活动，观察是学生认识空间世

31、界、发展空间观念的必要活动之一。三、“观察物体”教材编写分析按照数学课程标准中的要求，各版本教材观察物体的内容的编排在两个学段中分布。1.第一学段教材编写特点通过对北师、河北、苏教、人教等版本教材第一学段“观察物体”内容的分析，可以发现这些版本的教材基本都按照数学课程标准中的相关要求，以对生活中具体实物的观察切入，有梯度的加深教材编写的难度；多数版本教材编写中，观察对象除了一个物体的情况，还有两个实物组合的情况；并且，人教、河北等教材有比较明显的与第二学段“观察物体”内容的衔接和过渡内容。2.第二学段教材编写特点通过对北师、山东、苏教、人教等版本教材第二学段“观察物体”内容的分析，可以发现这些

32、版本的教材都按照数学课程标准中对观察物体第二学段的要求，以多个小正方体拼组成的图形为观察对象，组成这些图形的小正方体的个数以4个为主，有的版本教材练习题中的组成图形的小正方体的个数超过了4个。另外，一个版本教材的内容有非常明显的与第一学段的衔接性；有一个版本的教材除了基本的观察物体的内容之外，增加了“观察范围”的教学内容及“不同观察位置导致观察结果的不同”等内容。四、“观察物体”教学建议“观察物体”的内容是课程改革之后新增的教学内容之一，对其研究及教师的教学经验都处在从头开始不断累积的过程，加之学生多空间事物的观察是有一定的生活经验的，更增加了教学设计与实施的难度。对于“观察物体”的教学，应该注重以下几个方面：1.要让学生亲身经历“观察”的过程观察物体两个学段的教学内容，是让学生经历了一个从直观上辨认物体，到从不同角度