中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案.docx

1、中国石油大学大学离散数学期末复习题及答案中国石油大学大学离散数学期末复习题及答案中国石油大学大学离散数学期末复习题及答案离散数学期末复习题一、填空题（每空2分，共20分）1、集合A上的偏序关系的三个性质是 、 和 。2、一个集合的幂集是指 。3、集合A=b,c，B=a,b,c,d,e，则AB= 。4、集合A=1,2,3,4，B=1,3,5,7,9，则AB= 。5、若A是2元集合, 则 2A 有 个元素。6、集合 A=1,2,3，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则2*3= 。7、设A=a, b,c,d , 则A= 。8、对实数的普通加法和乘法， 是加法的幂等元， 是乘法的

2、幂等元。27、推理理论中的四个推理规则是 、 、 、 。二、判断题（每题2分，共20分）1、空集是唯一的。2、对任意的集合A，A包含A。3、恒等关系不是对称的，也不是反对称的。4、集合1,2,3,3和1,2,2,3是同一集合。5、图G中，与顶点v关联的边数称为点v的度数，记作deg(v)。6、在实数集上，普通加法和普通乘法不是可结合运算。7、对于任何一命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式。8、设（A,*）是代数系统，aA，如果a*aa，则称a为（A，*）的等幂元。9、设f：AB， g：BC。若f，g都是双射，则gf不是双射。10、无向图的邻接矩阵是对称阵。11、一个集合不可以是另一个集

3、合的元素。12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。14、是格。15、树一定是连通图。16、单位元不是可逆的。17、一个命题可赋予一个值，称为真值。18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。20、设f：AB， g：BC。若f，g都是满射，则gf不是满射。21、集合1,2,3,3和1,2,3是同一集合。22、零元是不可逆的。23、一般的，把与n个个体相关联的谓词叫做一元谓词。24、“我正在说谎。”不是命题。25、用A表示“是个大学生”，c表示“张三”，则A(c)：张三是个大学生。26、设

4、F,，则 F-1 ,。27、欧拉图是有欧拉回路的图。28、设f：AB， g：BC。若f，g都是单射，则gf也是单射。三、计算题（每题10分，共40分）1、设A=c,d, B=0,1,2，则计算AB，BA。2、A = a,b,c，B = 1,2，计算AB。3、A = a,b,c，计算AA。4、符号化命题“如果2大于3，则2大于4。”。5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。6、符号化命题“2是素数且是偶数”。7、设A=a,b,c,d，R是A的二元关系，定义为：R=, , ，写出A上二元关系R的关系矩阵。8、设A=1,2,3,4，R是A的二元关系，定义为：R=, , ，写出A上二元

5、关系R的关系矩阵。9、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。10、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。11、设无向图G如下所示，求它的邻接矩阵。12、求命题公式 (pq)的真值表。13、设=，求x，y。14、R1、R2是从1, 2, 3, 4, 5到2, 4, 6的关系，若R1, , ，R2=, ，计算domR1，ranR1，fldR1，domR2，ranR2，fldR2。15、例：设A=1, 2, 3, 4, 5，B=3, 4, 5, C=1, 2, 3，A到B的关系R=|x+y=6，B到C的关系S=|yz=2，求RS。16、集合A=a, b, c，B=1, 2,

6、3, 4, 5，R是A上的关系，S是A到B的关系。R=, , , , ，S=, , , , ，求RS，S1R117、A1, 2, 3, 4, 5, 6，D是整除关系，画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。18、设集合A=a,b,c，A上的关系R=, , ，求R的自反、对称、传递闭包。19、求下图中顶点v0与v5之间的最短路径。20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。四、证明题（每题10分，共20分）1、若R和S都是非空集A上的等价关系，证明RS是A上的等价关系。2、证明苏格拉底论证：凡人要死。苏格拉底是人，苏格拉底要死。3、PQ，QR，R，SPS4、在群中，除单

7、位元 e 外，不可能有别的幂等元。5、设R和S是二元关系，证明：(RS)-1=R-1S-16、证明：(QS)R)(S(PR) = (S(PQ)R.7、设I是整数集合，k是正整数，I上的关系R|x, y I，且xy可被k整除，证明R是等价关系。8、证明(pq)r) (qp)r)9、证明(PQ) (PR) (QS)SR10、证明P Q，QR，RS P11、证 (x)(P(x)Q(x) (x)P(x) (x)Q(x)12、证明定理：设是群，对于任意a, bG，则方程ax=b与ya=b ，在群内有唯一解。 离散数学复习题参考答案一、填空题（每空1分，共20分）1、集合A上的偏序关系的三个性质是自反性、

8、反对称性和传递性。2、一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合。3、集合A=b,c，B=a,b,c,d,e，则AB=a,b,c,d,e。4、集合A=1,2,3,4，B=1,3,5,7,9，则AB=1,3。5、若A是2元集合, 则 2A 有 4 个元素。6、集合 A=1,2,3，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则2*3= 3 。7、设A=a, b,c,d, 则A= 4 。8、对实数的普通加法和乘法， 0 是加法的幂等元， 1 是乘法的幂等元。9、设a,b,c是阿贝尔群的元素，则-(a+b+c)=(-a)+( -b)+( -c)。10、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点

9、一次且恰好一次的路。11、不能再分解的命题称为原子命题，至少包含一个联结词的命题称为复合命题。12、命题是能够表达判断（分辩其真假）的陈述语句。13、如果p表示王强是一名大学生，则p表示王强不是一名大学生。14、与一个个体相关联的谓词叫做一元谓词。15、量词分两种：全称量词和存在量词。16、设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集。17、集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元。18、设A=a, b，则 (A) 的四个元素分别是：空集，a，b，a, b。19、代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统。20、设是代数系统，其中是*1,*2二元运算符，如果*1

10、,*2都满足交换律、结合律，并且*1和*2满足吸收律，则称是格。21、集合A=a,b,c,d，B=b ，则A B= a, c,d 。22、设A=1, 2, 则A= 2 。23、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示以v为起点的边的条数，入度deg-(v)表示以v为终点的边的条数。24、一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路。25、不含回路的连通图是树。26、不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点。27、推理理论中的四个推理规则是全称指定规则 (US规则)、全称推广规则 (UG规则)、存在指定规则 (ES规则) 、存在推广规则 (EG规则)。二、判断题（每题2分，共20分）1

11、、。2、。3、。4、。5、。6、。7、。8、。9、。10、。11、。12、。13、。14、。15、。16、。17、。18、。19、。20、。21、。22、。23、。24、。25、。26、。27、。28、。1、空集是唯一的。2、对任意的集合A，A包含A。3、恒等关系不是对称的，也不是反对称的。4、集合1,2,3,3和1,2,2,3是同一集合。5、图G中，与顶点v关联的边数称为点v的度数，记作deg(v)。6、在实数集上，普通加法和普通乘法不是可结合运算。7、对于任何一命题公式，都存在与其等价的析取范式和合取范式。8、设（A,*）是代数系统，aA，如果a*aa，则称a为（A，*）的等幂元。9、设f

12、：AB， g：BC。若f，g都是双射，则gf不是双射。10、无向图的邻接矩阵是对称阵。11、一个集合不可以是另一个集合的元素。12、映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系。13、群中每个元素的逆元都不是惟一的。14、是格。15、树一定是连通图。16、单位元不是可逆的。17、一个命题可赋予一个值，称为真值。18、复合命题是由连结词、标点符号和原子命题复合构成的命题。19、任何两个重言式的合取或析取不是一个重言式。20、设f：AB， g：BC。若f，g都是满射，则gf不是满射。21、集合1,2,3,3和1,2,3是同一集合。22、零元是不可逆的。23、一般的，把与n个个体相关联的谓词叫做一元谓词

13、。24、“我正在说谎。”不是命题。25、用A表示“是个大学生”，c表示“张三”，则A(c)：张三是个大学生。26、设F,，则 F-1 ,。27、欧拉图是有欧拉回路的图。28、设f：AB， g：BC。若f，g都是单射，则gf也是单射。三、计算题（每题10分，共40分）1、设A=c,d, B=0,1,2，则AB=,，BA= ,。2、A = a,b,c，B = 1,2，AB = a,b,c 1,2 = ,。3、A = a,b,c，AA = a,b,c a,b,c = ,。4、符号化命题“如果2大于3，则2大于4。”。设 L(x,y)：x大于y， a：2， b：3， c：4，则命题符号化为L(a,b)

14、L(a,c)。5、符号化命题“并不是所有的兔子都比所有的乌龟跑得快”。设F(x)：x是兔子。G(x)：x是乌龟。H(x,y)：x比y跑得快。该命题符号化为：xy(F(x)G(y)H(x,y)。6、符号化命题“2是素数且是偶数”。设 F(x)：x是素数。 G(x)：x是偶数。 a： 2，则命题符号化为F(a)G(a)。7、设A=a,b,c,d，R是A的二元关系，定义为：R=, , ，写出A上二元关系R的关系矩阵。解：R的关系矩阵为：8、设A=1,2,3,4，R是A的二元关系，定义为：R=, , ，写出A上二元关系R的关系矩阵。解：R的关系矩阵为：9、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度

15、数。deg(v1)3，deg+(v1)1，deg-(v1)2；deg(v2)deg+(v4)deg-(v2)0；deg(v3)3，deg+(v3)2，deg-(v3)1；deg(v4)2，deg+(v4)1，deg-(v4)1；10、设有向图G如下所示，求各个结点的出度、入度和度数。答：deg(v1)3，deg+(v1)2，deg-(v1)1；deg(v2)3，deg+(v2)2，deg-(v2)1；deg(v3)5，deg+(v3)2，deg-(v3)3；deg(v4)deg+(v4)deg-(v4)0；deg(v5)1，deg+(v5)0，deg-(v5)1；11、设无向图G如下所示，求它

16、的邻接矩阵。12、求命题公式(pq)的真值表。pqqpq (pq)0010101001101101100113、设=，求x，y。解：由定理列出如下方程组： 求解得x=5，y=0。14、R1、R2是从1, 2, 3, 4, 5到2, 4, 6的关系，若R1, , ，R2=, ，计算domR1，ranR1，fldR1，domR2，ranR2，fldR2。解：domR1=1, 3, 5，ranR1=2, 4, 6，fldR1=dom R1ran R1=1, 2, 3, 4, 5, 6；domR2=1, 2，ranR2=4, 6，fldR2=dom R2ran R2=1, 2, 4, 6。15、例：设

17、A=1, 2, 3, 4, 5，B=3, 4, 5, C=1, 2, 3，A到B的关系R=|x+y=6，B到C的关系S=|yz=2，求RS。解：R=, , , S=, , ，从而RS=, , 或者因R，S，所以 RS；因R，S，所以 RS；因R，S，所以 RS；从而RS=, , 16、集合A=a, b, c，B=1, 2, 3, 4, 5，R是A上的关系，S是A到B的关系。R=, , , , ，S=, , , , ，求RS，S1R1RS=, , , , , , (RS)-1=, , , , , , R1=, , , , ，S1=, , , , S1R1=, , , , , , 。17、A1,

18、2, 3, 4, 5, 6，D是整除关系，画出哈斯图并求出最小元、最大元、极小元和极大元。解：1是A的最小元，没有最大元，1是极小元，4、5、6都是A的极大元。18、设集合A=a,b,c，A上的关系R=, , ，求R的自反、对称、传递闭包。r(R)=,s(R)=,t(R)=,19、求下图中顶点v0与v5之间的最短路径。解：如下图所示v0与v5之间的最短路径为：v0, v1, v2, v4 , v3, v5最短路径值为1+2+1+3+2=9 20、分别用三种不同的遍历方式写出对下图中二叉树点的访问次序。先根遍历：ABDEHCFIJGK 中根遍历：DBHEAIFJCGK 后根遍历：DHEBIJFK

19、GCA四、证明题（每题10分，共20分）1、若R和S都是非空集A上的等价关系，证明RS是A上的等价关系。证明：aA，因为R和S都是A上的等价关系，所以xRx且xSx。故x RS x。从而RS是自反的。a,bA，aRSb，即aRb且aSb。因为R和S都是A上的等价关系，所以bRa且bSa。故b RS a。从而RS是对称的。a,b,cA，a RS b且b RS c，即aRb，aSb，bRc且bSc。因为R和S都是A上的等价关系，所以aRc且aSc。故a RS c。从而RS是传递的。故RS是A上的等价关系。2、证明苏格拉底论证：凡人要死。苏格拉底是人，苏格拉底要死。设： H(x)：x是人。M(x)：

20、x是要死的。s：苏格拉底。本题要证明：(x)(H(x)M(x)H(s)M(s)证明： (x)(H(x)M(x) P H(s)M(s) US H(s) P M(s) 、3、PQ，QR，R，SPS证明：(1) R 前提(2) QR 前提(3) Q （1），（2）(4) PQ 前提(5) P （3），（4）(6) SP 前提(7) S （5），（6）4、在群中，除单位元 e 外，不可能有别的幂等元。因为ee=e，所以e是幂等元。设aG且aa=a，则有a=ea=(a 1 a)a=a 1(aa)=a1 a=e， 即a=e。5、设R和S是二元关系，证明：(RS)-1=R-1S-1证明： . 所以 .6、证

21、明：(QS)R)(S(PR) = (S(PQ)R.证明：左边：(QS)R)(S(PR)=(QS)R)(S(PR)=(QSR)(SPR)=(QSR)(SPR)右边：(S(PQ)R= (S(PQ)R= (S(PQ)R= (QSR)(SPR)所以 (QS) R)(S (PR) = (S(PQ)R.7、设I是整数集合，k是正整数，I上的关系R|x, y I，且xy可被k整除，证明R是等价关系。证明：(1) 对任意的x A，有xx=0可被k整除。所以 R，即R具有自反性。(2) 对任意的x，y A， R，即xy可被k整除，设xy=km，则yx=km，显然yx可被k整除。所以 R，即R具有对称性。(3)设

22、x，y，z A，若 R， R，即xy可被k整除，yz可被k整除，设xy=km，yz=kn，则xz=k(m+n)，即xz可被k整除。所以 R，即R具有传递性。综上所述， R具有自反性、对称性和传递性，故R是等价关系。8、证明：(pq)r) (qp)r)p(qr) r(qp)证明：1(pq)r) (pq)r) /蕴涵等值式 (pq)r /蕴涵等值式 (p(q)r /德摩根律 (qp)r) /交换律p(qr) r(qp)p(qr) /蕴涵等值式p(qr) /蕴涵等值式r(qp) /结合律与交换律r(qp) /蕴涵等值式r(qp) /蕴涵等值式9、证明(PQ) (PR) (QS)SR证明：(1) PQ

23、 已知前提(2) PQ 由(1)(3) QS 已知前提(4) PS 由(2) 和(3)(5) SP 由(4)(6) PR 已知前提(7) SR 由(5) 和(6)(8) SR 由(7)10、证明P Q，QR，RS P证明用反证法，把(P)作为附加前提加入到前提的集合中去，证明由此导致矛盾。(1) (P) 反证法附加前提 (2) P 由(1) (3) PQ 已知前提 (4) Q 由(2)和(3) (5) QR 已知前提 (6) R 由(4)和(5) (7) RS 已知前提 (8) R 由 (7) (9) RR 由(6)和(8)，矛盾11、证 (x)(P(x)Q(x) (x)P(x) (x)Q(x

24、)CP规则：要证SRC ，也就是证明(SR) C (1) (x)P(x) 前提引入 (2) (x)P(x) 由(1) (3) P(c) 由(2) ES (4) (x)(P(x)Q(x) 前提引入 (5) P(c)Q(c) 由(4) US (6) Q(c) 由(3)和(5) (7) (x)Q(x) 由(6) EG12、证明定理：设是群，对于任意a, bG，则方程ax=b与ya=b ，在群内有唯一解。 证明：因为a (a-1b) =(a a-1)b =1b= b 所以x=a-1 b是方程 ax=b 的解。其次证明唯一性，如果有另一解c，则必有 a c = b= a (a-1b)，由消去律可知c =a-1 b 。 同理可证 ya=b 有