计算的启蒙教学.docx

1、计算的启蒙教学计算的启蒙教学摘要 人世间永远不会有物的计算，计算是在人思维中实行数的计算。普遍的人学习10以内数加减计算都还处于用实物练习的原始时期，还没有进入数的练习时代。所有的小学一年级第一册数学教科书中的第一个计算题都是加法计算，家庭的、非正规的教学更是只注重加法练习，这是数学领域的“地心说”。自然空间实物的增加和人思维空间数的增加，两个空间影响了人的思维，在处理印象方法上产生了错误，又有人的天性作袒护，学习计算就从加法开始，这样的错误不容易被人发现。一个人的思维要从一部分实物只表示一个数往一部分实物有几个就表示几个数的理念发展变化。10以内数的加减计算只有90个计算题，在练习过程中，都

2、是移动一次数字个体作几次假设移动练习几个计算题。这样练习计算，从2到10的计算没有简单与复杂的区别。一个人只要有理解百人左右的智力就能学会10以内数的加减计算。 关健词 加法计算也是减法的思维过程。根据计算熟练的人计算“1加1等于2”的思维过程，学习计算的人练习计算就应该从“2减1等于1”开始！ 一 、前言10以内数的加减计算教学，有史以来就存有着教和学两者的矛盾。教者要学计算的人计算时不用实物，要在思维中实行计算。学计算的人又不能在思维中用数的材料实行计算，计算时就必须数实物，最方便的是数手指。教和学的矛盾代替了教学方法就等于没有方法。再加上人的天性受自然物质影响产生错误的导向，违背了一个人

3、学计算从不熟练到熟练的思维变化规律，这样就导至有些人到了小学三年级都还要数手指来完成计算。有些人终生都是只会用数的概念理解一部分一部分的实物或其他材料，计算时总要出现“3加5等于9”或“9减7等于3”这类似的错误。文中分析了人的思维特点和数在思维中的结构，又强调了理解计算的意义和练习计算的区别，提出了从减法开始的数象法教学。这样能够让思维敏感的或不敏感的人学习10以内数的加减计算都容易达到熟练水准。这样，在我们的人群中就会减少不会简单计算的人。二、实物的数每一个人最初理解数用的实物都是一部分只表示个数，把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10全部表示出来，就要用10部分实物，这样就形成一个数

4、的场面。在这个场面里，每个数的形象是稳定的，给人的印象是清楚的。这样用55个实物表示的数，从1到10都是各占个空间位置，数与数之间没有必然的联系。 个人虽然不必用55个实物理解10个数，但是一个时空只能理解个数。一个个的数分先后进入人的思维空间，这样形成的是数群，这样的数是具象数。每一个具象数是部分实物的形象，决定了数与数之间没有必然联系的氛围。每一个数各占个空间位置，这是一个人最初理解数的思维方式，这样的思维方式称为数群思维。个人只有数群思维基础，只能用数的概念理解部分部分的实物，不宜实行计算的思考。 计算熟练的人都会承认思维中有一个数象体系，在10以内数这个段数象体系里，加减计算都有三个数

5、形成关系数组。只有在思维中形成种关系数组，才能听见或一看见计算题就亲身说出得数。10以内数的加减计算简单，要创建关系数组对一个初学计算的人来说并不简单，单纯的数群思维方式就很难创建计算的关系数组。个人对10以内数的加减计算达到了熟练的水准，对部分实物的理解就不是只表示一个数，而是部分实物有几个就能表示几个数。这不是实物的变化，而是人的思维发生了变化。三、抽象的数当个人的计算达到一定熟练水准，就会形成一部分实物有几个就表示几个数的新的思维方式，这是把个个实物变成了抽象的思维材料。抽象的思维材料能够表示数，并且是有几个就表示几个数，就是给一个个材料添上了无形的数字符号成为抽象的数字个体。只有抽象的

6、数字个体作为思维材料，才能达到有几个就表示几个数的效果。一个数字个体有他的双重身份，既能表示数的意义而又是一个单独的个体，这样的数才是抽象数。抽象数的特点是从1开始逐渐增大，一个数包含着比他小的数而又被比他大的数包含着形成整体形象，这样的思维方式称为数象思维。平常使用的数，使用了数的意义也就使用了数字个体。有时使用“第几个”所用的数没有使用数的意义，仅仅用了数的位置。数群思维中的数位，在一个人学念数的口语和数实物过程中就形成了有顺序的排列。数象思维的数位概念与数群思维不一样，从1开始逐个增加的数，用到哪个数就有哪一数位，数位是能够无限的增加。数象思维的数位与水位相同，虽然水到之处才是水位但也能

7、够预先设置空数位。数是具象数和抽象数的统称，具象数的大小是以体形来说，与数位无关紧要。抽象数的大小，根据人的视觉立体特性从小到大的数必然是从低到高的竖向排列，1是最小的数其数位也最低，数和数位有着相当密切的关系。计算熟练的人实行心算，实际情况上是在思维中利用数字个体和数位。四、物与数的计算人世间永远不会有物的计算，计算都是在人思维中实行数的计算。计算熟练的人杷一部分一部分的实物用数的概念记下来实行计算，目的是对物实行计算，但实际情况上是在思维中实行数的计算。所以，教学研究应该从人的思维结构来讨论。人人学习10以内数的加减计算，只有先用实物理解了计算的意义才能实行练习计算，这是不可违背的规律。但

8、是，练习计算就不应该继续用实物，应该学习在思维中实行数的计算。普遍的人学习10以内数的加减计算都还处于用实物练习的原始时期，还没有进入数的练习时代。初学计算的人得到只有声音或数字的计算题，教和学的目的就是为了在思维中实行数的计算练习。但是，学习计算的人依然要象理解计算的意义一样反反复复地数实物，最方便的是数手指，在思维中实行数的计算就是一段空白历史。有些人到了小学三年级都还要依靠数手指来完成10以内数的加减计算，这些人的空白历史更长。这是因为数实物练习计算给人增添了很多的思维负担。现将思维负担讨论如下：以练习“4加3等于7”为例；第一次数实物要用1、2、3、4四个数，第二次要用1、2、3三个数

9、，第三次要数1、2、3、4、5、6、7七个数，前后三次共用了14个数次。只用次4、3、7就能完成计算的练习，把这称为实用数。只用3个实用数创建一个关系数组就能练习计算，还有11个数就是外来干扰数，这就是思维的额外负担。无论加法或减法，练习一个计算题都要数三次实物。按同样的方法作统计，从2到10的加减计算全部练习一次，数实物的总次数是1320数次，其中只有270数次是实用数，其余的1050个数次都是外来干扰数，都是给学计算的人增添的额外思维负担。由此看来，5以内数的计算与6以上的作比较，简单与复杂的区别就在于数实物产生干扰次数的多与少。还有一个问题更不能忽视。用一部分实物从减法开始，从中减去一个

10、或几个就能够练习相关的加减计算。但是，要用两部分从加法计算开始，这是人欲求得到和利用实物的天性表现。这是计算熟练的人的天性对实物过于敏感产生的错误强加给学习计算的人。所有的小学一年级第一册数学教科书中的第一个计算题都是加法计算，以后每一个新的教程都是从加法计算开始。家庭的、非正规的教学更是只注重加法练习，这是数学领域的“地心说”。太阳和月亮有东升西落现象，自然生物有生长发育点点增加的“加一现象”。 太阳和月亮是天象使人类产生共同错误，处于地象的自然物也使人类产生共同错误。自然物质有增加的趋势也有减少的一面，人的天性欲求得到和利用实物，对实物的增加理解过于敏感，不愿正视减少的一面，这是从加法计算

11、开始教学的根本原因。人类创造数和一个人最初理解数，其方法都是在自然空间增加一个实物或象征性的实物，人的思维空间就增加一个数。这决不是计算，但这与“加1个” 的计算极为相同。自然空间的实物和人思维空间的数都是一个一个的增加，这是两个空间的发展趋势而并不是计算。但是，这样不是计算的趋势影响人的思维，在处理印象方法上产生了错误，又有人的天性作袒护，学习计算就从加法开始，这样的错误不容易被人发现。理解计算的意义从加法开始或从减法开始无关紧要，练习10以内数的加减计算，要在记住90个计算题及其答案的过程中产生一种新的思维方式，从加法开始或只练习加法就与人的思维进步变化背道而驰。一个人的思维要从一部分实物

12、只表示一个数往一部分实物有几个就表示几个数的理念发展变化。用两部分实物从加法开始，练完个计算题，思维的结果是用两部分实物表示一个数，这就与思维的进步变化背道而驰。用一部分实物从减法开始，练完一个计算题，一部分实物最少也能表示三个数。有些关系数组的三个数有相同数，在人思维中的数象里只用上了两个数，其中有一个数被重复使用。数象体系的数中数、一个数能够多次重复使用，这些内容对学习计算的人是无从讲解，这又是必不可少的理念，这只能实行无声的启发让其领会。用一部分实物从减法练习开始，这些问题都能从中得到解决。把一部分实物分成两部分表示两个数这是计算的需要，在计算的过程中出现且用于计算，这就无可非议。在现时

13、的教学中普遍流行于脱离计算去理解数中数，把一部分实物分成两部分理解两个数，僵化人的思维在这里就不可否认。一部分实物越多能分解的部分就越多，所表示的数也就越多。脱离计算把一部分实物只分解成两部分表示两个数就大为不妥，对学习计算的人不能起到辅助作用反而是增加额外的思维负担。那些到了小学三年都还要数手指完成加减计算和终生都是只会用数的概念理解一部分一部分实物的人，就证明了脱离计算机械地理解数中数对他们练习计算没有辅助作用。一个人学计算，相关联的减法和加法必须在同一时段学习，这样才有利于加深三个数的印象创建关系数组。例如：部分实物是7个，练习“7减1等于6”过后就产生了7、1、6三个数。这祥一个减法计

14、算把部分实物分成了两部分的现状和思维基础，正好是练习“7减6等于1”、“1加6等于7”、“6加1等于7”的机会。这样就容易创建7、1、6三个数的关系数组。7这个个数包含有1和6(和其他数)直接用减法计算的方法去理解，不但能对学习计算的人的思维变化实行无声的启发，而且在创建关系数组的同时又开发利用了人的思维特性。人的思维有暂留特性。比如：从7个实物里取出1个，7的印象不会立刻消失，取走2个或3个也同样不会立刻消失。人要产生记忆，不从肉体解剖学讨论，思维的暂留特性产生的暂留印象才是产生记忆的基础。再以“7减3等于4”为例：只要能够熟练地数实物，从一部分是7个的实物中取出3个，7的印象不会立刻消失。

15、这样把7个实物分成两部分，再数另部分是4个，得到了答案，7的印象依然存有。7，是在一定时间范围内暂时存留的数，时间稍长就只有两部分实物能够表示3和4。但是，接着练习由7、3、4构成的其他计算题，7就能够由暂留数转换成记忆中的数。实际情况上3和4都是暂留数，时间太长了看上去仅仅两部分实物，这是人思维的暂留特性产生暂留印象最清楚的例证。用7、3、4三个数实行相关的加减计算，就把暂留印象中的数转换成了记忆中的数，并且创建了加减计算的关系数组。开发利用人思维的暂留特性，在这里成为练习10以内数加减计算从减法开始最核心的理论。用部分实物表示7，在计算熟练的人思维中就有一个7数象整体，只有一个整体不能从加

16、法计算开始，因为不具备计算的条件。从7数象中取出一个数字个体产生7、1、6，取出两个产生7、2、5，取出三个产生7、3、4，这是三个实实在在的关系数组。不从减法计算展开教学思路就可见人的天性对错误的固执。数实物练习计算和从加法开始练习计算，都会给学习10以内数加减计算的人带来不利。但历史以来这样练习计算绝大部分人都能够达到熟练水准，这是因为思维敏感的人在数实物的过程中都会产生数象印象。不过数完一部分实物只用一个数的概念，这又是一部分实物只表示一个数的数群思维方式。所以，数象的印象就成为一种潜理解。经过长期的数实物练习计算，潜理解就默化成为一种新的思维方式。当个人的计算达到熟练水准，把前面所述的

17、三个关系数组的数按从大到小的顺序排列起来就是7、6、5、4、3、2、1。部分实物原来只表示一个数，后来就表示几个数。人的天性造成教学方法的不足，就这样依靠人的天赋得到补充。计算熟练的人计算时不用实物，思维的材料是数。一部分材料只表示一个数相当于一部分实物只表示一个数，这是具象数的数群思维方式。表示数的材料有几个就表示几个数，这是抽象数的数象思维方式。不同的思维方式使用相同的材料，两种思维方式的相互转换似乎没有了界限。熟练的思维速度把具象数和抽象数的相互转换混为一体，对两种思维方式就很难区别清楚。熟练的思维方式不能与人直接交流，人的思维空间各自封闭还处于不可破解的时代。计算熟练的人和学习计算的人

18、两者形成了教和学的关系，实行计算时前者不用实物后者必须使用实物，教和学的矛盾代替了教学方法实际情况上就没有方法。要有切实可行的方法实现两者思维的顺利沟通，唯一的方法是让学习计算的人也用数的材料练习计算。把抽象的数象体系变成详细的、有直观性的素材，把从1至10的数字分别标在一个一个的实物上象征数字个体，按人的视觉立体特性作竖向排列，这样就把熟练计算的人思维中的数象体现到了自然空间。数字个体的排列结构就象电子学科的电路图，不是直接交流也是间接沟通的桥梁。作为人与人之间思维沟通的工具，详细用法以“7减3等于4” 为例：只要学习计算的人能够理解数的概念，有了认读数字的基础，在数象层次中的7看就明白。人

19、的思维到了这层次立刻就会创建7数象的整体结构。“减去3个”， 从数象里取出3个数字个体，留下的空数位仍然能够保持7的形象。凡是竖直堆放的都从上面取出，这是制止麻烦人人共有的本能，为了讨论方便把取出的数字个体就放在右边。答案 “4”（有数字个体表示）同样一眼就看得出来。创建7 和4的概念都凭基础知识排除了外来数干扰，并且都是数象思维。只有“3”才要象数其他实物一样，有数三个数字个体的过程，但只有两个外来数干扰。这是一部分数字个体表示的一个具象数，这是数群思维。练完一个计算题利用了两种思维方式，练习了7减3等于4过后，假设是从右边移动了下面四个，练习“7减4等于3”，假设把左边4个移到右边练习“3

20、加4等于7”，假设右边3个移回左边，练习“4加3等于7”。练完四个计算题也就只有两个外来数干扰。这样练习计算就容易把暂留印象的数变成记忆中的数，创建7、3、4的关系数组容易，记住4个计算题也很容易。在7数象中取出两个数字个体练习“7减2等于5”，作几次假设移动又能练习3个计算题。创建7和5的概念都凭认读数字的基本功排除了外来数干扰，只有2才有从数象整体中数取数字个体的过程，这里只有1个外来数干忧。从7数象中取出1个数字个体练习“7减1等于6”，再作几次假设移动再练三个计算题，这里的外来数干扰是0。在7的计算里，练完12个计算题只有3个外来数干扰。这样从观察到思维都实现了数的计算的练习。这样的练

21、习方法暂命为数象法。采用数象法练习，在7的计算里从移动1个到3个，作一些假设移动练完12个计算题，外来干扰数从数实物的132个减少为3个。从2到10的90个计算题，按同样的方法练习和统计，外来干扰数从数实物的1050个减少到30个。学习计算的人思维负担还不到数实物练习的3%。计算熟练的人计算“4加3” ，得数与计算题几乎同时出现。迅速出现7作为答案，3的意义并没有消失，这是在4数象上面增添“5”、“6”、“7” 三个空数位。3是指点数，添上三个空数位，只有这样才能得到7。这是计算熟练的人一瞬间的思维活动，把这个瞬间的速度放慢，4数象上面有了几个空数位，就成为没有满7的缺数象。加法计算的答案就是

22、个缺数象(因为两个加数都存有，这说明空数位里没有增添数字个体成为满数象)。缺数象的形成是从满数象减少数字个体，加法计算也是减法的思维过程！根据计算熟练的人计算“1加1等于2”的思维过程，学习计算的人练习计算就应该从“2减1等于1”开始！一个数象由满数象变成缺数象，一次缺损会产生两个缺补数。如：1和6、2和5、3和4，就是7数象缺损3次产生两数相当的缺补数(增加缺损次数是没有意义的重复)。一切计算都是求未知数。但是，10以内数的加减计算在熟练计算的人思维中，缺数象和缺补数都是已知数。缺数象中有空数位，所以说；计算熟练的人实行心算是在思维中利用数字个体和数位。没有学会计算的人出现“3加5等于9”

23、或“9减7等于3” 这个类似的错误，只差那么一点，是单纯使用具象数的数群思维，数位间的距离难以在想象中得到准确。不管是熟练或不熟练的人都要利用数位实行计算。有些人终生都是只会用数的概念理解一部分一部分的实物，在念数的口语和数实物过程中没有潜理解的默化。利用数字个体塑造出模得着看得见的数象，对思维不敏感的人是得不到潜理解的补充。移动数字个体练习计算，不但直接利用了暂留印象转化成记忆，而且微妙的利用了数和数位的关系。这样，思维不敏感的人也能在思维中利用数和数位实行数的计算练习。10以内数的加减计算只有90个计算题，在练习过程中，都是移动一次数字个体作几次假设移动练习几个计算题。这样练习计算，从2到

24、10的计算就没有简单与复杂的区别，一个人只要有理解百人左右的智力就能学会10以内数的加减计算。在教学实践中发现，思维敏感的人从2开始，学习了6以内数的加减计算后，7以上的计算就会无师自通地实行思考性的计算。五、结论（一）练习计算的材料不应该用实物。每一个人最初理解数的概念要用实物，思维方式都是一部分实物只表示一个数，单纯的这样思维方式不宜学习计算，只适宜用数的概念理解一部分一部分实物。个人对部分实物只表示一个数的进一步理解就是有几个就表示几个数。一部分实物有几个就表示几个数不是实物的变化，而是人的计算达到定熟练水准的思维变化。一部分实物只能表示一个数，这是改变不了的性质。把一部分实物分成很多部

25、分还是一部分表示一个数，这对人的思维变化没有协助反而是约束。（二）人记忆中的数不一定都是抽象数，计算是两种思维方式的综合利用。思维中数的材料一部分只表示一个数，相当于一部分实物只表示一个数，这样数是具象数。具象数都有各自的空间位置，在人思维中形成数群，这是种数群思维方式。一部分材料有几个就表示几个数，一个数包含着比他小的数而又被比他大的数包含着，这样的数才是抽象数。抽象数是从1 开始逐渐增大，无限增大的数在人思维中形成整体形象，这是数象思维方式。一个人数实物得到数的概念只能是具象数，初学计算的人更是只有具象数的数群思维方式。从加法开始练习计算就是两个具象数相加，具象数加具象数，得到的答案是第三

26、个具象数。具象数与具象数之间有数位距离，数群中数位的距离难以在想象中得到准确，这样就造成一些人计算时出现 “3加5等于9”或“9减7等于3” 只差那么点的错误。，当一个人的思维还是部分实物只表示个数的状态时，需要往部分实物有几个就表示几个数的思维方向发展。利用一部分实物（数的材料）从减法开始，这是把具象数改变成抽象数唯的手段。从减去个到几个，练习了减法就练习相对应的加法，这是对思维不敏感的人综合利用两种思维方式无声的启发。 （三）计算的启蒙教学应该象电子学科那样创建共同的思路。计算的启蒙教学都是数实物各自所思地练习加减计算，这就没有象电子学科那样从矿石收音机开始到电视机和电脑都有电路图作为教和

27、学共用的思维模式。制造收音机、电视机和电脑的科学知识原理虽然只有少部分人掌握，但教和学的方法不是靠单纯地玩弄电子器件发挥各自的思维想象水平就能达到教学目的。从最简单的矿石收音机到复杂的电脑，都用电路图在人与人之间创建了共用的思维模式，都在统一的思维模式基础上再发挥个人的智慧，电子科学才有人一代一代地继承发展。各种电子器件要用很多不同的符号代替才能绘制电路图，要有一定专业文化的人才能理解。只用10个数字个体就能塑造10以内数的数象，从小小的数象开始发挥各自的想象去理解无限增大的数象体系，只要有数实物和认读数字基础的人就能理解。把从1至10的数字分别标在10个算盘珠上，按前面所述的排列结构做成算盘

28、，暂命为数象算盘。个数字个体就是个算盘数珠，这样就塑造出一个小小的数象让人模得着看得见。算盘的数珠能够左右移动，部分数珠只表示一个数，这是具象数，一部分数珠有几个就表示几个数，这是抽象数。象文中介绍的那样，从减法开始练习计算，移动一部分数珠(数字个体)就创建缺数象和他的两个缺补数的关系。移动一次数珠作几次假设移动，综合利用两种思维方式在这里成为 “容易领会不易言传”的教学格式，既简单又复杂的思维交流过程在这里得到完美利用。初学计算的人利用算盘练习计算，最初是移动一次数珠作几次假设移动，进一步是看着算盘的数珠都是假设移动，再进一步就是想着数珠的假设移动。只有10个数珠，要记住并不难。想着10个数珠练习计算，不熟练时想的时间长，到熟练时想的时间就短。计算题和答案形成了各自的思维形象，便是个人学会了10以内数的加减计算。10以内数的加减计算只有90个计算题，个人只要有理解百人左右的智力就能学会10以内数的加减计算。