11群和编码离散数学讲义海南大学共十一讲.docx

1、11群和编码离散数学讲义海南大学共十一讲11.群和编码Group and coding11.1 二进编码和查错 coding of binary information and error detectionAlphabet 字母集。B0,1.message 从有限alphabet中选取有限多个符号组成的一个序列。word m个0和1组成的一个序列。BZ2， 01001110BmBBB（m个）。Bm的加法：(x1,x2,xm)(y1,y2,ym)=(x1+y1 ,x2+y2,xm+ym)Bm中共有2m个元素, Bm的阶是2m。(0,0,0).由于disterbance（noise）xxt。用编

2、码方法查错、纠错。取nm，一一对应 e：BmBn，称e是（m,n）编码函数。bBm，e(b)Bn叫做b的码词Code worde(b)比b多几位0，1用来查错和纠错。将要发出的word b编码得到x=e(b),发送后接收到xt，如果没有干扰，xxt，be-1(xt).如果有干扰，x和xt有k位出错，即有1位到k位错误。x的权（weight）：x含有1的个数，记做|x|.奇偶校验码parity check code：如果bb1b2bm，令e(b)b1b2bm bm+1,bm+1=0, if |b|是偶数，bm+1=1, if |b|是奇数。bm+1=0, 当且仅当 b含有偶数个1。m3e(000

3、)=0000e(001)=0011e(010)=0101e(011)=0110e(100)=1001e(101)=1010e(110)=1100e(111)=1111对任意b，e(b)的权总是偶数。设b=111，xe(b)=1111.如果接收到有一位错xt1101，xt的权是奇数，发现有错。xt的权是偶数，无法判断有错。例3（m，3m）编码函数：e：BmB3m， bb1b2bm，e(b)b1b2bmb1b2bmb1b2bm.e(000)=000000000e(001)=001001001e(010)=010010010e(011)=011011011e(100)=100100100e(101)

4、=101101101e(110)=110110110e(111)=111111111可以发现一位或两位错误。海明距离(x,y)：Hamming distance设x，yBm，(x,y) =|xy|(x,y)等于x，y中对应不相等的位置的个数。例4求海明距离x=110110, y=000101x=001100, y=010110解. （a）(x,y)=4. (b) (x,y)=3.定理1. 设x,y,zBm，则(x,y) =(y,x).(x,y)0.(x,y)=0 iff x=y.(x,y)(x,z)(z,y)证明.(d) |ab|a|+|b|.(x,y)=|xy |=|xzzy|xz|+|zy

5、|=(x,y)+(x,y)一个编码函数e：BmBn的最小距离minimun distance： min(e(x),e(y) | x,yBm.例5 e(00)=00000e(01)=01110e(10)=00111 e(11)=11111min(e(x),e(y)=2.定理2. 一个（m，n）编码e：BmBn能查出至多k位错误当且仅当最小海明距离k1。证明. 设最小海明距离k1。 发出xe(b), 收到xt，xxt，(x, xt)k，则xt不是一个编码，查出错误。反之. 设最小海明距离rk。(x, xt)r，xt可能是另一个编码无法判断错误。例6. e(000)=000000000e(001)=

6、001001001e(010)=010010010e(011)=011011011e(100)=100100100e(101)=101101101e(110)=110110110e(111)=111111111能查几位错？群编码Group codes一个编码函数e：BmBn叫做群编码，如果Ran(e)=e(Bm)=e(b) | bBm 是Bn 的一个子群。例7.（1） e(000)=000000000e(001)=001001001e(010)=010010010e(011)=011011011e(100)=100100100e(101)=101101101e(110)=110110110e(

7、111)=111111111是群编码。(2)e(000)=000000e(001)=001100e(010)=010011e(011)=011111e(100)=100101e(101)=101001e(110)=110110e(111)=111010也是群编码。定理3. 设e：BmBn是一个群编码，则e的最小海明距离等于非零元的最小权。证明. 设是e的最小海明距离，是非零元的最小权。(x,y), |z|.(x,y) =|xy|。|z|z0|(z,0)。因此。例8. 例7（1）3. （2）2.例9. 布尔矩阵的加法和乘法： 定理4.布尔矩阵的乘法对加法满足分配律：设D，E是mp布尔矩阵，F是p

8、n布尔矩阵，则(DE)*F=(D*F)(E*F).定理5. 设非负整数mn, r=m-n, H是nr布尔矩阵。fH：BnBr, fH(x)=x*H. 则fH是群Bn到Br内的同态映射。 证明. 任意x，yBn, fH(xy)(xy)*H =(x*H)(y*H)= fH(x) fH(y).推论1. N=xBn | x*H=是Bn的正规子群。令mr.设rk,如果传送x，接收xtx, d(xt )=b,无法纠正这r个错。设k1r2k，令xt= b1b2bk bk1bn ,(xt,x)rkk，(xt,x)k，x比x更接近x，无法纠错。例3. e是如下（3，8）编码，d是最大似然解码函数。e(000)=

9、000000000e(001)=001001001e(010)=010010010e(011)=011011011e(100)=100100100e(101)=101101101e(110)=110110110e(111)=111111111问（e，d）能纠几位错？解. e的最小海明距离3。32k1，k1。能纠1位错。群编码的最大似然解码定理2. 设H是G的子群，aG，则 f:HaH，f(h)=ah是一一对应。例9.5命题3.设e：BmBn是群编码，即Ne(Bm) x(1), x(2), ，,组成Bn的子群。设bBm, x=e(b)Bn是b的编码，传送x，接收到xt，令xtN1，2， 是xt的

10、N左陪集，i xtx(i),(xt, x(i)=| xtx(i)|= |i|设xtN中最小权是|j|，称j为陪集头标。x(j)xtxtx(j)xtj,求最大似然解码函数的步骤：设e：BmBn是群编码，step1给出N在Bn中所有左陪集。step2找出每个陪集的头标。step3 接收xt后，找出xt所在陪集。step4 xxt j。共有2n/2m2r个陪集，列表如下：先列出N，0作头标。0x(1), x(2), ， 找出Bn中第一个未列出的元素y，求出第二行yN:y0，yx(2), ，y ，求出最小权元(2),用(2)改写这一行 (2)0，(2)x(2), ，(2) ，重复直到列出Bn中所有元素

11、，得到一张r行2m列的表，称为解码表。0x(2) x(3)(2)(2)x(2) (3)x(3)(2) x(2) x(3)收到信号xt后，找到xt所在一列，这一列第一个元素就是发出的编码x，令d(xt)=e-1(x)=b.d是e的最大似然解码函数。例4见P417一行头标有不止一种选择，解码函数也不唯一。设（m，n）群编码eH：Bm Bnrnm行fH：BnBr, fH(x)=x*H是Bn到Br的同态。定理3. fH是满射onto。证明. 任取bBr, b= b1b2br， 令x000b1b2br，fH(x)= x*Hb。Nker(fH)= eH(Bm), g: Bn/NBr，g(xN)fH(x)=

12、x*H是同构映射。称xH为x的并发位syndrome，如果xHyH，x，y有相同的并发位。定理4. 设x，yBn，x，y属于N的同一个陪集当且仅当，fH(x)= fH(y)，当且仅当x，y并发。证明. 设x，yBn，x，y属于N的同一个陪集，xNyN，即yxN，当且仅当xyxyN，当且仅当fH(xy)=0，fH(x) fH(y)0，fH(x)fH(y)当且仅当xHyH。例6奇偶校验矩阵（3，6）群编码eH：B3B6。eH(000)000000eH(001)001011eH(010)010101eH(011)011110eH(100)100110eH(101)101101eH(110)110011eH(111)111000N 000000, 001011,010101, 011110, 100110, 101101, 110011, 111000并发位陪集头标000000000001000001010000010011001000100000100101010000110100000111001100不必列出陪集，只要头标接收xt001110，其并发位fH(xt)101。第六行头标010000，xxt011110解码得到011。