1、小学奥数复习纲要小学奥数复习纲要1、 近整法 99+1072、分组法 99+107+203+307+3033、基准法 346+353+339+327+3434、定理法:一般说来,将一个整数拆成两部分(或两个整数),两部分的差值越小时,这两部分的乘积越大。5、规律法 3334=1122 333334=111222 111 111=12321 1111111111=123454321 111111=12221 2525=625 3535=1225 4545=2025 5555=3025 111111111=123456799 两个接近100、1000的数相乘的速算 两个都略小于100(或1000、
2、10000、. ) 的数相乘(积的位数等于两个乘数位数的和):例如9997=9603两个都略大于100(或1000、10000、. ) 的数相乘(积的位数等于两个乘数位数的和-1):例如102105=10710一个略大于100(或1000、10000、. )、一个略小于100(或1000、10000、. ) 的数相乘(积的位数等于两个乘数位数的和或-1):例如97105=101856、公式法7、定义新运算深入理解运算律(加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律)8、等差数列及其运用 等差数列的定义 :若前后两项的差为定值,我们把这样的数列称之为等差数列。公式:an=a
3、1+(n-1)d sn=na1+n(n-1)d/2sn=(a1+an)n/2 1+3+5+7+9+.+(2n-1)=n22+4+6+8+10+2n=n(n+1) 1+2+3+4+5+.+(n-1)+n+(n-1)+.+5+4+3+2+1=n29、等差中项:如果在a和b中间插入一个数A,使a、A、b成等差数列,那么A叫做a和b的等差中项。如果a、b、c三项成等差数列,则2b=(a+c),这就是等差中项的基本性质。10、等比数列等比中项性质:等比中项的值等于距该项等距的积的平方根11、方程数阵图 填横式 列方程解应用题的基本步骤 :根据题意,设未知数; 寻求等量关系,建立方程 ;解方程,求出答案(
4、注意:要注意检验,一是要满足方程,二是要有实际意义。 作答 。12、 不定方程 Ax+by=c X+Y+XY=4(含交差项) 若整数系数方程ax+by=c的一组特解是1. 一元一次方程的解法步骤 有分母的先去分母,在去分母的同时,若分子是多项式,应添括号,与此同时,每一项都有应乘以最小公分母,特别是常数项。 去括号,在去括号的同时,要注意符号。 移项。一般将含有未知数的项移到方程的一边,常数项移到另一边。 合并同类项。 化成最简形式:ax=b I. 讨论: 1. 绝对值方程的解法 2. 一次方程组的解法 二、应用题1、行程问题 :行程问题是研究物体运动的,它涉及的主要是速度、距离、时间三者之间
5、的相依关系。行程问题有一个物体运动甚至三个物体运动的情况,但主要是两个物体相向运动和同向运动。两个物体相向和同向运动大致有以下四种情形:同时相向而行:相遇时间距离速度和;同时同地相背而行:距离速度和时间;同时同向而行:速度慢的在前,快的在后,追及时间距离速度差;同时同地同向而行:速度慢的在后,快的在前,距离速度差时间。这类问题,除了速度、距离、时间外,还涉及如下一些重要因素,解题时千万不可忽视。运动方向:相向、相背、同向。出发地点:同地、不同地。运动途径:直线、圆周。运动结果:相遇、相距、交叉而过、追及。解答这类问题,关键在于考虑相同的单位1与整体之间的关系,相同单位1的数也称“同数”,所以行
6、程问题,又叫同数问题。2、工程问题 工作总量(一般视为单位1)=工作效率工作时间3、浓度问题: 溶液=溶质+溶剂一种物质溶解到另一种物质里,形成均一的、相对稳定的混合物,通常叫做溶液。我们把前一种物质叫做溶质,后一种物质叫做溶济。解决浓度问题的关键是根据题意,明白溶质、溶液、与浓度三者之间的关系。4、利率问题 利息=本金期数利率 备注:在建立方程时,用加减号连接起来的每一项具有相同的物理意义;方程里每一个单项式都要有相同的物理意义。三、几何问题1、计数问题 定理一:对于nn个顶点,可作出斜向正方形的个数恰好等于(n-1) (n-1)个顶点时所有正方形的个数。例如:顶点个数22334455正向正
7、方形个数151430斜向正方形个数01620正方形总数1620502、 图形的剪拼 定理一:剪拼前后,面积不变。定理二:将一个大正方形分割成n个大小、形状相同的图形,则分割线必过中心点,而且将其中一个绕中心点旋转360/n的倍数后,必与其它图形重合。3、 格点与面积 定理一:如果用S表示面积,用N表示图形内的格点数,用L表示周界上的格点数,那么S=N+L/2-1(正方形格点,且最小正方形面积为1个单位)定理二:(同上,关于三角形格点的面积)S=2N+L-2(最小三角形面积为1个单位)4、面积 如果两个图形能够完全重合,则这两个图形面积相等。把一个图形分成有限个小部分,则整个图形的面积等于所有这
8、些小部分的面积和。这两条性质是面积割补的理论依据。导出三角形:以平行四边形的一条边为底边,第三顶点在平行四边形中这条边对边上的三角形,叫做该平行四边形的一个导出三角形。同一个平行四边形的所有导出三角形的面积相等,且等于平行四边形面积的一半。平行四边形的一条对角形平分该平行四边形面积。等底等高的三角形等积。共边三角形面积与边比。图形绕定点的旋转:在平面图形的割补中,有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置、产生一种新的图形结构。利用这种图形结构可以帮我们解决面积的计算问题,当然,图形在转动过程中形状大小不发生改变。轴对称与图形的折叠:轴对称图形沿对称轴折叠,轴两侧的部分可以完全重叠,因此如果一个
9、图形是轴对称图形,那么对称轴平分这个图形的面积。等腰三角形是轴对称图形,由顶点引向底边的高所在的直线是它的对称轴。长方形是轴对称图形,对边中点连线是它的对称轴。长方形有两条对称轴。正方形是轴对称图形,对边中点连线、两条对角线所在直线都是它的对称轴,正方形共有四条对称轴。菱形是轴对称图形,两条对角线所在直线是它的对称轴。筝形也是轴对称图形,其中有一条对角线是另一条对角形的垂直平分线,这条对角线所在直线是筝形的对称轴。圆是最典型的轴对称图形。过圆心的任一条直线都是它的对称轴,因此,圆的对称轴有无数多条。圆的直径平分圆的面积。弦图的妙用(一般不要求掌握,但参加华赛杯竞赛理解)三角形的等积变形 定理一
10、:等底等高的三角形面积相等。定理二:底在同一条直线上并且相等,该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上,这两个三角形面积相等。定理三:若两个三角形的高(或底)相等,其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。定理四:梯形的两条对角线及两腰所夹的两个三角形面积相等。定理五:梯形的两条对角形及上、下两底所形成的两个三角形的面积比等于上、下底边长的平方。定理六:中线将三角形的面积平方。定理七:若两个三角形的两边的积相等,且夹角相等或互补,那么这两个三角形的面积相等。面积公式: 正方形面积:S=a2长方形面积:S=ab平形四边形面积:S=底高
11、 三角形面积:S=底高/2等边三角形面积:梯形的面积:S=(a+b)X h/2度分秒与弧度的互化 图形的变换(轴对称、中心对称图形、求几何最短距离、平移、轴变换、旋转变换) 轴对称和轴对称图形:把一个图形沿着某一条直线折过来,如果它能够与另一个重合,那么我们说这两个图形叫做关于这条直线对称的轴对称图形。两个图形的对应点(互相重合的点)叫做关于这条直线的对称点,这条直线叫做对称轴。如果两个图形关于某直线对称,那么对应点的连线被对称轴垂直平分。两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或其延长线相交,那么交点在对称轴上。中心对称和中心对称图形:把一个图形绕着一个点旋转180度后,它和另一个图形重合
12、,那么我们说这两个图形叫做关于这个点对称的中心对称图形,这个点叫对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于这个对称中心的对称点。平移变换:一个图形沿着一定的方位移动一定距离的运动叫做图形的平移。平移后的图形与原图形全等,即对应边、对应角都相等。四、图形面积的巧算1、周长公式:2、体积公式五、基本常识:1、线段、角、角平分线、三角形中位线、梯形中位线、高、中线、相交线、平行线 2、三角形、等腰三角形、三角形的不等关系、直角三角形、勾股定理、四边形、平行四边形、平行四边形、矩形、正方形、梯形、菱形、筝形。 3、三角形中位线性质:中位线平行于底边且等于底边长的一半。4、三角形的不等关系:两边之和大于第三
13、边,两边之差(大减小)小于第三边。5、这条性质也是判断三角形成立的依据。6、等腰三角形性质:两腰相等,底角相等。7、平行四边形性质:对边相等且平行,对角相等,邻角互补,对角线互相平分。8、梯形性质:两底平行,上、下两邻角互补。9、勾股定理:两直角边的平方和等于斜边的平方。(在Rt中,a2+b2=c2)10、直角三角形性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么该角所对的直角边等于斜边的一半。11、直角三角形的性质:在直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半。12、角平分线定理:角平分线上的点到该角两边的距离相等。13、中垂线定理:中垂线上的点到该线段两个端点的距离相等。14、比例的四大性质
14、15、比例的基本性质:两内项之积等于两外项之积。如果a:b=c:d,则bc=ad 了解比例中项。16、圆 基本元素:圆周角、弦切角、直径、半径、弦、周长、弧、拱形、圆心角、公切线、优弧、劣弧、半圆 五心:外心、内心、垂心、中心、旁心定理一:直径所对的圆周角为直角。定理二:同弦所对的圆心角等于圆周角的两倍。六、排列组合1、乘法原理 一般地,如果完成一件事需要n个步骤,其中,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,.,做第n步有mn种不同的方法,那么,完成这件事一共有N=m1m2mn种不同的方法。2、加法原理 一般地,如果完成一件事有K类方法,第一类方法中有m1种不同方法,第二类方
15、法中有m2种不同的方法,.,第K类方法中有mk种不同的方法,则完成这件事共有N=m1+m2+.+mk种不同的方法。3、排列 一般地,从n个不同的元素中任取m个元素(mn),按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。一般地,从n个不同的元素中任取m个元素(mn)的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数,我们把它叫做Pnm.4、组合 一般地,从n个不同元素中取出m个(mn)元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。一般地,从n个不同元素中取出m个(mn)元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个不同元素
16、的组合数,记作Cnm.5、排列组合 运用这两个基本原理时要注意:不同类的方法(其中每一个方法都能各自独立的把事情从头到尾做完)数之间做加法,可求得完成事情的不同方法总数。不同步的方法(全程分成几个阶段(步),其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段)数之间做乘法,可求得完成整个事情的不同方法总数。解决排列组合,主要有两种方法:捆绑法、插空法。七、数学游戏 1、轮流报数,最后致胜策略2、数阵图 一般地说,在nn(n行n列)的方格里,既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数(一般从1开始,也可不从1开始)每个数占一格,并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等,这样的数表叫做n阶幻
17、方。这个和叫做幻和,n叫阶。(九子排列,上下对易,左右相更,四维挺出) 3、统筹规划 串行性 并行性 八、整除问题1、整数问题 约数和倍数:如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。 记作:b|a2.如果bc|a,则b|a,c|a.3.如果b|a且c|a,且(b,c)=1,那么bc|a.4.数的整除特征:(2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,29)定理一:能被2或5整除的特征,是它的末位数字能被2(或5)整除。定理二:能被4(或25)整除的特征,是它的末两位数字能被4(或25)整除。定理三:能被8(或125)整除的特征,是它的末三位数字能被8(被125)整
18、除。定理四:能被11整除的特征,是这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字的和的差能被11整除。定理五:能被7(11或13)整除特征,是奇位千进位的总和与偶位千进位的总和的差(或者反过来)能被7(11或13)整除。定理六:能被17整除特征,是末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除。定理七:能被19整除的特征,是末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除。定理八:能被23(或29)整除的特征,是末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除。5、质数(素数)、合数、质因数、分解质因数 一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。一个数除了1和它本身,还有别的约数,
19、这个数叫做合数。注意:1不是质数,也不是合数。如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。6、约数个数的判断:36=2232 约数的个数=(2+1)(2+1)7、所有约数的和: 36=2232 约数的和=(1+2+4)(1+3+9)8、最大公约数和最小公倍数 1)、熟练运用辗转相除法2)、定理:两个数最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。(a,b)xa,b=axb 3)、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。 4)两个自然数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质。9、带余除法方法一 例如:一个数除以3余
20、款,除以5余额,除以7余款,求适合这条件的最小的数。解:先分别求出被5和7整除而被3除余1的数(70),能被3和7整除而被5整除余1的数(21),能被3和5整除而被7整除余1的数(15)70 2 + 21 3 +15 2 3 5 7 n=233-105n=23方法二 方法三10、同余性质 定理一:若ab(mod m),cd(mod m),那么acbd(mod m)可乘性定理二:若ab(mod m),那么anbn(mod m)其中n为自然数定理三:若acbc(mod m),(c,m)=1,那么ab(mod m)定理四:对于模n同余的两个整数a和b,它们的差一定能被n整除。定理五:被除数扩大(或缩
21、小)n倍,除数不变,则商和余数也相应扩大(或缩小)相同的倍数。11、数的进位制(各种进制的互化、与计算机相关部分的了解、基数、数码)12、完全平方数1)、完全平方数的个位数字只可能是0、1、4、5、6、9 。 一个完全平方数的约数的个数必是奇数,反之,一个自然数的约数的个数是奇数,这个数是2)、完全平方数:一个非完全平方数的约数的个数必是偶数。 3)、完全平方数的个位数字为奇数时,它的十位数字必是偶数;完全平方数的个位数字是6 时,它的十位数字一定是奇数。 4)、一个完全平方数的质因数分解因式中,每个质因数的冥指数都有是偶数。 5)、完全平方数被4整除或被4整除余1. 相邻两个整数a 和(a+
22、1)的平方a2与(a+1)2之间,不存在完全平方数。13、 把一个整数拆成几个自然数的和,使得所有数的积最大的原则: 1)、拆出的数不能有1 2)、拆出的数中以2和3最好 3)、既能拆成若干个2,又能拆成若干个3时,应当拆成314、数的分类扩展(数的表示方法及各种不同的进制表示方法、奇偶性)九、分数问题 1、加成分数 2、单位分数 1/n=1/x+1/y 1/n=1/x+1/y+1/z4/n=1/x-1/y3、循环小数与分数(判断有限小数及小数位数、无限小数、纯循环小数、混循环小数及循环节最少位数和不循环部分位数、循环小数化分数的两种方法) 循环小数:一个数的小数部分,如果从某一位起,一个或几
23、个数字依次不断地重复出现,这样的数就叫做循环小数。循环小数是无限小数,它的位数是无限的。循环小数的小数部分中,依次不断重复的数字,叫做它的一个循环节。如果循环节从小数部分第一位(十分位)开始的,叫做纯循环小数;循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。定理一:如果最简分数的分母除2、5质因数外,不含其它质因数,这个分数能化成有限小数。将能化成有限小数的最简分数的分母进行质因数分解,看质因数2和5的冥指数,较大的那个指数的大小就是有限小数的位数。定理二:如果最简分数的分母除2、5质因数外,含其它质因数,这个分数不能化成有限小数。一个最简分数的分母里,如果只含有2,5以外的质因数,那么这个
24、分数一定能化成纯循环小数,这个纯循环小数循环节的最少位数,等于9、99、999、9999 诸数中能被分母整除的最小那个数里9的个数 。一个最简分数的分母里,如果除含有2或5质因数外,还含有其它质因数,那么这个分数一定能化成混循环小数。这个不纯循环部分里的数字的个数,等于2、5中较多的一个数的个数。循环节的最少位数等于9、99、999、9999 诸数中能被分母4、5以外的质因数(或质因数的乘积)整除的最小那个数里9的个数。循环小数化分数有以下三种方法:(1)纯循环小数化分数,分子是一个循环节的数字所组成的数,分母各位都是9,9的个数与循环节中的数字的个数相同。混循环小数化分数,分子是小数点后面第
25、一个数字到第一人循环节末的数字减去不循环数字所组成的数的差;分母的头几位数字都是9,末几位数字都是0,9的个数与循环节中的数字的个数相同,0的个数和不循环部分的数字个数相同 。(2)采用方程法。(3)循环小数化分数,也可以运用无穷递缩等比数列的求和公式。S=a1/(1-q),设有一无穷递缩等比数列:a1,a1q,a1q2,.(公比|q|1),各项和为:S=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1q4+a1q5+., (1)两边同乘以q得:Sq=a1q+a1q2+a1q3+a1q4+a1q5+a1q6. (2)(1)-(2),得S(1-q)=a1所以:(4)、巧化分母是7的分数为小数分数数列的求和
26、裂项求和一般地,可得用下面的等式,巧妙的计算一些分数求和的问题:(5)、繁分数和连分数(掌握运算规则、分数化边分数) 一个分数的分子部分或分母部分仍含有分数或含有四则运算,这样的数叫做繁分数(或繁分式)。繁分数的化简方法:一般先把繁分数的分子和分母部分分别计算出来,再用分子除以分母进行化简。(6)、分数大小的比较(小数法、倒数法、观察法、差1法、通分法、对角相乘法、 性质法、作商法)十、抽屉原理:如果把(n+1)个元素放到n个抽屉里,那么至少有一个抽屉里放有不止一个这样的元素。 1.建立抽屉的基本方法 同余法构造抽屉分割图形构造抽屉 状态分析构造抽屉2.扩展抽屉原理:一个(正)数,分放于几个抽
27、屉里,必有一个抽屉里存放的数大于或等于平均值。(应用于解关于求整数解的不定方程)十一、时钟问题 时钟问题是研究钟面上时针和分针关系的问题。分针速度是时针速度的12倍, 分针每走60这里列出一个基本公式,在初始时刻需追赶的格数(1-1/12)=追及时间(分钟),其中,1-1/12为分针每分钟比时钟多走的格数。十二、逻辑推理 十三、容斥原理 十四、递推方法有序思考 定理一:在十个连续的自然数中,每个数字都出现一次,而在一百个连续的自然数中,每个数字都出现十次。同样的道理,在一百个连续的自然数中,十位上也将出现十个同样的数字。 汉洛塔问题解决策略。 十五、最佳选择 1、站点的选择 2、 图论(一笔画)
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