线性代数解决生活中实际问题举例.docx

1、线性代数解决生活中实际问题举例线性代数解决生活中实际问题举例课程名称：线性代数专业班级成员组成联系方式:2012年 月曰摘要：代数的功能是把许多看似不相关的事物“结合在一起” ，也就是进行抽象。如果掌握的线性代数及线性规划，那么你就可以讲实际 生活中的大量问题抽象为线性规划问题。以得到最优解。关键词：线性代数，线性规划，运筹学，矩阵，应用，向量。Linear algebra to solve practical problems in lifeAbstract: Algebra is the fun cti on of a lot of seem in gly un related thing

2、s together, also is in the abstract. If the mastery of the lin ear algebra and linear programming, so you can speak in real life, a lot of problems abstract for lin ear program ming problem .In order to get the optimal soluti on.Key words: Lin ear algebra, li near program ming, operatio ns research,

3、 matrix, applicati on, vector.线性代数是代数的一个重要学科，线性代数是数学的一个分支， 它的研究对象是向量，向量 空间（或称线性空间），线性变换和有 限维的线性方程组。向量空间是现代数学 的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线 性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。 把一 些看似不相关的问题化归为一类问题。 线性代数中的一个重要概念是 线性空间（对所谓的“加法”和“数乘”满足 8条公理的集合），而 其元素被称为向量。也就是说，只要满足那么几条公理，我们就可以 对一个集合进行线性化处理。可以把一个不太明白

4、的结构用已经熟知 的线性代数理论来处理，如果我们可以知道所研究的对象的维数 （比 如说是n），我们就可以把它等同为RAn,量决定了质！多么深刻而美 妙的结论！上面我说的是代数的一个抽象特性。 这个对我们的影响是 思想性的！如果我们能够把他用在生活中，那么我们的生活将是高效 率的。线性代数研究最多的就是矩阵了。矩阵实质上就是一张长方形的 数表，无论是在日常生活中还是科学研究中，矩 阵是一种非常常见的数学现象。学校课表、成绩单、工厂里的生产进度表、车站 时刻表、价目表、故事中的证券价目表、科研领域中的数据分析表，它是 表述或 处理大量的生活、生产与科研问题的有力的工具。矩阵的重 要作用主要是它能把

5、 头绪纷繁的十五按一定的规则清晰地展现出 来，使我们不至于背一些表面看起来 杂乱无章的关系弄得晕头转向。塌还可以恰当的给出事物之间内在的联系， 并通过矩阵的运算或变换来揭示事物之间的内在联系。 它也是我们求解数学问题时候“数形结合”的途径。矩阵的运算是非常重要的内容。矩阵的初等变 化，矩阵的秩，初等矩阵，线性方程组的解。向量组的线性相关， 向量空间，向量组的秩，n维向量。这些都是线性代数的核心概念。 线性代数在 应用上的重要性与计算机的计算性能成正比例增长。 而这一性能伴随着计算机软 硬件的不断创新提升，最终，计算机并 行处理和大规模计算的迅猛发展将会吧计 算机科学与线性代数紧密 的联系在一起

6、并广泛应用于解决飞机制造，桥梁设计， 交通规划，石油勘探，经济管理等科学领域。线性模型比复杂的非线性模型更易 于用计算机进行计算。 线性方程组应用广泛。 主要有网络流模型， 人口迁移模型， 基因问题，求血液的流率和血管分支点出的压强等 等。线性方程组的解法其中至关重要的 。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型， 使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中 有 各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；在计算 机广泛应用的今 天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚 拟现实等技术无不以线性代数 为其理论和算法基础的一部分；该

7、学 科所体现的几何观念与代数方法之间的联 系，从具体概念抽象出来 的公理化方法以及严谨的逻辑推证、 巧妙的归纳综合等， 对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；随着科学的发展，我 们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实 际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机 的发展，线性化了的问题又可 以计算出来，线性代数正是解决这些 问题的有力工具。我们可以简单地说数学中的线性问题一一-那些表 现出线性的问题一一是最容易被解决的。比如微分学研 究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性问题的差异是很重要的。 线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代

8、数的语言描述它、 解决它（必 要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最 主要的应用之一。另外，进一步的学科有运筹学。运筹学的一个重要 议题是线性规划，而线性规划要用到大量的线性代数的处理。 如果掌 握的线性代数及线性规划，那么你就可以讲实际生活中的大量问题抽 象为线性规划问题。以得到最优解：比如你是一家小商店的老板，你 可以合理的安排各种商品的进货，以达到最大利润。如果你是一个大 家庭中的一员，你又可以用规划的办法来使你们的家庭预算达到最 小。这些都是实际的应用啊！ 总之，线性代数历经如此长的时间而生命力旺盛，可见它的应用之广！ 线性代数是高等代数的一大分支。 我们知道一次方程叫做线性

9、方程，讨论线性方程及线性运算的代数就 叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。 行列 式和矩阵在十九世纪受到很大的注意，而且写了成千篇关于这两个 课题的文章。向量的概念，从数学的观点来看不过是有序三元数组 的一个集合，然而它以力或速度作为直接的物理意义，并且数学 上用它能立刻写出 物理上所说的事情。向量用于梯度，散度，旋 度就更有说服力。同样，行列式和矩阵如导数一样（虽然 dy/dx在数学上不过是一个符号，表示包括厶y/ x的极限的长式子，但 导数本身是一个强有力的概念，能使我们直接而创造性地想象物理 上发生的事情）。因此，虽然表面上看，行列式和矩阵不过是一种语 言或速记，但它

10、的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙。 然而已经证明这两个概念是数学物理上高度有用的工具。线代在科学与工程中的应用举例咼斯（Gauss ）大约在1800年提出了咼斯消兀法并用它解决 了天体计算和后来的地球表面测量计算中的最小二乘法问题。 （这种涉及测量、求取地球形状或当地精确位置的应用数学分支称为测地 学。）虽然高斯由于这个技术成功地消去了线性方程的变量而出名， 但早在几世纪中国人的手稿中就出现了解释如何运用 “高斯”消去的方法求解带有三个未知量的三方程系统。 在当时的几年里，高斯消去法一直被认为是测地学发展的一部分，而不是数学。而高斯 -约当消去法则最初是出现在由Wilhelm Jor

11、dan撰写的测地学手册中。许 多人把著名的数学家Camille Jordan 误认为是“高斯-约当”消去法中的约当。 矩阵代数的丰富发展，人们需要有合适的符号和合适的矩阵乘法定义。二者要在大约同一时间和同一地点相遇。1848年英格兰的J.J. Sylvester 首先提出了矩阵这个词，它来源于拉丁语，代表一排数。 1855年矩阵代数得到了 Arthur Cayley的工作培育。Cayley研究了线性变换的组成并提出了矩阵乘法的定 义，使得复合变换ST的系数矩阵变为矩阵S和矩阵T的乘积。他 还进一步研究了那些包括矩阵逆在内的代数问题。著名的 Cayley-Hamilton理论即断言一个矩阵的平方

12、就是它的特征多项式的根，就 是由Cayley在1858年在他的矩阵理论文集中提出的。利用单一的 字母A来表示矩阵是对矩阵代数发展至关重要的。在发展的早期公 式det( AB ) = det( A )det( B ) 为矩阵代数和行列式间提供了一种联系。数学家Cauchy首先给出了特征方程的术语，并证明了阶 数超过3的矩阵有特征值及任意阶实对称行列式都有实特征值；给 出了相似矩阵的概念，并证明了相似矩阵有相同的特征值； 研究了代 换理论， 矩阵的发展是与线性变换密切相连的。 到19世纪它还仅占线性变换理论形成中有限的空间。 现代向量空间的定义是由Pea no 于1888年提出的。二次世界大战后随

13、着现代数字计算机的发展， 矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。 由于计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得 到定量的解决。于是作为处理离散问题的线性代数， 成为从事科学研 究和工程设计的科技人员必备的数学基础。线性代数在经济学中的应用线性代数的重要性便集中体现在计量经济学中对大量数据的处 理上。比如欲预测10年后某地区的房屋价格，可通过搜集人均收入、 土地价格、建筑原材料价格等多种变量的基期数据，用假定和计量的 方法、统计学的知识分析房屋价格与各因素的相关程度并用线性代数 的数学方法解多元线性方程组，从而计算出相应公式，再加入通货膨 胀、利息率等现实因

14、素，便可大致模拟出 10年后该地的房屋价格。又如在国民经济部门，投入产出分析主要是编制棋盘式的投入产出表 和建立相应的线性代数方程式体系，构成一个模拟现实的国民经济结 果和社会产品再生产的经济数学模型，借助计算机综合分析和确定国 民经济各部门间错综复杂的联系和再生产的重要比例关系。这里我想重点分析一下列昂惕夫的“投入-产出”模型。（关于列 昂惕夫：列昂惕夫用线性代数研究经济数学模型， 1949年曾用计算机计算出了由美国统计局的25万条经济数据所组成的42个未知数 42个方程的方程组。）投入产出分析的方法基础包括：线性方程组和 矩阵运算（静态模型）、微分方程和差分方程（动态模型）、电子计算 机。

15、其中线性方程组和矩阵运算、微分方程和差分方程都属于数学领 域的知识，而我们这里主要考虑数学中的线性代数与经济学的关系， 即这里的线性方程组和矩阵运算。矩阵运算初步：矩阵：按行和列规则排列的矩形表叫矩阵（行与列相等的叫方 阵）。向量：只有一行或一列的矩阵叫向量，向量是一个特殊的矩阵。 两个矩阵相加减，是指对应元素相加减，前提条件是两个矩阵行列数 必须对应相等。对于经济工作而言，矩阵加法是同类性质的两个或两 个以上表格相加（汇总）的过程，矩阵减法则是汇总表减去一个或若 干个局部表所得到的数据表。（矩阵加减法满足交换律和结合律）矩阵与矩阵相乘，是指前面矩阵的每一行与后面矩阵的每一列对 应元素乘积之和

16、，前提是前面矩阵的列数与后面矩阵的行数相同。 数与矩阵相乘，用该数乘以矩阵中的每一个元素， 相当于若干个相同的矩阵相加。（矩阵乘法满足结合律和分配律，不满足于交换律）逆矩阵：一个矩阵A与另一个矩阵B相乘，其结果是单位矩阵E, 则称B矩阵是A矩阵的逆矩阵。（只有方阵才有逆矩阵，但不是所有 的方阵都有逆矩阵，当方阵的行列式值不等于零时，才有逆矩阵）矩阵A的逆矩阵可以等于矩阵A的行列式分之一乘以矩阵 A的伴 随矩阵。（伴随矩阵是原矩阵的代数余子式组成的转置矩阵）投入产出分析：首先要理解投入产出模型的概念， 然后列出投入产出平衡表，并 写出产品分配平衡方程组和产值构造平衡方程组， 最后要能对平衡方 程

17、组进行求解。根据假设，每一个部门都负担着生产和消费的作用， 就产品的分 配来看，一方面将自己的产品分配给各部门作为生产资料或满足社会 的非生产性消费需求，并提供积累；另一方面，每一个生产部门在其 生产过程中，也要消耗各部门的产品。所以该经济系统各部门之间就 形成了一个错综复杂的关系。为了清楚地表示这个关系，就利用投入 产生平衡表来表示。投入产出平衡表分为四个部分与平面直角坐标系 对应，左上，右上，左下，右下分别称为第 1、第2、第3、第4象 限。在第1象限，横行看，该部门作为生产部门将自己的产品分配给 各部门；纵行看，该部门又作为消费者在生产过程中消耗各部门的产 品；行与列的交叉点可以看作是列

18、行部门消耗行部门的产品量。 这部分是投入产出平衡表最基本的部分。第2象限，是第1象限的横向延伸，它反映了该经济系统各生产 部门用于最终产品的情况。横行看，反映了该部门用于最终产品的分 配情况；纵列看，反映了该部门用于消费、积累等方面的最终产品分 别由各部门提供的数量情况。第3象限，是第1象限的纵向延伸，它反映了主要的经济关系。 横行看，反映了各部门创造的价值（劳动报酬与纯收入）的构成情况； 纵列看，反映了该部门创造的价值的数量情况。第4象限，反应总收入的再分配情况。第1,2象限的每一行都可以写出线性方程， 得到一个方程组，这 个方程组称为产品分配平衡方程组。第1,3象限的每一列也可以写出 线性方程，得到一个方程组，这个方程组称为产值构成平衡方程组。 分别求出产品分配平衡方程组和产值构成平衡方程组即完成了该投 入产出的分析工作。线性代数中的一个重要概念是线性空间，而其元素被称为向量。 也就是说，只要满足那么几条公理，我们就可以对一个集合进行线性 化处理。可以把一个不太明白的结构用已经熟知的线性代数理论来处 理。总之，线性代数在生活中有着广泛而且重要的作用。参考文献1瓦西里列昂惕夫，投入产出经济学M2董承章，投入产出分析M3M许宪春、刘起运，中国投入产出理论与实践分工情况资料查找由完成整理分析由完成编辑总结由完成