中考全等三角形专题8种辅助线的作法.docx

1、中考全等三角形专题8种辅助线的作法全等三角形问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。1. 等腰三角形“三线合一”法： 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线： 倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法”

2、： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法： 有一个角为 60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为 30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为 30 度或 60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法： 遇到等腰直角三角形，正方形时，或 30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形 , 常计算边的长度与角的度数， 这样可以得到在数值上相等的

3、二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法 构造全等三角形 2) 遇到三角形的中线， 倍长中线， 使延长线段与原中线长相等， 构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形 3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法， （1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂- 1 -线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 （

4、 2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。 （ 3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4) 过图形上某一点作特定的平分线， 构造全等三角形， 利用的思维模式是全等变换中的 “平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法， 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等， 或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等， 再利用三角形全等的有关性质加以说明 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目6) 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点

5、作连线，出一对全等三角形。特殊方法： 在求有关三角形的定值一类的问题时， 常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等例 1、已知，如图 ABC中， AB=5， AC=3，则中线 AD的取值范围是 _.AB D C例 2、如图， ABC中， E、 F 分别在 AB、AC上， DE DF， D 是中点，试比较BE+CF与 EF 的大小 .AEFB D C例 3、如图， ABC中， BD=DC=AC， E 是 DC的中点，求证： AD平分 BAE.AB D E C- 2 -应用：1 、 以ABC 的 两 边 AB 、 AC 为 腰 分 别 向 外 作

6、等 腰 RtABD 和 等 腰 RtACE ，BADCAE90 , 连接 DE，M、N分别是 BC、DE 的中点探究： AM与 DE 的位置关系及数量关系（ 1）如图 当ABC 为直角三角形时， AM 与DE 的位置关系是，线段 AM与 DE 的数量关系是；（ 2）将图中的等腰 RtABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转(0AD+AE.AB D E C- 4 -四、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中， B=60， ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O，求证： OE=ODAEOB CD2、如图， ABC中， AD平分 BAC， DG BC且平分 BC， DE AB于 E， DF AC于

7、 F.（1）说明 BE=CF的理由；（ 2）如果 AB=a ， AC=b ，求 AE、 BE的长 .AEBGCFD应用：1、如图， OP 是 MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（ 1）如图， 在 ABC 中， ACB 是直角， B=60 ，AD 、CE 分别是 BAC、 BCA的平分线， AD 、 CE 相交于点 F 。请你判断并写出FE 与 FD 之间的数量关系；（ 2）如图，在 ABC 中，如果 ACB 不是直角，而 (1)中的其它条件不变，请问，你在 (1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不

8、成立，请说明理由。BM BE E DF D FO PACC图NA图图( 第 23 题图 )五、旋转例 1 正方形 ABCD中， E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF，求 EAF的度数 .- 5 -A DFB E C例 2 D 为等腰 Rt ABC 斜边 AB 的中点， DMDN,DM,DN分别交（ 1） 当 MDN 绕点 D 转动时，求证 DE=DF。（ 2） 若 AB=2，求四边形 DECF的面积。BC,CA 于点 E,F 。BAEMCFAN例 3 如图，ABC 是边长为 3 的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且BDC1200 ，以 D 为顶点做一个600角，使

9、其两边分别交ABMACNMNAMN于点 ，交于点 ，连接，则的周长为；AMNBCD应用：1 、 已 知 四 边 形 A B C D中 ， A BA D， BCCD ， ABBC ， ABC120 ， MBN60 ， MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交AD， DC （或它们的延长线）于 E， F 当 MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时（如图1），易证 AECF EF 当 MBN 绕 B 点旋转到 AECF 时，在图2 和图 3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE， CF ， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明AAABEMBEMBCFDCF

10、DFCDNNNE（图 1）（图 2）（图 3）M- 6 -2、已知 :PA= 2 ,PB=4, 以 AB为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线 AB的两侧 .(1) 如图 , 当 APB=45时 , 求 AB及 PD的长 ;(2) 当 APB变化 , 且其它条件不变时 , 求 PD的最大值 , 及相应 APB的大小 .3、在等边 ABC 的两边 AB 、 AC 所在直线上分别有两点 M 、 N， D 为 ABC 外一点，且MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC. 探究：当 M 、N 分别在直线 AB 、 AC 上移动时，BM 、 NC 、 MN 之间的数量关系及 AMN 的

11、周长 Q 与等边 ABC 的周长 L 的关系图 1 图 2 图 3（ I）如图 1，当点 M 、 N 边 AB 、 AC 上，且 DM=DN 时， BM 、 NC 、MN 之间的数量关系是 ； 此时 Q ；L（ II ）如图 2，点 M 、N 边 AB 、 AC 上，且当 DM DN 时，猜想（ I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（ III ） 如图 3，当 M 、 N 分别在边 AB 、 CA 的延长线上时，若 AN= x ，则 Q= （用 x 、 L 表示）- 7 -参考答案与提示一、倍长中线（线段）造全等例 1、（“希望杯” 试题）已知，如图 ABC中，AB=5，AC=

12、3，则中线 AD的取值范围是 _.解：延长 AD至 E 使 AE 2AD，连 BE，由三角形性质知AAB-BE 2ADAB+BE 故 AD的取值范围是 1AD4BDC例 2、如图， ABC中， E、 F 分别在 AB、AC上， DE DF， D 是中点，试比较BE+CF与 EF 的大小 .A解： ( 倍长中线 , 等腰三角形“三线合一”法) 延长 FD至 G使 FG 2EF，连 BG， EG,E显然 BG FC，F在 EFG中，注意到 DE DF，由等腰三角形的三线合一知EG EFB D C在 BEG中，由三角形性质知EGBG+BE故： EFBE+FC例 3、如图， ABC中， BD=DC=A

13、C， E 是 DC的中点，求证： AD平分 BAE.AB D E C解：延长 AE至 G使 AG 2AE，连 BG，DG,显然 DG AC， GDC= ACD由于 DC=AC，故 ADC= DAC在 ADB与 ADG中，BD AC=DG， AD AD， ADB= ADC+ ACD= ADC+GDC ADG故 ADB ADG，故有 BAD= DAG，即 AD平分 BAE- 8 -应用：1、（ 09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰ABC RtABD 和 等 腰Rt ACE ， BADCAE90 , 连接 DE，M、N分别是 BC、DE 的中点探究： AM 与 DE的位置关系及数量关系

14、（ 1）如图 当ABC 为直角三角形时， AM 与DE 的位置关系是，线段 AM与 DE 的数量关系是；（ 2）将图中的等腰 Rt ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转(0 90) 后，如图所示，（ 1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由解：（ 1） ED2AM ， AMED ；证明：延长 AM 到 G，使 MGAM ，连 BG，则 ABGC 是平行四边形 ACBG ， ABGBAC180又DAEBAC180DN HABGDAEEDAEABG再证：A DE2AM ， BAGEDA延长 MN 交 DE 于 HBCBAGDAH90MHDADAH90G AM ED（ 2）结论仍然成立证明：如图

15、，延长 CA 至 F，使 AC FA ， FA 交 DE 于点 P，并连接 BF DA BA ， EA AF BAF 90 DAF EAD在FAB 和EAD 中FAAEFDBAFEADNBADAPEA FAB EAD （ SAS）- 9 -B M C BF DE ， F AEN FPD F APE AEN 90 FB DE又 CA AF ， CM MB AM / FB ，且 AM 1 FB2 AM DE ， AM 1 DE2二、截长补短1、如图， ABC 中， AB=2AC， AD平分 BAC ，且 AD=BD，求证： CD AC 解：（截长法）在 AB上取中点 F，连 FDADB是等腰三角形

16、， F 是底 AB中点，由三线合一知DF AB，故 AFD 90ADF ADC（ SAS）ACD AFD 90即： CDAC2、如图， AD BC， EA,EB 分别平分 DAB, CBA， CD过点 E，求证 ;AB AD+BC 解：（截长法）在 AB上取点 F，使 AF AD，连 FEADE AFE（ SAS）ADE AFE， ADE+ BCE 180 AFE+ BFE 180故 ECB EFB FBE CBE（ AAS）故有 BF BC从而 ;AB AD+BC0C 400 ，P， Q分别在 BC， CA上，并且 AP，3、如图，已知在ABC内，BAC 60 ，BQ分别是BAC ，ABC

17、的角平分线。求证：ABQ+AQ=AB+BP解：（补短法 , 计算数值法）延长 AB 至 D，使 BD BP，连 DP 在等腰 BPD中，可得 BDP40从而 BDP 40 ACPADP ACP（ ASA）故 AD AC又 QBC 40 QCB 故 BQ QCBD BP从而 BQ+AQ=AB+BPBQPC- 10 -4、如图，在四边形 ABCD中， BC BA,AD CD， BD平分求证： A C 1800解：（补短法）延长 BA 至 F，使 BF BC，连 FD BDF BDC（ SAS）故 DFB DCB ，FD DC又 AD CD故在等腰 BFD中DFB DAF故有 BAD+ BCD 18

18、0ABC ，ADB C5、如图在 ABC中， AB AC， 1 2， P 为 AD上任意一点，求证 ;AB-AC PB-PCA12PBCD解：（补短法）延长 AC至 F，使 AF AB，连 PDABP AFP（ SAS）故 BP PF由三角形性质知PB PC PF PC BF=BA+AF=BA+AC从而 PB=BE+CE+BCBF+BC=BA+AC+BC=P例 2 如图，在 ABC的边上取两点 D、 E，且 BD=CE，求证： AB+ACAD+AE.证明：取 BC 中点 M,连 AM 并延长至 N,使 MN=AM, 连 BN,DN.- 12 - BD=CE, DM=EM, DMN EMA(SA

19、S), DN=AE, 同理 BN=CA.延长 ND 交 AB 于 P,则 BN+BPPN,DP+PAAD, 相加得 BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去 DP, 得 BN+ABDN+AD, AB+ACAD+AE 。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中， B=60， ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O，求证： OE=OD，DC+AE =ACA证明 (角平分线在三种添辅助线 , 计算数值法 )B=60度 ,则 BAC+ BCA=120 度;EAD,CE 均为角平分线 ,O则 OAC+ OCA=60 度 = AOE= COD; AOC=120 度.BCD在 AC 上截取线段 A

20、F=AE, 连接 OF.又 AO=AO; OAE= OAF.则 OAE OAF(SAS),OE=OF;AE=AF; AOF= AOE=60 度.则 COF= AOC- AOF=60 度=COD;又 CO=CO; OCD= OCF.故 OCD OCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如图， ABC中， AD平分 BAC， DG BC且平分 BC， DE AB于 E， DF AC于 F.（ 1）说明 BE=CF的理由；（ 2）如果 AB=a ， AC=b ，求 AE、 BE的长 .解： ( 垂直平分线联结线段两端) 连接 BD， DCDG垂直平分 BC，故 BD DCA由于 AD平分 BAC， DE AB于 E， DF AC于 F，故有EED DFBGCF故 RT DBE RT DFC（ HL）D- 13 -