数学实验Mathematic实验七多元函数微分.docx

1、数学实验 Mathematic实验七 多元函数微分天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称 多元函数微分 所属课程名称 数学实验 实 验 类 型 微积分实验 实 验 日 期 2011.11.2 班 级 学 号 姓 名 成 绩 一、实验概述：【实验目的】1.掌握用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法,并掌握计算二元函数极值和条件极值的方法;2.理解和掌握曲面的切平面的作法;3.通过作图和观察,理解方向导数、梯度和等高线的概念.【实验原理】1.求偏导数命令D.命令D既可以用于求一元函数的导数,也可以用于求多元函数的偏导数.用于求偏导数时,若求对的偏导数,输入Dfx,y,z,

2、x若求对的偏导数,输入Dfx,y,z,y若求对的二阶偏导数,输入DfX,y,z,x,2若求对的混合偏导数,输入Dfx,y,z,x,y其余类推.2.求全微分命令Dt.该命令只用于求二元函数的全微分时,其形式为Dtf,其输出的表达式中含有Dtx,Dty,它们分别表示自变量的微分dx,dy.若函数的表达式中还含有其他用字符表示的常数,例如a,则Dtfx,y的输出中还会有Dta.若采用选项Constants一 a,就可以得到正确结果,即只要输入Dtf,Constants一a3.在Oxy平面上作二元函数的等高线命令ContourPlot.命令ContourPlot的基本形式是ContourPlotfx,

3、y,x,xl,x2,y,yl,y2例如输入ContourPlotx2-y2,x,-2,2,y,-2,2【实验环境】Mathematic 4二、实验内容：【实验方案】1.求多元函数的偏导数与全微分;2.微分学的几何应用;3.多元函数的极值;4.梯度场.【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1.求多元函数的偏导数与全微分.例7.1设,求.Clearz；z=Sinx*y+Cosx*y2；Dz,xDz,yDz,x,2Dz,x,y例7.2设,求和全微分.Clearz；z=(1+x*y)y；Dz,xDz,yDtz 例7.3设,其中是常数,求 Clearz,a； z=(a+x*y)y； wf=Dtz,C

4、onstants a/Simplify wf/. Dtx,Constants a dx,Dty,Constants a dy例7.4设,求.eq1=Dx Eu+u*Sinv,x,NonConstants u,veq2=Dy Eu-u*Cosv,x,NonConstants u,vSolveeq1,eq2,Du,x,NonConstants u,v,Dv,x,NonConstants u,v/Simplify 2.微分学的几何应用.例7.5求曲面在点处的切平面方程,并把曲面和它的切平面作在同一图形里.Cleark,z；kx_,y_=4/(x2+y2+1)；kx=Dkx,y,x/.x 1/4,y

5、1/2；ky=Dkx,y,y/.x 1/4,y 1/2；z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k1/4,1/2；qm=Plot3Dkx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotRange-0,4,BoxRatios 1,1,1,PlotPoints 30,DisplayFunction Identity；qpm=Plot3Dz,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction Identity；Showqm,qpm,DisplayFunction $DisplayFunction3.多元函数的极值.例7.6求的极值Clearf；fx_,y_=x3-y3+3x2+3y2-9x

6、；fx=Dfx,y,xfy=Dfx,y,ycritpts=Solvefx 0,fy 0,x,yfxx=Dfx,y,x,2；fyy=Dfx,y,y,2；fxy=Dfx,y,x,y；disc=fxx*fyy-fxy2data=x,y,fxx,disc,fx,y/.critpts；TableFormdata,TableHeadings None,x,y,disc,fd2=x,y/.critpts；g4=ListPlotd2,PlotStyle PointSize0.02,DisplayFunction Identity；g5=ContourPlotfx,y,x,-5,3,y,-3,5,Contour

7、s 40,PlotPoints 60,ContourShading False,Frame False,Axes Automatic,AxesOrigin 0,0,DisplayFunction Identity；Showg4,g5,DisplayFunction $DisplayFunctionFindMinimumfx,y,x,-1,y,1例7.7求函数在条件下的极值.Clearf,g,la；fx_,y_=x2+y2；gx_,y_=x2+y2+x+y-1；lax_,y_,r_=fx,y+r*gx,y；extpts=SolveDlax,y,r,x 0,Dlax,y,r,y 0,Dlax,y,

8、r,r 0fx,y/.extpts/Simplifydian=x,y/.Tableextptss,j,s,1,2,j,2,3g1=ListPlotdian,PlotStyle PointSize0.03,DisplayFunction Identitycp1=ContourPlotfx,y,x,-2,2,y,-2,2,Contours 20,PlotPoints 60,ContourShading False,Frame False,Axes Automatic,AxesOrigin 0,0,DisplayFunction Identity；cp2=ContourPlotgx,y,x,-2,2

9、,y,-2,2,Contours 0,PlotPoints 60,ContourShading False,Frame False,Axes Automatic,ContourStyle Dashing0.01,AxesOrigin 0,0,DisplayFunction Identity；Showg1,cp1,cp2,AspectRatio 1,DisplayFunction $DisplayFunction4.梯度场.例7.8设,作出的图形和等高线,再作出它的梯度向量grad的图形.把上述等高线和梯度向量的图形叠加在一起,观察它们之间的关系.u,veq2=Dy Eu-u*Cosv,y,No

10、nConstants-u,vSolveeq1,eq2,Du,y,NonConstants-u,v,Dv,y,NonConstants-u,v/Simplify 第三题 Clearz;z:=fx*y,y;Dz,x,2Dz,y,2Dz,x,y 第四题 Clearz;z:=E(-(x2+y2)/8)*(Cosx2+Siny2);Dz,xDz,yDz,x,y第五题 Clearz;fx_,y_=-120x3-30x4+18x5+5x6+30x*y2;fx=Dfx,y,xfy=Dfx,y,ycritpts=Solvefx 0,fy 0 60 x yy 0,x -3,y 0,x -2,y 0,x 0,y 0

11、,x 0,y 0,x 0,y 0,x 0,y 0,x 2第六题 Clearf,g,la;fx_,y_=x2+4*y3;gx_,y_=x2+4*y2-1;lax_,y_,r_=fx,y+r*gx,y;extpts=SolveDlax,y,r,x 0,Dlax,y,r,y 0,Dlax,y,r,r 0 dian=x,y/.Tableextptss,j,s,1,2,j,2,3 g1 = ListPlot dian , PlotStyle PointSize0.03 , DisplayFunction Identity cp1 = ContourPlot fx,y , x,-2,2 , y,-2,2

12、, Contours 20 , PlotPoints 60 , ContourShading False , Frame False , Axes Autmatic , AxesOrigin 0,0 , DisplayFunction Identity ; cp2 = ContourPlot gx,y , x,-2,2 , y,-2,2 , PlotPoints 60 , Contours 0 , ContourShading False , Frame False , Axes Autmatic , ContourStyle Dashing0.01 , AxesOrigin 0,0 , Di

13、splayFunction Identity ; Show g1 , cp1 , cp2 , AspectRatio 1 , DisplayFunction $DisplayFunction -1,0,1,0 Graphics Graphics 第七题pts=TableRandomReal,-1,1,RandomReal,0,1,k,2000;ListPlotpts,PlotStyle PointSize0.005 Graphics 第八题 Clearx,y,f;fx_:=Sinx/x;j=0;n=1000;DoClearx,y,x=Random,y=Random,Ifyfx,j=j+1,nP

14、rintNj/n 0.937附录2：实验报告填写说明 1.实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。2.实验目的：目的要明确,要抓住重点,符合实验教学大纲要求。3.实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。4.实验环境：实验用的软、硬件环境。5.实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。对于验证性实验,要写明依据何种原理、操作方法进行实验,要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。对于设计性和综合性实验,在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法,再配以相应的文字说明。对于创新性实验,应注明其创新点、特色。6.实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤,包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。7.实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果,做出结论。8.实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。9.指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容,给出本次实验报告的评价。