第十六单元 圆锥曲线方程教师用卷.docx

1、第十六单元 圆锥曲线方程教师用卷全国100所名校单元测试示范卷高三数学卷(十六)第十六单元圆锥曲线方程(120分钟150分)第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.顶点在原点,准线与x轴垂直,且经过点(1,- )的抛物线方程是A.y2=-2x B.y2=2x C.x2=2y D.x2=-2y解析:由题意,可设抛物线方程是y2=2px(p0).将点(1,- )代入抛物线方程y2=2px(p0),得(-)2=2p1,解得p=1.故抛物线方程是y2=2x.答案:B2.双曲线-y2=1的焦点到渐近线的距离为A.2 B. C.1 D

2、.3解析:双曲线-y2=1的左右焦点分别为(-,0),( ,0),渐近线为y=x,不妨取焦点(,0)到渐近线为y=x的距离d=1.答案:C3.椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则P到F2的距离为A. B. C. D.4解析:根据椭圆通径长易知|PF1|=,再根据椭圆的定义得|PF2|=4-|PF1|=.答案:C4.已知双曲线-=1(m0,n0)的离心率为3,且它有一个焦点与抛物线y2=12x的焦点相同,那么双曲线的渐近线方程为A.x2y=0 B.2xy=0 C.2xy=0 D.22y=0解析:抛物线y2=12x的焦点为(3,0),由题意得解

3、得所以双曲线的方程为x2-=1.所以双曲线的渐近线方程为2xy=0.答案:C5.抛物线x2=my上一点M(x0,-3)到焦点的距离为5,则实数m的值为A.-8 B.-4 C.8 D.4解析:由抛物线方程x2=my及点M(x0,-3),可知mb0)长轴的一个顶点作圆x2+y2=b2的两条切线,切点分别为A、B,若AOB=90(O是坐标原点),则椭圆C的离心率为A. B. C. D. 解析:过椭圆长轴的一个顶点A1作圆x2+y2=b2的两条切线,切点分别为A、B,则四边形OAA1B为正方形,所以a=b=c,故椭圆的离心率为e=.答案:D7.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物

4、线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是A. B.2 C. D.3解析:易知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线.设抛物线的焦点为F,则点F的坐标为(1,0),则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.答案:B8.已知对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线方程为y=x(a0,b0),若双曲线上有一点M(x0,y0),使b|x0|b时,在x轴上D.当ab时,在y轴上解析:由双曲线的渐近线方程可设双曲线的方程为: -=,由b|x0|a|y0|可得|x0|,代入方程可得

5、0,b0),F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且A,B分别在左、右支上,由双曲线的定义,得|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,则|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|AB|.由椭圆定义可知,F1,F2在以A,B为焦点的椭圆上.答案:B10.已知圆锥曲线mx2+4y2=4m的离心率e为方程2x2-5x+2=0的根,则满足条件的圆锥曲线的个数为A.4 B.3 C.2 D.1解析:方程2x2-5x+2=0的根为与2,则e=或e=2.圆锥曲线mx2+4y2=4m可化为+=1,则当e=时,圆锥曲线+=1表示椭圆,由于椭圆分焦点在x轴、y轴两种,故此时有两种圆锥曲线;当e

6、=2时,圆锥曲线+=1表示双曲线,此时m0,b0),过其左焦点F作x轴的垂线,交双曲线于A,B两点,若双曲线的右顶点M在以AB为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是A.(2,+) B.(1,2) C.( ,+) D.(1, )解析:易知直线AB方程为x=-c,其中c=,因此,设点A(-c,y0),B(-c,-y0),所以-=1,解得y0=,得|AF|=.因为双曲线的右顶点M(a,0)在以AB为直径的圆内部,所以|MF|AF|,即a+c,将b2=c2-a2代入,并化简整理,得2a2+ac-c20,解得e2(舍负).答案:A12.如图,半径为2的半圆有一内接梯形ABCD,它的下底AB是O的直径,

7、上底CD的端点在圆周上.若双曲线以A,B为焦点,且过C,D两点,则当梯形ABCD的周长最大时,双曲线的实轴长为A. +1 B.2+2C. -1 D.2-2解析:如下图,设BAC=,作CEAB于点E,则BC=4sin ,EB=BCcos(90-)=4sin2,有CD=4-8sin2.梯形的周长l=AB+2BC+CD=4+8sin +4-8sin2=-8(sin -)2+10,当sin =,即=30时,l有最大值10,这时,BC=2,AC=2,2a=AC-BC=(-1)2=2-2.答案:D第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.F1、F2为椭圆+=1的左

8、、右焦点,A为椭圆上任一点,过焦点F1向F1AF2的外角平分线作垂线,垂足为D,则点D的轨迹方程是.解析:延长F1D与F2A交于B,连结DO,可知DO=F2B=2,动点D的轨迹方程为x2+y2=4.答案:x2+y2=414.设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线与椭圆+=1的一个公共点,则PF1F2的面积等于.解析:由题意,双曲线和椭圆焦点相同,假设点P是两曲线在第一象限的交点,则|PF1|-|PF2|=2,|PF1|+|PF2|=14,解得|PF1|=8,|PF2|=6.又|F1F2|=10,故PF1F2是直角三角形.故PF1F2的面积等于S=|PF1|PF2|=86=24.答

9、案:2415.过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线交抛物线C于A、B两点,若A到抛物线的准线的距离为4,则|AB|=.解析:由题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线的定义得x1-(-1)=4,解得x1=3.不妨设点A在x轴上方,将点A(3,y1)代入y2=4x,解得y1=2.又点F(1,0),故由两点式得直线AB的方程为y= (x-1).联立消去y得3x2-10x+3=0,可得|x1-x2|=.故由弦长公式,得|AB|=|x1-x2|=.答案: 16.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为-2,则该抛物线的准

10、线方程为.解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1, =2px2.两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),又因为直线的斜率为-1,所以=-1,所以y1+y2=-2p.又线段AB的中点的纵坐标为-2,所以y1+y2=-4.即-2p=-4,解得p=2.故该抛物线的准线方程为x=-=-1.答案:x=-1三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(-3,2);(2)焦点在直线x-2y-4=0上.解析:(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p0

11、),过点(-3,2),4=-2p(-3)或9=2p2,p=或p=.所求的抛物线方程为y2=-x或x2=y. 5分(2)令x=0,得y=-2,令y=0,得x=4,抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).当焦点为(4,0)时, =4,p=8,此时抛物线方程为:y2=16x;当焦点为(0,-2)时, =2,p=4,此时抛物线方程为x2=-8y.所求的抛物线方程为y2=16x或x2=-8y. 10分18.(本小题满分12分)如图,已知椭圆E: +=1的上顶点为A,直线y=-4交椭圆E于点B,C(点B在点C的左侧),点P在椭圆E上.(1)若点P的坐标为(6,4),求四边形ABCP的面积;(2)若四边形A

12、BCP为梯形,求点P的坐标.解析:(1)A(0,5),B(-6,-4),C(6,-4),S四边形ABCP=S三角形ABC+S三角形ACP=12(4+5)+ 86=78. 4分(2)要使四边形ABCP为梯形,当且仅当CPAB.kAB=,直线CP的方程为y+4= (x-6),即y=x-13,又+=1,即x2+4y2-100=0,由,得5x2-78x+288=0.即(x-6)(5x-48)=0,x=6或.点C(6,-4),点P(, ). 12分19.(本小题满分12分)已知两点M(-2,0),N(2,0),动点P(x,y)在y轴上的射影为H,| |是2和的等比中项.(1)求动点P的轨迹方程;(2)若

13、以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q,求实轴最长的双曲线C的方程.解析:(1)动点为P(x,y),则H(0,y), =(-x,0),=(-2-x,-y), =(2-x,-y),=x2-4+y2,且|2=x2.由题意得|2=2,即x2=2(x2-4+y2),+=1为所求点P的轨迹方程. 6分(2)若直线x+y=1与双曲线C右支交于点Q,而N(2,0)关于直线x+y=1的对称点为E(1,-1),则|QE|=|QN|,双曲线C的实轴长2a=|QM|-|QN|=|QM|-|QE|ME|= (当且仅当Q、E、M共线时取“=”),此时,实轴长2a最大为;若直线x+y=1与双曲线C左支交于点Q时,同理可求得双曲线C的实轴长2a最大为.所以,双曲线C的实