届一轮复习配套讲义第8篇 第3讲 圆的方程.docx

1、届一轮复习配套讲义第8篇 第3讲 圆的方程第3讲圆的方程最新考纲1掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2初步了解用代数方法处理几何问题.知 识 梳 理1圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r2.点与圆的位置关系(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系(2)三种关系：圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)(x0a)2(y0b)2r2点在圆上；(x0a)2(y0b)2r2点在圆外；(x0a)2(y0b)2r

2、2点在圆内辨 析 感 悟1对圆的方程的理解(1)确定圆的几何要素是圆心与半径()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆()(4)(2013江西卷改编)若圆C经过坐标原点和点(4,0)且与直线y1相切，则圆C的方程是(x2)22. ()2对点与圆的位置关系的认识(5)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()(6)已知圆的方程为x2y22y0，过点A(1,2)作该圆的切线只有一条()感悟提升1一个性质圆心在任一弦的中垂线上，如(4)中可设圆心为(2，b)2三个防范一是含字母的圆的标准方程中注意字母的正负号，如(2)中半

3、径应为|a|；二是注意一个二元二次方程表示圆时的充要条件，如(3)；三是过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况，如(6).考点一求圆的方程【例1】 根据下列条件，求圆的方程(1)求过P(4，2)，Q(1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4的圆的方程(2)已知圆的半径为，圆心在直线y2x上，圆被直线xy0截得的弦长为4.解(1)设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)将P，Q点的坐标分别代入得令x0，由得y2EyF0.由已知|y1y2|4，其中y1，y2是方程的两根，所以(y1y2)2(y1y2)24y1y2

4、E24F48.解、组成的方程组得或故所求圆的方程为x2y22x120或x2y210x8y40.(2)法一设圆的方程为(xa)2(yb)210.由圆心在直线y2x上，得b2a.由圆在直线xy0上截得的弦长为4，将yx代入(xa)2(yb)210，整理得2x22(ab)xa2b2100.由弦长公式得4，化简得ab2.解、得a2，b4或a2，b4.故所求圆的方程为(x2)2(y4)210或(x2)2(y4)210.法二根据图形的几何性质：半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形如图，由勾股定理，可得弦心距d.又弦心距等于圆心(a，b)到直线xy0的距离，所以d，即.又已知b2a.解、得a2，b4或a2

5、，b4.故所求圆的方程是(x2)2(y4)210或(x2)2(y4)210.规律方法 求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理如：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任意弦的中垂线上；两圆相切时，切点与两圆心三点共线(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式【训练1】 (1)(2014济南模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A(x2)2

6、(y1)21 B(x2)2(y1)21C(x2)2(y1)21 D(x3)2(y1)21(2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为_解析(1)由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)，又由圆与直线4x3y0相切，得1，解得a2或(舍去)故圆的标准方程为(x2)2(y1)21.故选A.(2)依题意设所求圆的方程为(xa)2y2r2，将A，B点坐标分别代入方程得解得所以所求圆的方程为(x2)2y210.答案(1)A(2)(x2)2y210考点二与圆有关的最值问题【例2】 已知实数x，y满足方程x2y24x10. (1)求的最大值和最小值； (2)求yx

7、的最大值和最小值； (3)求x2y2的最大值和最小值解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k(如图1)所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2(如图2)所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值

8、是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.规律方法 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题【训练2】 (2014金华十校联考)已知P是直线l：3x4y110上的动点，PA，PB是圆x2y22x2y10的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是 () A. B2 C. D2解析圆的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心为C(1,1)，半径为r1，根据对称性可知，四边形P

9、ACB的面积为2SAPC2|PA|r|PA|，要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：3x4y110的距离d2.所以四边形PACB面积的最小值为.答案C考点三与圆有关的轨迹问题【例3】 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程审题路线(1)设圆心P为(x，y)，半径为r由圆的几何性质得方程组消去r可得点P的轨迹方程(2)设点P(x0，y0)由点到直线的距离公式可得一方程点P在第(1)问所求曲线上可得一方程以上两方程联立可解得P点坐标与圆P的半径得到圆P

10、的方程解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2.从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)，由已知得.又P在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.规律方法 求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式【训练3】 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶

11、点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程解(1)法一设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1)法二设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|AB|2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(x3且x1)(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中

12、点，由中点坐标公式得x(x3且x1)，y，于是有x02x3，y02y.由(1)知，点C在圆(x1)2y24(x3且x1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(x3且x1) 1确定一个圆的方程，需要三个独立条件“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质2解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算3求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，

13、而且还能减少计算 量如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题方法优化7利用几何性质巧设方程求半径【典例】 在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程一般解法 (代数法)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴交点是(32，0)，(32，0)，设圆的方程是x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则有解得故圆的方程是x2y26x2y10.优美解法 (几何法)曲线yx26x1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(32，0)，(32，0)故可设C的圆心为(3，t)，则有32(t1)2(2)2t2，解得t1.则圆C的半径为3，所以圆C的方程为(x3)2(y1)29.反思感悟 一般解法(代数法)：可以求出曲线yx26x1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式优美解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题【自主体验】1圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于 点A，B，若|AB|，则该圆的标准方程是_