空间向量知识点与题型归纳总结.docx

1、空间向量知识点与题型归纳总结空间向量知识点与题型归纳总结知识点精讲、空间向量及其加减运算1.空间向量. 空间向量也可在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量ar 的起点是 A，终点是 B，则向量 ar 也可以记作uuurruuurAB ，其模记为a或AB2.零向量与单位向量r uuur r 规定长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0 .当有向线段的起点 A与终点 B 重合时， AB 0.模为 1 的向量称为单位向量 .3.相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 . 在空间，同向且等长的有向线段表

2、示同一向量或相等向量 . 空 间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量 .与向量 ar 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为 a.4.空间向量的加法和减法运算uuur uuur uuur r1) OC OA OB auuur uuur uuur r rBA OA OB a b. 如图 8-152 所示.2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律a ， a bbc、空间向量的数乘运算1数乘运算实数 与空间向量 ar 的乘积 ar 称为向量的数乘运算 . 当 0时， ar 与向量 ra 方向相同；当 0时，向量 a 与向量 a 方向相反 .ar 的长度是 ar 的

3、长度的倍.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律a.3.共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量， ar平行于 br ，记作 ar /br .4.共线向量定理对空间中任意两个向量 a ，b 0 ，a / /b的充要条件是存在实数rr，使 a b.5.直线的方向向量如图 8-153 所示， l 为经过已知点 A且平行于已知非零向量 ar 的直线 . 对空间任意一点 O，点 P在直uuur 线 l 上的充要条件是存在实数 t ，使OPuuur uuur1 t OA tOB uuur r r uuur r OA ta ，其中向量 a 叫

4、做直线 l 的方向向量， 在 l 上取 AB a ，uuur uuur uuur uuur uuur uuur 则式可化为 OP OA tAB OA t OB OA1 uuur 1 uuur uuur 和都称为空间直线的向量表达式，当 t ，即点 P是线段 AB 的中点时， OP OA OB22 此式叫做线段 AB 的中点公式 .6.共面向量如图 8-154 所示，已知平面 与向量 ar ，作 OuuAur ar ，如果直线 OA 平行于平面 或在平面 内，则说明向量 a 平行于平面 . 平行于同一平面的向量，叫做共面向量图 8-1547.共面向量定理如果两个向量 a ，b 不共线，那么向量

5、p 与向量 a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 x,y ，使 p xa yb.推论：（ 1）空间一点 P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对x, yuuur，使 APuuur xABuuuryAC；uuuruuuruuuruuur或对空间任意一点 O ，有 OPOAxAByAC ，该式称为空间平面ABC的向量表达式uuuruuuruuuruuur（2）已知空间任意一点 O和不共线的三点 A，B ，C ，满足向量关系式 OP xOA yOB zOC（其 中 x y z 1 ）的点 P 与点 A ， B ， C 共面；反之也成立 .三、空间向量的数量积运算1.两向量夹角r r

6、 uuur r uuur r r r已知两个非零向量 a ， b ，在空间任取一点 O，作 OA a， OB b，则 AOB叫做向量 a，b 的r r r r r r r r r r 夹角，记作 a,b ，通常规定 0 a,b ，如果 a,b ，那么向量 a ，b 互相垂直，记作 a b.2.数量积定义零向量与任何向量的数量积为0，特别地，aar2a3.空间向量的数量积满足的运算律：a b a b ， a b b a （交换律）；a b c a b a c （分配律）四、空间向量的坐标运算及应用r r r r （1）设 a a1, a2 , a3 ，b b1 ,b2 , b3 ，则 a ba1

7、 b1,a2 b2,a3 b3 ；rr aba1 b1,a2 b2,a3 b3raa1, a2, a3 ；rraba1b1 a2b2 a3b3 ；a/ /b barra b a1b1a2b2a3b3 0.uuuruuuruuur2）设 A x1, y1,z1，Bx2,y2,z2 ，则 ABOBOA x2 x1,y2 y1,z2 z1这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标3）两个向量的夹角及两点间的距离公式 .已知 a a1,a2,a3b1,b2,b3 ，则 aa12 a22 a32 ；a2b2a3b3；a b a1b1cos a,ba1b1 a2

8、b2 a3b3a122 a2a32 b1222b22 b32已知 A x1, y1, z1 ， Buuurx2,y2,z2 ，则 AB2 2 2 x1 x2 y1 y2 z1 z2或者 d A,BuuurAB . 其中 dA,B 表示 A与 B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式4）向量 a 在向量 b 上的射影为 a cos a,bababrb已知两个非零向量 a，b，则 a b cos a,b 叫做 a，b 的数量积，记作 a b，即ar r r r uuur5）设 n n 0 是平面 M 的一个法向量， AB，CD是 M 内的两条相交直线，则 n AB 0，由此r uuur uuru

9、可求出一个法向量 n （向量 AB 及 CD 已知）（6）利用空间向量证明线面平行：设 nr 是平面的一个法向量， rl 为直线 l 的方向向量，证明 lr nr 0， （如图 8-155 所示） . 已知直线 l （l ），平面 的法向量 rn，若 lr nr 0，则 l / / .（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量 ar ， br ，只要证明r r r ra b ，即 a b 0.（ 8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线 .9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直 .10）空间角公式

10、 .异面直线所成角公式： 设 a ，b 分别为异面直线 l1，l2 上的方向向量， 为异面直线所成角的大小，ab则 coscos a,bab线面角公式：设l 为平面的斜线，a 为l 的方向向量， n为平面 的法向量， 为l 与 所成角的大小，则sincos a,nanrran二面角公式：设 n1 ， n2 分别为平面 ，的法向量，面角的大小为 ，则ur uur ur uurn1,n2 或 n1,n2需要根据具体情况判断相等或互补） ，其中ur uurn1 n2cosuuur rAB n11）点 A到平面 的距离为 d ， B， n 为平面 的法向量，则 d题型归纳及思路提示题型 1 空间向量及

11、其运算思路提示 空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则 .一、空间向量的加法、减法、数乘运算uuur r uuur r例 8.41 如图 8-156 所示，已知空间四边形 OABC，点M ,N 分别为 OA，BC的中点，且OA a，OB b，OCc，用 a，b ，c 表示 MN ，则 MNuuuur 1 uuur 1 ruuur1uuur解析OM OA a， ONOB222uuuuruuuruuuur1 r r1r1rrMNONOMbcabc222变式 1如图8-157 所示，已知空间四边形OABuuuuruuur的中点，点 G 在

12、线段MN 上，且 MG2GN ，uuuruuuruuuruuuruuur示向量OG ，设 OGxOAyOBzOC，则11111A. x,y,zB.x ,y,z3333311111C. x,y,zD.x,y,zuuuruuuuruuuura.1uuurOC613变式 2如图8-158 所示，在四面体的中点，uuur 则 OE变式在空间四边形，其对角线为OB，uuur uuru uuur 现用基向量 OA ， OB ， OC 表x,y,z 的值分别是（O ABC 中，uuur r uuurOA a ，OB用 a ，b ， c表示） .ABCD 中，连接对角线 AC,BD ，若AC，M 和 N 分别

13、是对边 OA和 BCr uuur rb ，OC c ， D 为 BC 的中点， E 为 ADBCD 是正三角形，且 E 为其重心，则uuurAB1 uuurBC23uuur3 DE2uuurAD 的化简结果为变式4 如图8-159 所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1 D1的交点，uuur r若 AB a ，uuurADb，uuur rAA1 c ，则下列向量中与uuuurBM 相等的向量是（A.1ra21 br rc2C.、空间共线向量定理的应用1br crB. 1 ar空间共线向量定理： a/ /b ba b.1ra21br rc2D. 1 ar2

14、1br rc2利用此定理可解决立体几何中的平行问题 ur r r r r r 例 8.42 已知 m 3a 2b 4c 0 ， nr r r r r r ur rx 1 a 8b 2yc，且 a, b,c不共面，若 m/ /n，求 x, y的值.ur r ur r解析 因为 m/n且m 0 ，所以m ，即 x 18b 2yc 3a 2b 4c .又因为 a,b,c 不共面，所以，解得13二、空间向量的数量积运算2yabz1z2 ；x1x2y1y2可先求其余弦值求空间向量夹角时，22y1 z1 ；求模长时，可根据cos a,br rb . 要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的 ab数量积是否为

15、 0，即 a0aa,b 为锐角 a b0；a,b 为钝角 a b0 . 由此， 通常通过计算 a b 的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角 .例 8.43 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点 E,F 分别是 BC,AD 的中点，uuur uuurAE AF 的值为（ ）A.a2B. B. 1 a2C.1a232 D. a244解析依题意，点 E,F 分别是BC,AD的中点，如图 8-160 所示，uuuruuur1uuuruuur1uuur1uuuruuuruuuruuurAEAFABACADABADACAD22412212a cos60acos60a44 故选 C.变式

16、 1 如图 8-161 所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1 D1 中，A1A AB AD 1 ，则 AC1A1ADA1ABDAB 60 ，且uuur uuur 变式 2 如图 8-162 所示，设 A,B,C,D 是空间不共面的 4 个点，且满足 AB ACuuur uuur0 ， AD ACuuur uuurAD AB 0 ，则 BCD的形状是（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.无法确定例 8.44 如图 8-163 所示，在 45 的二面角的棱上有两点 A,B ，点 C,D 分别在内，且AC分析AB ， ABD 45 ， AC BD AB 1， uuru CD 的模

17、.求 CD 的长度转化为求空间向量解析uuur 因为 CDuuurCAuuur uuur AB BD ，uuurCDuuurCA则 CD 的长度为uuurABuuur 2BDuuur 2CAuuur2 ABuuur 2BDuuur uuur2CA ABuuur2ABuuurBDuuur2CAuuurBD1110cos135uuur2CAuuurBD，设点uuur uuurC 在 内的射影为 H ，则 HA AB ，uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurCABDCHHABDCHBDHABD 0HABD.故cos135 1 cos45 cos135

18、uuur uuurHA,BD 135uuur 2 故 CD2 2 ，则 CuuDur 2 2 .变式 1 已知二面角l 为 60 ，动点P,Q 分别在面内， P到 的距离为 3 ，Q到的距离为 2 3 ，则 P,Q 两点之间距离的最小值为().变式 2B.2在直角坐标系中，设C.2 3D.4A 3,2 ， B2,3 ，沿 y 轴把坐标平面折成 120 的二面角后，AB 的长为().A. 6B.4 2C.2 3D.2 11例 8.45 如图 8-164 所示，设动点 P在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1的对角线 BD1上，记 D1P D1B 当 APC 为钝角时，求 的取值范围 .

19、uuur uuur uuuur解析 由题设可知，以 DA, DC, DD1为单位正交基底，建立如图 8-165 所示的空间直角坐标系 D xyz，uuuuruuuuruuuur由 D1B 1,1, 1， D1PD1B, , ，uuuruuuuruuuurPAD1AD1P1,0, 1, 1 , 1 ，uuuruuuuruuuurPCD1CD1P0,1, 1, ,1, 1 .显然APC 不是平角，所以APC 为钝角，uuuruuuruuur uuurPAPCuuur uuurcosAPCcosPA,PCuuuruuur 0 ，等价于PA PC则有 A 1,0,0 ， B 1,1,0 ，C 0,1,

20、0 ， D1 0,0,10，即得1321 2 0，1. 因此， 的取值范围是 1,1 .3评析 利用向量知识将uuur uuurAPC为钝角转化为 cos PA,PC 0 求解是本题的关键 .变式 1 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，点 P在线段 BD1上，当 APC 最大时，三棱锥P ABC 的体积为（1A.24例 8.46PAD).1C.9在四棱锥1D.12ABCD中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD为正方形，侧面1B.18 如图 8-166 所示， 底面 ABCD ， M 为底面 ABCD内的一个动点，且满足 MP MC ，则点 M 在正方形 ABCD内解析 取

21、 AD的中点 O，以 OA为 x 轴，垂直于a， P 0,0, 3a图 8-167 所示 . 设 M x,y,0 ，正方形的边长为则 MCMPMC ，得xABCD内的轨迹为一条线段，且过 本题利用空间线面位置关系求解也很快，C. 由题意知空间内与两定点距离相等的点均在线段中垂面3a2a,a,0 ，正方形评注内，即 M 在线段 PC的中垂面内 . 又 M 为底面 ABCD内一动点，则 M 的轨迹为两平面的交线落在底面 内的部分，排除 C、 D .又 BP BC ，故排除 B.故选 A.变式 1 到两互相垂直的异面直线距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹 是（ ） .A.

22、直线 B.椭圆变式 2 空间点到平面的距离定义如下：C. 抛物线 D.双曲线过空间一点作平面的垂线， 这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离，已知平面两两互相垂直，点 A ，点 A到 ， 的距离都是 3，点 P 是上的动点，满足 P到 的距离是点 P到点 A距离的 2 倍，则点 P 的轨迹上的点到 的距离的最小值是（ ） .A.3 3 B.3 2 3 C.6 3 D. 3题型 2 空间向量在立体几何中的应用思路提示用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可 以求空间角和距离 . 因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解

23、法一般都比较简 单.用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进 而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便 于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三 条棱所在的向量为基底） ，然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算 .一、证明三点共线（如 A，B，C 三点共线）的方法 uuur uuur uuur uuur 先构造共起点的向量 AB ， AC ，然后证明存在非零实数 ，使得 AB AC .例 8.47 如图 8-168 所示，已知在长方体 A

24、BCD A1B1C1D1中，点 M 为 DD1的中点，点 N 在 AC上，且 AN :NC 2:1，点 E为 BM 的中点 . 求证： A1， E， N 三点共线 .解析以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz ，如图8-169 所示 . 不妨设DA a ， DC b ，DD1，则0,0, c2B a,b,0a,b,cE , ,224， A1 a,0,c ，N a3,23b,0 ， 则EF ， CD都相交的直线（4 uuurA1E ，故 A1， E，3N 三点共线 .AA1和 CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1 ，）.A.不存在 B. 有且只有两条变式 2 如图 8-170 所示

25、， 在空间四边形D .有无数条C.有且只有三条ABCD中， M ，N 分别是 AB和 CD的中点， P为线段 MN 的中点， Q为 BCD的重心 .求证： A, P, Q三点共线 .、证明多点共面的方法要证明多点（如 A， B，C， D）先作出从同一点出发的三个向量（如共面，可使用以下方法解题 .uuur uuur uuurAB， AC ， AD ），然后证明存在两个uuur uuur uuur实数 x, y，使得 AD xAB yAC .例 8.48 如图 8-171 所示，平面 ABEF1， BC/ AD ，2 平面 ABCD ，又BAD FAB 90解析 由平面 ABEF平面 ABCD

26、，四边形 ABEF与 ABCD都是直角梯形， 1BE/ / AF .求证： C,D,E,F 四边共面 .2AF AB ，平面 ABEF I 平面 ABCD AB，得 AF 平面 ABCD ，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系 A xyz ，如图 8-172 所示 .设 AB a， BCb， BE c，则 B a,0,0 ，C a,b,0 ， D 0,2b,0 ， E a,0,c ，uuurF 0,0,2c . CuuEuruuur0, b,c ， uDuFuruuur0, 2b,2c ，因为 DFuuur2CE ，所以 DF / /CE ，则CE,DF 确定一个平面，即 C,D,E,F 四

27、点共面 .变式 1 如图 8-173 所示，已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1，E,F,G,H 分别是棱 A1D1,D1C1,C1C,AB 的中点 .求证： E,F,G,H 四点共面 .三、证明直线和直线平行的方法将证线线平行转化为证两向量共线 .设 a,b是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为 ar,br ，则例 8.49 如图 8-174 所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， MN 是异面直线 A1D 与 AC 的公垂线段 . 求 证： MN /BD1.解析 以点 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 D xyz ，如图 8-175 所示 . 设正方体的棱长为 a ，则A1 a,0,a ， A a,0,0 ，C 0,a,0