Rsa 算法分析.docx

1、Rsa 算法分析 RSA 算法分析姓名： 学号： 班级：1、算法简介：RSA公钥加密算法是1977年由罗纳德李维斯特（Ron Rivest）、阿迪萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。RSA公开密钥密码体制。所谓的公开密钥密码体制就是使用不同的加密密钥与解密密钥，是一种“由已知加密密钥推导出解密密钥在计算上是不可行的”密码体制。在公开密钥密码体制中，加密密钥（即公开密钥）PK是公开信息，而解密密钥（即秘密密钥）SK是需要保密的。加密算法E和解密算法D也都是公开的。

2、虽然解密密钥SK是由公开密钥PK决定的，但却不能根据PK计算出SK。RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操作。RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现今的三十多年里，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一。二、源码分析：/*-RSA.cpp-*/#include rsa.h/引入rsa.h/*-以下为prime_factory类定义与实现-*/prime_factory：用于产生质数class prime_factory/类 unsigned np;/无符号 unsigned *pl;/无符号 public:/公共 prime_f

3、actory();/构造函数 prime_factory();/构造函数 vlong find_prime( vlong & start );/寻找质数; /判定是否有很大概率为质数static int is_probable_prime( const vlong &p )/静态 /基于费马小定理：若p是任一质数, a 是任一整数, 则 ap = 1 mod p 。换句话说, /如果 a 和 p 互质, 则 a(p-1) = 1 mod p。2,3,5,7值分别代入a,若上式均成立 /则p为质数的概率极大 const rep = 4;/测试底数a的个数 const unsigned anyre

4、p = 2,3,5,7 ;/测试底数a数组为2,3,5,7 for ( unsigned i=0; irep; i+=1 )/循环，判断是否p有很大概率为质数, if ( modexp( anyi, p-(vlong)1, p ) != (vlong)1 )/判断是否a(p-1) = 1 mod p return 0;/返回0 return 1;/返回1/构造小质数表prime_factory:prime_factory() np = 0; /初始化为0 unsigned NP = 200;/小质数表个数上限 pl = new unsignedNP;/pl指向小质数表 /初始化质数表 unsi

5、gned SS = 8*NP; /质数表上限 char * b = new charSS+1;/指针指向字符数组 for (unsigned i=0;i=SS;i+=1) /for循环对b数组赋值 bi = 1;/数组初始化为1 unsigned p = 2;/从2开始构造质数 while (1) / skip composites while ( bp = 0 ) p += 1;/如果p为0，p递增1 if ( p = SS ) break;/若p等于SS，退出循环 plnp = p;/将找到的质数写入小质数表中 np += 1;/质数个数递增1 if ( np = NP ) break;/

6、如果质数个数达到小质数表的上限个数，退出循环 / cross off multiples unsigned c = p*2;/记录2*p while ( c SS )/当c =start的质数vlong prime_factory:find_prime( vlong & start ) unsigned SS = 1000; /1000为上限 char * b = new charSS; /后备，如果SSi=0，就不需要用/费马小定理（is_probable_prime）检验start+i,因为它必非质数 unsigned tested = 0; /使用is_probable_prime函数检

7、验过的后备质数次数 while (1) unsigned i;/循环变量i for (i=0;iSS;i+=1)/for循环 bi = 1;/赋初值为1 for (i=0;inp;i+=1)/for循环 unsigned p = pli;/p记录循环所指向的质数 unsigned r = start % (vlong)p;/ if (r)/ r = p - r;/将p-r赋值给r / 去除所有能被p除尽的后备质数 while ( r SS )/当r SS时， br = 0;/将后备质数检验位置为0 r += p;/r递增p / 检验后备质数 for (i=0;i q ) /若p q，则交换两数

8、 vlong tmp = p; p = q; q = tmp; / 计算公钥 /从0，（p-1）（q-1）-1中随机选取加密密钥e，使得e和（p-1）（q-1）互质。此处 /为使e较大，直接从一较大数开始选取（50001） m = p*q;/模m=p*q e = 50001; /必须为奇数 while ( gcd(p-(vlong)1,e) != (vlong)1 | gcd(q-(vlong)1,e) != (vlong)1 )/？ e += 2;/e只能每次递增2 /加密明文vlong public_key:encrypt( const vlong& plain ) return mode

9、xp( plain, e, m );/返回/解密秘文vlong private_key:decrypt( const vlong& cipher ) / Calculate values for performing decryption / These could be cached, but the calculation is quite fast vlong d = modinv( e, (p-(vlong)1)*(q-(vlong)1) ); vlong u = modinv( p, q ); vlong dp = d % (p-(vlong)1);/计算d mod (p-1) vl

10、ong dq = d % (q-(vlong)1);/计算d mod (q-1) / 应用同余定理 vlong a = modexp( cipher % p, dp, p );/计算 vlong b = modexp( cipher % q, dq, q );/计算 if ( b =( const vlong& x, const vlong& y ) return x.cf( y ) = 0; /友元内联函数实现对常用比较运算符operator =的重载 friend inline int operator =( const vlong& x, const vlong& y ) return

11、x.cf( y ) = 0; /友元内联函数实现对常用比较运算符operator ( const vlong& x, const vlong& y ) return x.cf( y ) 0; /友元内联函数实现对常用比较运算符operator 的重载 friend inline int operator ( const vlong& x, const vlong& y ) return x.cf( y ) 0; /友元内联函数实现对常用比较运算符operator = n ) return 0;/如果i超过n，则返回0 return ai;/否则，返回第i个单元数void flex_unit:c

12、lear()/清空 n = 0;/n为0flex_unit:flex_unit()/构造函数 z = 0;/z初始化为0 a = 0;/a初始化为0 n = 0;/n初始化为0flex_unit:flex_unit()/析构函数 unsigned i=z;/获取分配单元数 while (i) / i-=1; /i递减1 ai = 0; delete a;/删除void flex_unit:reserve( unsigned x )/扩展存储区 if (x z)/如果x大于z unsigned * na = new unsignedx;/生成新的na for (unsigned i=0;in;i

13、+=1) nai = ai;/for循环，将已使用的数据拷贝到na delete a;/删除a a = na;/na赋值给a z = x;/x赋值给z /根据索引设置元素值void flex_unit:set( unsigned i, unsigned x ) if ( i n )/如果索引位置i小于n ai = x;/第i个单元值置为x if (x=0) /如果x等于0 while (n & an-1=0) /去除高位0 n-=1; /n每次递减1 else if ( x )/否则？ reserve(i+1);/扩展，i+1 for (unsigned j=n;ji;j+=1) aj = 0

14、;/for循环,全部置为0 ai = x;/第i个单元值置为x n = i+1;/n置为i+1 #define BPU ( 8*sizeof(unsigned) ) /unsigned int类型bit数#define lo(x) ( (x) & (1 (BPU/2) ) /unsigned int高半部分#define lh(x) ( (x) (BPU/2) ) /使低半部分左移至高半部分void flex_unit:fast_mul( flex_unit &x, flex_unit &y, unsigned keep )/快速乘法 / *this = (x*y) % (2*keep) un

15、signed i,limit = (keep+BPU-1)/BPU; /运算结果单元数 reserve(limit); /扩展为limit for (i=0; ilimit) /取较小者 min = limit; for (i=0; ilimit) min = limit;/取min与limit之间的较小者 for ( unsigned j=i; jmin; j+=1 ) /此处代码为运算关键，可使用机器或汇编代码以加快速度，c:aj = aj + c + m*y.aj-i; unsigned w, v = aj, p = y.aj-i;/? v += c; c = ( v c );/? w

16、= lo(p)*lo(m); v += w; c += ( v w );/? w = lo(p)*hi(m); c += hi(w); w = lh(w); v += w; c += ( v w );/? w = hi(p)*lo(m); c += hi(w); w = lh(w); v += w; c += ( v w );/? c += hi(p) * hi(m);/? aj = v;/? while ( c & jlimit ) aj += c; c = aj c; j += 1; keep %= BPU; /去除不必要的bit if (keep) alimit-1 &= (1keep)

17、-1; while (limit & alimit-1=0) /计算使用单元数 limit-=1; n = limit;/limit赋值给n;/*-以上为flex_unit类定义与实现-*/*-以下为vlong_value类定义与实现-*/class vlong_value : public flex_unit /继承自flex_unit，负责vlong类内存管理/共有数据成员及成员函数 public: unsigned share;/共有 int is_zero() const;/ 测试大数是否为0 int test( unsigned i ) const;/测试第i位（bit）值是否为0

18、unsigned bits() const;/获取大数位（bit）数 int cf( vlong_value& x ) const;/比较大小 void shl();/左移 void shr();/右移 void shr( unsigned n );/左移n位 void add( vlong_value& x );/加法 void subtract( vlong_value& x );/减法 void init( unsigned x );/初始化函数 void copy( vlong_value& x );/拷贝 operator unsigned(); /转换至unsigned int类型，不安全 vlong_value();/构造函数 void mul( vlong_value& x, vlong_value& y );/乘法 void di