柔性机械臂逆动力学问题的分析和求解.docx

1、柔性机械臂逆动力学问题的分析和求解柔性机械臂逆动力学问题的分析和求解 摘要：采纳割线坐标系对机械臂的运动进行了描述，并分快变（振动）和慢变两方面进行逆动力学问题的分析与求解。在对快变部份逆动力学性质的分析中发觉，快变部份精准的逆动力学解是发散的。在进行柔性机械臂逆动力学求解时，应在慢变的意义上进行。文中给出了一种去掉系统快变部份的简单方式，并进行了逆动力学求解。数值仿真结果说明，该处置方式是合理的。关键词：柔性机械臂；动力学；逆动力学；振动；大范围运动the Analysis and Solution for Inverse Dynamic Problems of Flexible Arms

2、Abstracet：The paper concentrates on the analysis and solution for inverse problems of flexible arms. The secant coordinate system is introduced to describe the location of the two-link arm. The fast (vibration) part and the slow part are analyzed for the inverse problems. The solutions for the fast

3、part are found emanative through the analysis. So, the solution for the flexible arms should be carried out while only the slow part is included. A sample method is given to get rid of the fast part and get the solutions for the inverse problems. Numerical results show that this method is correct.Ke

4、y words：flexible arm；dynamic；inverse dynamic；vibration；movement with large range 双连杆柔性机械臂是柔性系统中最为典型的例子之一，在实践中，对其端点的运动实现精准的操纵的最重要因素是操纵算法的计算速度，复杂的操纵算法难以实现。而逆动力学建模和操纵是紧密相关的，通过逆动力学方式，取得一个比较精准的驱动力矩作为前馈，再施以适当的操纵算法，以实现对机械臂的高速、高精度操纵，那么是一种具有实效的方式。 关于柔性臂操纵的逆动力学方式的研究报导尚不多见，其中文献1-5对动力学方程解耦，即把动力学方程近似分解成一些相对简单的系统

5、，从而取得逆动力学的表达式。Matsuno6通过对采纳切线坐标系的动力学模型进行简化，取得了一种实时的逆动力学方式。Gofron等应用了驱动约束法7，把期望运动处置成非定常约束。Bayo在频域内进行了逆动力学求解8,9。Asada等提出了一种迭代求解的方式10。 在逆动力求解中常常会碰到求得的力矩不准，力矩振荡专门大，求解烦琐等问题。因此，讨论逆动力学求解的特点和性质是超级重要的，并有助于采纳合理的方式取得比较好的前馈力矩。1 动力学和逆动力学模型 一样情形下，柔性机械臂的两根连杆横向弹性变形(弯曲)较小，那么忽略机械臂的径向变形；假定关节及臂端负载均为集中质量，那么忽略其大小。同时，暂不考虑

6、电机转子的转动惯量和电机的阻尼。 图1 双连杆柔性臂 Two-link flexible arm图1是一双连杆柔性机械臂，两臂间关节电机质量为 ，上臂端部集中质量为 ，两连杆质量和抗弯刚度别离为 和 ， 和 ，两连杆的长度别离为 和 ， 和 为两关节电机提供的力矩。 连杆变形很小，对每根连杆成立一个运动坐标系，使得连杆在其中的相对运动很小。机械臂的整体运动那么可由这两个动坐标系的方位角来描述。于是，在动力学模型中将有两类变量，一类是幅值很小但转变迅速的弹性坐标，另一类是转变范围较大的方位角。本文采纳端点连线坐标系，即将连杆两头点的连线作为动坐标系的x轴（见图1）。描述整体运动的是两个角度 和

7、，而连杆相关于动坐标系的运动那么可视为简支梁的振动。如此，动力学模型刚度阵的弹性坐标相互不耦合，臂端的位置可由 和 确信，其期望运动形式（或数值解）： (1) 如采纳其他形式的动坐标系，两杆的弹性坐标将耦合在一路，而且在逆动力学求解时，将不能不处置微分方程与代数方程组合的方程组。 对每一个机械臂取两阶模态坐标来描述，应用拉格朗日方式取得动力学方程： (2) 式中。 为66质量阵； 为速度的二次项； 为66刚度阵； 为重力的广义力向量； 为驱动力矩的广义力向量； ，其中 和 、 和 别离是两个机械臂的一阶和二阶弹性坐标。 柔性臂系统的逆动力学问题，是指在已知期望结尾操作器运动轨迹的情形下，结合逆

8、运动学与动力学方程对关节力矩进行求解。若是直接进行逆动力学求解，即把势(1)代入动力学方程式(2)中，对方程中的弹性坐标和力矩进行求解，一样情形下，其数值解将专门快发散。 表达系统运动状态的坐标能够看成有两部份组成：大范围的相对缓慢的运动（慢变）部份和小范围的振动（快变）部份。本文试图将这两部份分离，别离讨论它们的逆动力学特性，并以此来分析整体系统的逆动力学问题。 2 快变部份的逆动力学问题 第一，寻求两个关节力矩使端点维持不动，先不考虑大范围的运动。 现在，重力只起了一个改变平稳点的作用，在方程中把与它相关的部份略去，在动力学方程(2)中令 ，得： (3) 式中 在方程(3)中消去 和 得：

9、 (4) 式中： ， , , , , , , , , , , , 对式(4)降阶： (5) 式中 其中， I是四阶单位阵。方程(5)可化为以下形式： (6) 式中 。求出 的特点值别离为 式中 。 因 的特点值存在正实部，那么方程(3)所表示的系统不稳固，其解发散，即双连杆柔性臂在这种情形下，其振动问题的精准逆动力学解是发散的。 的各特点值在复空间散布关于虚轴对称，必然会显现正实部，如选取更多阶模态函数离散时，会显现一样的情形。因此，选取更多阶模态函数离散时，其振动问题的逆动力学解是发散的。 如应用应用文献10中给出的迭代法进行逆动力学求解，当积分步长很小时，其解是发散的；当积分步长较大时，即

10、可取得较好的结果。其缘故是因为快变部份的逆动力学解发散，当步长较大时相当滤掉了快变部份，即可取得较好的结果。 3 慢变意义上的逆动力学 在进行慢变意义上的逆动力学求解时，应试图将弹性坐标中的振动部份滤掉，弹性坐标中不该含有振动部份，再结合期望的 、 求得力矩。 如图1所示，机械臂的各参数：L1=, L2=, M1=, M2=, m1=, m2=, = , =218 。期望运动轨迹：机械臂端点绕以, 0)为圆心，做半径为,以每周1s作匀速圆周运动。 由机械臂的动力学仿真结果能够看到，弹性坐标的一阶、二阶时刻导数项振动幅值专门大，但它们都在零值周围振动，即其慢变部份很小。因此，在式(2)中去掉弹性

11、坐标的一阶、二阶时刻导数项，相当于滤掉了弹性坐标中的振动部份，通过整理取得如下形式： (7) 式中， 、 、 中含 、 及其一阶时刻导数项。 将式(1)代入式(7)中，再对方程求解，能够取得弹性坐标和力矩，弹性坐标见图2（图中不含振动的曲线）。为了考察取得的力矩，将力矩代入动力学方程式(2)中，取得的各弹性坐标见图2（图中含振动的曲线），轨迹跟踪曲线、端点坐标与期望运动相较较的误差曲线别离见图3和图4。 含振动部份的弹性坐标 弹性坐标的慢变部份 图2 各弹性坐标 Elastic coordinates 图3 端点轨迹跟踪 Track following of the end point 图4

12、端点运动的x和y方向坐标误差 the errors of coordinates in x and y Directions for the end movement 由图2中能够看出，由式(7)取得的弹性坐标（不含振动）与机械臂的动力学仿真取得的弹性坐标（含振动）的慢变部份十分相似，因此在式(2)中去掉弹性坐标的一阶、二阶时刻导数项相当于滤掉了弹性坐标中的振动部份，说明这种方式是合理的。由图3与图4给出的仿真结果能够看出，轨迹跟踪专门好，由此可见，取得的力矩精度很高.4 终止语 由图2能够看到，机械臂在运动进程中，其弹性坐标由两方面组成，一方面是振动部份（快变部份），另一方面是与载荷、惯性力

13、有关的慢变部份。而弹性坐标速度、加速度的慢变部份很小，在逆动力学求解中将其略去是合理的，由式(7)取得了比较准确的弹性坐标慢变部份并非偶然。由以上分析能够看出，关于柔性机械臂系统，振动部份的精准逆动力学解是发散的，进行逆动力学求解时，应滤掉振动部份，在慢变的意义上进行，才能取得比较好的前馈力矩。 参 考 文 献1 Xia J Z ,Manq C H. Real time estimation of elastic deformation for end-point tracking control of flexible two-link manipulatorsJ. The Journal

14、of Dynamic Systems, Measurement and Control, 1992, 115(3):385-393.2 Matsuno F, Sakawa Y., Asano T, Quasi-static hybrid position/force control of a flexible manipulatorC. Proceeding of the IEEE International Conference on Robotics and Automation, Sacramento, Publ by IEEE, 1991, 3:2838-2843.3 Matsuno

15、F, Sakawa Y. Dynamic hybrid position/force control of a two degree-of-freedom flexible manipulatorJ. Journal of Robotic Systems, 1994, 11(5):355-366.4 Yoshikawa T. Dynamic hybrid position/force control of robot manipulators-description of hand constraints and calculation of joint driving forceJ. IEE

16、E J RA, 1987, (3):386-392.5 Kwon D S, Book W J. An inverse dynamic method yielding flexible manipulator state trajectoriesC. Proceedings of the American Control Conference, San Diego, Publ by American Automatic Control Council, 1990, 27-37.6 Matsuno F. Modeling and quasi-static hybrid position/force

17、 control of constrained planar two-link flexible manipulatorsJ. IEEE Transactions on Robotics and Automation, 1994, 10(5):287-297.7 Gofron M, Shabana A A. Control structure interaction in the nonlinear analysis of flexible mechanical systemsJ. Nonlinear Dynamics, 1993, (4):183-206.8 Bayo E, Moulin H

18、. An efficient computation of the inverse dynamics of flexible manipulators in the time domainC. Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation, Scottsdale, Publ by IEEE, 1989, 710-715.9 Bayo E, Padadopoulos P, Stubbe J, et al. Inverse dynamics and kinematics of multi-link elastic robotsJ. Int. J. Robotics Research, 1989, 8(6):49-62.10 Asada,H., Ma,., Tokumaru,H. Inverse dynamics of flexible robot arms: modeling and computation for trajectory control. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 1990, 112: 117-185.