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1、数学建模论文范文1 问题的提出位于我国西南地区的某个偏远贫困村，年平均降水量不足 20mm ，是典型 的缺水地区。过去村民的日常生活和农业生产用水一方面靠的是每家每户自行建 造的小蓄水池， 用来屯积每逢下雨时获得的雨水， 另一方面是利用村里现有的四 口水井。 由于近年来环境破坏， 经常是一连数月滴雨不下， 这些小蓄水池的功能 完全丧失。而现有的四口水井经过多年使用后，年产水量也在逐渐减少，在表 1 中给出它们在近 9 年来的产水量粗略统计数字。 2009 年以来，由于水井的水远 远不能满足需要， 不仅各种农业生产全部停止， 而且大量的村民每天要被迫翻山 越岭到相隔十几里外去背水来维持日常生活。

2、为此，今年政府打算着手帮助该村解决用水难的问题。从两方面考虑， 一是地质专家经过勘察， 在该村附近又找到了 8 个可供打井的位置， 它们的地质 构造不同，因而每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同，详见表 2 ，而且 预计每口水井的年产水量还会以平均每年 10% 左右的速率减少。二是从长远考虑，可以通过铺设管道的办法从相隔 20 公里外的地方把河水引入该村。铺设管 道的费用为P .66Q51L （万元）,其中Q表示每年的可供水量（万吨/年），L 表示管道长度（公里）。铺设管道从开工到完成需要三年时间，且每年投资铺设 管道的费用为万元的整数倍。要求完成之后，每年能够通过管道至少提供 100 万

3、吨水。政府从 2010 年开始，连续三年，每年最多可提供 60 万元用于该村打 井和铺设管道，为了保证该村从 2010 至 2014 年这五年间每年分别能至少获得150、160、170、180、190万吨水，请作出一个从 2010年起三年的打井和铺设管道计划，以使整个计划的总开支尽量节省（不考虑小蓄水池的作用和利息的 因素在内）。表1 现有各水井在近几年的产水量（万吨）份编号2001200220032004200520062007200820091号井32.231.329.728.627.526.125.323.722.72号井21.515.911.88.76.54.83.52.62.03号井

4、27.925.823.821.619.517.415.513.311.24号井46.232.626.723.020.018.917.516.3表2 8个位置打井费用（万元）和当年产水量（万吨）编号12345678打井费用57546553当年产水25363215312822122问题的分析题中要求制定一个总费用（决策目标）最小的抗旱（打井，铺设管道）方案，属于优化问题，并且使得该村从 2010至2014年这五年间每年分别能至少 获得 150 、160 、170 、180 、190 万吨水，每年费用不超过 60 万元。（此两点 为主要约束条件）其他的约束条件有：a.每口井只能在2010年开始，连续

5、三年中的其中一年施工b.铺设管道费用为万元整数倍c.由于河位于与该村相隔20公里外的地方，所以管道总长度不小于20公里d.铺设管道需要3年时间，故前3年管道供水量为0,而第4,5年供水量不小 于 100 万吨。故此模型即为基于以上约束条件的整数规划（最优决策目标）问题。3模型的假设a 忽略小蓄水池的作用和利息因素b 不考虑意外情况导致所需经费增加c 假设井在年初修建且时间很短，修完之后即可利用，管道铺好后即可用于供水d 假设这五年之内村民需水量基本稳定e 假设井供水量呈稳定规律变化，不考虑其他因素对产水量的影响f 从长远利益考虑，打井和铺设管道两个方案应同时协调进行4符号说明Xij 0 1 变

6、量，表示第 i 号井在第 j 年的施工情况， Xij= 1 第 i 号井在第 j 年施工， Xij= 0 表示不施工Zj 第 j 年的总费用Pj 第 j 年的铺管道费用Lj 第 j 年铺管道公里数Wj 第 j 年的水量Q 管道供水量Nj 所有新建的水井在第 j 年的产水量5模型建立决策变量为三年间铺设管道和打井的总费用。 0 1变量Xij表示i号井j年是否 施工，为 1 则施工 ,产生费用， Pj 表示第 j 年的铺路费用。所以第 j 年的总费用Zj=5*X 1j +7*X 2j +5*X 3j +4*X 4j +6*X 5j+5*X 6j+5*X 7j+3*X 8j+P j三年费用 min

7、Z=Z 1+Z2+Z 3=5*X ii+7*X 2i+5*X 3i+4*X 41 +6*X 51 +5*X 6i+5*X 71 +3*X 81+P1 +5*X 13 + 7*X 23 + 5*X 33 +4*X 43 +6*X 53 + 5*X 63 + 5*X 73 + 3*X 83 + P 3约束条件：1） 由于第i号井只能在三年中的某一年打造或者不打造，故应有3Xij =150, W 2 =160, W 3=170, W 4=180, W 5=1904）每年的铺管道费取整且总管道不小 20 公里即Pj=0.66QP.51*L iPj 取整L1+L 2+L 3 = 206模型求解将上述模型

8、输入 LINGO 可得到【 2】Local optimal solution found.Objective value:172.0000Extended solver steps:308Total solver iterations:10226VariableValueReduced CostZ155.000000.000000Z260.000000.000000Z357.000000.000000X111.0000005.000000X210.0000007.000000X311.0000005.000000X410.0000004.000000X510.0000006.000000X61

9、1.0000005.000000X711.0000005.000000X810.0000003.000000P135.000001.000000X120.0000005.000000X221.0000007.000000X320.0000005.000000X420.0000004.000000X520.0000006.000000X620.0000005.000000X720.0000005.000000X820.0000003.000000P253.000001.000000X130.0000005.000000X230.0000007.000000X330.0000005.000000X

10、430.0000004.000000X531.0000006.000000X630.0000005.000000X730.0000005.000000X830.0000003.000000P351.000001.000000Q100.00000.000000L15.0643550.000000L27.6688800.000000L37.3794880.000000W1150.47540.000000W2164.09830.000000W3174.07450.000000W4255.78080.000000W5238.98780.000000RowSlack or SurplusDual Pri

11、ce1172.0000-1.00000020.000000-1.00000030.000000-1.00000040.000000-1.00000050.0000000.00000060.0000000.00000070.0000000.00000081.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000

12、000.00000091011121314151617181920212223242526272829300.0000000.0000001.000000-0.4462500E-07-0.6757500E-07-0.6502500E-070.11272265.00000055.0000060.000000.0000003.00000057.000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.0000000.47540004.0983003275.780800.0000003348.987820.000000即最小总费用为 172 万元第一年花费 20

13、万元打造 1,3,6,7 号井；花费 35 万元铺管道 5.06 公里，共计 55 万元；第二年花费 7 万元打造 2 号井，花费 53 万元铺管道 7.669 公里，共计 60 万元；第三年花费 6 万元打造 5 号井，花费 51 万元铺管道 7.379 公里，共计 577结果分析由结果可知第一年打井 1， 3 ，6，7 号。产生水量 150.47 万吨。由各井 的产水量可知无论是减少井量， 或是替换成其他的井， 在保证费用不增加的情况 下都会使产水量减小，所以第一年只能打井 1，3， 6， 7 号。第二年新增水井 2 号，总水量 164.098 ，可供替换的井为 4，5，7 号，与 2 号

14、水量之差分别为 21 ， 5，24 皆大于 4 万吨，故也无法满足水量只能打 2 号井。同理第三年也只能打 5 号井。这样方案费用是最小的。8方案评价1）本文把所解决的问题归结为优化问题，建立的数学模型清晰合理。2）运用 MATLAB 和 LINGO 软件处理数据和进行运算，降低运算量，简单易行，有很大的可操作性。且所得数据较为合理可靠。3 )运用 01 模型解题，全面可靠4)但在实际运用本方案中还应考虑自然因素对产水量的影响，还有需水量的变化，根据实际情况进行灵活改变。9参考资料1 姜启源 谢金星 叶俊 数学模型， 20032 穆国旺 MATLAB 课件 LINGO 课件3 陈綖 决策分析

15、19874 杨启帆 数学建模中的优化问题 199010附录附录一：一号井：x=1:1:9y=32.2,31.3,29.7,28.6,27.5,26.1,25.3,23.7, 22.7a=polyfit(x,y,1) t=1:1:14s=polyval(a,t)hold onplot(t,s,r-,li newidth,2)（万吨）号井水量模拟图线（年份减去2000）grid二号井：x=1:1:9y=21.5,15.9,11.8,8.7,6.5,4.8,3.5,2.6, 2.0 a=polyfit(x,y,3)t=1:1:14 s=polyval(a,t) hold on plot(t,s,r-

16、,li newidth,2)grid三号井:x=1:1:9y= 27.9,25.8,23.8,21.6,19.5,17.4,15.5,13.3,11.2 plot(x,y,k.,markersize,25)a=polyfit(x,y,1)t=1:1:14s=polyval(a,t)hold onplot(t,s,r-,li newidth,2)grid（万吨）号井水量模拟图线四号井:x=2:1:9y= 46.2,32.6,26.7,23.0,20.0,18.9,17.5,16.3 a=polyfit(x,y,3) t=2:1:14s=polyval(a,t)hold onplot(t,s,r-

17、,li newidth,2)grid（万吨）（年份减去2000）附录二：min=Z1+Z2+Z3;Z1=5*X11+7*X21+5*X31+4*X41+6*X51+5*X61+5*X71+3*X81+P1;Z2=5*X12+7*X22+5*X32+4*X42+6*X52+5*X62+5*X72+3*X82+P2;Z3=5*X13+7*X23+5*X33+4*X43+6*X53+5*X63+5*X73+3*X83+P3;X11+X12+X13=1;X21+X22+X23=1;X31+X32+X33=1;X41+X42+X43=1;X51+X52+X53=1;X61+X62+X63=1;X71+X

18、72+X73=1;X81+X82+X83=20;gin(P1);gin(P2);gin(P3);Z1=0;Z2=0;Z2=60;Z3=0;W1=43.4754+25*X11+36*X21+32*X31+15*X41+31*X51+28*X61+22*X71+12*X81;W2=31.7983+25*X12+36*X22+32*X32+15*X42+31*X52+28*X62+22*X72+12*X82+25*X11*0.9+36*X21*0.9+32*X31*0.9+15*X41*0.9+31*X51*0.9+28*X61*0.9+22*X71*0.9+12*X81*0.9;W3=24.004

19、5+25*X13+36*X23+32*X33+15*X43+31*X53+28*X63+22*X73+12*X83+25*X12*0.9+36*X22*0.9+32*X32*0.9+15*X42*0.9+31*X52*0.9+28*X62*0.9+22*X72*0.+28*X61*0.81+22*X71*0.81 + 12*X81*0.81; W4=20.7178+ (W3-24.0045 ) *0.9+Q;W5=17.4312+ (W3-24.0046 ) *0.81+Q;Q=100;W1=150;W2=160;W3=170;W4=180;W5=190; end附录三：表1现有各水井在近几年

20、的产水量（拟合值）（万吨）年份 、产水量 编号Q200120022003200420052006200720082009201020112012201320141号井32.262231.060629.858928.657227.455626.253925.052223.850622.6489)21.447220.245619.043917.842：! 16.64062号井21.424216.019711.83578.68596.3844.74353.57812.70151.92731.06900003号井27.895625.810623.725621.640619.555617.470615.385613.300611.2156i 9.13067.04564.96062.87560.79064号井45.636433.890726.420822.16320.053719.029218.02615.9803H1.82864.5071000