数学建模和数学建模竞赛.docx

1、数学建模和数学建模竞赛什么是数学建模？引言数学模型(Mathematical Model)这个名词(术语)早就为科学界、工程界, 甚至经济学界所熟知, 因为他们就是用这种方法来研究他们要处理解决的问题的, 也就是通过近似表示他们要处理解决的复杂问题 数学模型 来解决问题的. 不过, 数学建模(Mathematical Modeling)这个名词(术语)大概是上世纪60年代才出现并迅速流行开来, 虽然不能说无人不晓数学模型和数学建模这两个名词, 但是至少可以说, 他们已经是无处不在的了, 甚至普通的报刊上也常常出现这两个名词. 数学建模是用数学来解决实际问题的桥梁. 数学模型(Mathemati

2、cal Model)是用数学符号对一类实际问题或实际系统发生的现象的(近似的)描述。而数学建模(Mathematical Modeling)则是获得该模型、求解该模型并得到结论以及验证结论是否正确的全过程。数学建模不仅是了解系统的基本规律的强有力的工具，而且从应用的观点来看更重要的是预测和控制所建模系统的行为的强有力的工具。许多这样的物理现象，常常是从某个实际问题的简化的数学模型的求解中发现，并给予明确的数学表述，例如，混沌、孤立子、奇异吸引子等。查一下英文字典和百科全书对了解模型和建模也有好处。英汉大词典(缩印本), 上海译文出版社, 1991第1版, 2001 第10次印刷, p. 115

3、3. Model n. 11.【数】【逻】 (用作分析、阐明事物的)模型: a macroeconomic 宏观经济模型construct mathematical s to understand the nature of evolution 构建数学模型以理解进化的性质. vt. 6. 作出(现象、系统等)的模型(通常指数学模型). Modeling = Modelling n. 1. 模型制造(法); 塑像(术); 造型(术); 5. 【数】【逻】模型设计: mathematical 数学模型设计. 词源：Hodge W. (2005) ,Model theory (entry), ht

4、tp:/plato.stanford.edu provides a concise description of how the word originated as well as different uses for the word. 在晚期的拉丁文中，“modellus”是一种，例如，计量水或牛奶的计量器具。由于语言的变化莫测，在英语中该词生成了三个词：mould(模具), module(单元、模块), model(模型)。常常有一个计量物质量的器具也给予了该物质一种外形。我们从奶酪模具，也从把墨水带到要印的纸张上去的金属字模(在17世纪早期也称为“moduli”)。而model意味着

5、手上的一个物体，它表示现实世界中所设计的物体；画家的模型就是他所画的画；雷恩爵士的圣保罗大教堂的“模块”是用作建造者的指南。In late Latin a modellus was a measuring device, for example to measure water or milk. By the vagaries of language, the word generated three words in English: mould, module, model. Often a device that measure out a quantity of a substance

6、 also imposes a form on the substance. We see this with a cheese mould, and also the metal letters (called the moduli in the early 17th century) that carry ink to paper in printing. So model comes to mean an object in hand that expresses the design of some other objects in the world; the artists mod

7、el carries the form that the artist depicts, and Christopher Wrens module of St Pauls Cathedral serves to guide the builders.1.1，The Language of Dynamic System Modeling, Handbook of Dynamic System Modeling Cpaman & Hall/CRC，edited by Paul. A. Fishwick, 2007，p. 1-1. 数学建模本身并不是什么新发现。纵观科学技术发展史，我们可以看到数学建

8、模的思想和方法是自古以来天文学家、物理学家、数学家等用数学作为工具来解决各种实际问题的主要方法。不过数学建模(Mathematical Modeling)这个术语的出现和频繁使用是20世纪60年代以后的事情。很重要的原因是，由于计算的速度、精度和可视化手段等长期没有解决, 以及其他种种原因，导致有了数学模型，但是解不出来，者算不出来或不能及时地算出来，更不能形象地展示出来，从而无法验证数学建模全过程的正确性和可用性，数学建模的重要性逐渐被人“淡忘”了。然而，恰恰是在20世纪后半叶，计算机、计算速度和精度，并行计算、网络计算等计算技术以及其他技术突飞猛进的飞速发展, 给了数学建模这一技术以极大的

9、推动, 不仅重新焕发了数学建模的活力，更是如虎添翼地显示了数学建模的强大威力。而且，通过数学建模也极大地扩大了数学的应用领域。甚至在抵押贷款和商业谈判等日常生活中都要用到数学建模的思想和方法。人们越来越认识到数学和数学建模的重要性。学习和初步应用数学建模的思想和方法已经成为当代大学生，甚至生活在现代社会的每一个人，必须学习的重要内容。以下我们只是引用一些专家的论述来说明这一点。 “没有数学建模的广泛应用就不可能设想会有现代科学。数学建模的方法的本质就是把原来的对象用它的“象” 数学模型来替代，并在计算-逻辑算法的帮助下深入研究该模型。研究、构造和设计的这个“第三种方法”把理论和实验的优势都结合

10、在一起了。不是对对象本身而是对它的模型进行研究就能使我们便宜地、容易地和快速地在任何可以想象到的情景下研究模型的性质和行为(这是理论的优势)。同时也要感谢现代计算方法的威力对模型的数值实验就能得到纯理论的方法不能得到的有关对象的仔细和深入的研究(这是实验的优势)。数学建模的方法在覆盖着从技术系统的研制及其控制到复杂的经济和社会发展过程的分析的新领域得到广泛的研究是不足为奇的。”A. A. Samarskii, A. P. Mikhailov, Principles of Mathematical Modeling Ideas, Methods, Examples (数学建模的原理 思想、方法、

11、例子), Taylor & Francis, 2002, pp.1 5.“把对外部世界各种现象或事件的研究化归为数学问题的数学建模的方法在各种研究方法, 特别是与电子计算机的出现有关的研究方法中, 占有主导地位. 数学建模的方法能使人们在解决复杂的科学技术问题时设计出在最佳情势下可行的新的技术手段, 并且能预测新的现实。”A. H. , Mathematical Model, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 1995, Vol. 3, pp.784-785. 中译本：数学百科全书，第三卷，pp. 647 648

12、,“数学模型”条目，科学出版社，1997。“一切科学和工程技术人员的教育必须包括数学和计算科学的更多的内容. 数学建模和与之相伴的计算正在成为工程设计中的关键工具。科学家正日益依赖于计算方法，而且在选择正确的数学和计算方法以及解释结果的精度和可靠性方面必须具有足够的经验。对工程师和科学家的数学教育需要变革以反映这一新的现实。”A. Friedman, J. Glimm, J. Lavery, The mathematical and computational sciences in emerging manufacturing technologies and management prac

13、tices (新兴的的制造技术和管理实践中的数学和计算科学) SIAM Report on Issues in the Mathematical Sciences, SIAM, 1992, pp. 62-63.数学建模的主要步骤数学建模的全过程大体上可归纳为以下步骤：1 对某个实际问题进行观察、分析(是否抓住 主要方面); 2 对实际问题进行必要的抽象、简化，作出合理的假设(往往是很不容易的); 3 确定要建立的模型中的变量和参数; 4 根据某种“规律”(已知的各学科中的定律, 甚至是经验的规律)，建立变量和参数间确定的数学关系 (明确的数学问题或在这个层次上的一个数学模型), 这可能是一个非

14、常具有挑战性的数学问题; 5 解析或近似地求解该数学问题. 这往往涉及复杂的数学理论和方法, 近似方法和算法; 6 数学结果能否展示、解释甚至预测实际问题中出现的现象，或用某种方法（例如，历史数据、实验数据或现场测试数据等）来验证结果是否正确(这也是很不容易的); 7 如果第 6 步的结果是肯定的，那么就可以付之试用; 如果是否定的，那就要回到第 1 6 步进行仔细分析，重复上述建模过程。因此，如果要对数学建模下定义的话，那就是: 数学建模就是上述 7 个步骤的多次重复执行的过程。或用框图来表示如下：观察、分析实际问题 抽象、简化，确定变量和参数 利用某种“定律”建立变量和参数间的确定的关系(

15、数学问题, 这个层次上的一个数学模型) 解析或“近似”地求解该数学问题（数学模型）解释、验证 通不过 通过可应用该数学模型定义：数学建模就是上述框图多次执行的过程。由此可见, 数学建模过程中最重要的三个要素, 也是三个最大的难点是: 1. 怎样从实际情况出发作出合理的假设，从而得到可以执行的合理的数学模型；2. 怎样简明、合理、快捷求解模型中出现的数学问题，它可能是非常困难的问题；3. 怎样验证模型是合理、正确、可行的。所以，当你看到一个数学模型时，就一定要问问或者想一想它的假设是什么，是否合理？模型中的数学问题的求解是否很难，数学上是否已经解决？怎样验证该模型的正确性与可行性？当你亲自参加数

16、学建模时牢记这三条，一定会受益匪浅。(注1) 从简单到精细在建模过程中还有一条不成文的原则：“从简单到精细”，也就是说，首先建立一个比较简单但尽可能合理的模型，对该模型中的数学问题有可能解决，从而有可能做到仅仅通过实验观察不可能做到的事，甚至发现重要的现象。如果在求解该模型的结果不合理，甚至完全错误，那么它也有可能告诉我们如何改进的方向。(注2)“双向翻译”的能力要想比较成功地运用数学建模去解决真正的实际问题, 还要学习“双向翻译”的能力, 即能够把实际问题用数学的语言表述出来, 而且能够把数学建模得到的(往往是用数学形式表述的)结果, 用普通人(或者说要应用这些结果的非数学专业的人士)能够懂

17、的语言表述出来. 通常人们按照问题的性质出发把数学模型分为: 确定性模型和随机模型, 离散和连续模型; 按照从机理还是经验(数据)出发来建模, 分为: 机理模型和经验模型; 按照模型中出现的数学问题, 分为: 优化模型, 图论模型, 微分方程模型, 概率模型等等. 还可以论述: 怎样从子模型构造总体模型, 抽象成为数学问题的种种手段、方法和技巧. 各行各业的数学模型和建模技巧千千万万. Michael Mesterton-Gibbons曾在其著作A Concrete Approach to Mathematical Modelling(数学建模的具体方法), Addison-Wesley, 1

18、989, pp. xix xx. 中讲到建模的ABC (Assume, Borrow, Critize) 也强调了假设等的重要性，值得参考。“A 就是假设如果你的数学经验教给你的是，永远不要假设没有向你提供的前提或事实，那么本书将会使你感到吃惊。(在建模过程中)给你的假设或事实极少是足够的，所以你必须作出一些假设 有关什么是重要的以及什么是不重要的，确信什么是超出了可以合理怀疑的范围，以及什么是迄今仍未解决的问题。确实，在非常现实的意义下，模型就是你所作出的若干假设。数学能够使你从这些假设推断出结论，这些结论，(a)不用数学推断的话不会那么清晰可见，(b)能够和你们的数学模型试图去解释的物理现

19、象的观测数据进行比较。两者符合的程度决定了该模型的价值。两者符合很差不见得(不应该!)表示你所用到的数学是错误的，而可能是你所作的一个(或多个)假设的有效性令人怀疑。于是你就要修改你的模型(即修改你所作的假设)，建模的步骤就要再执行一遍。B就是借鉴为什么要借呢？数学模型就是企图通过抽象的形式来抓住所观察现象的本质性的特征。这种企图能否成功很大(如果不是更大)程度上取决于建模者对那些现象的经验知识以及她或他的数学能力。如果你既没有这些知识，又没有时间来获得这些知识的话，你该怎么办呢？回答是从科学文献或比你更有经验的同事那里借来你需要的假设(当然,务必要感谢你的这种资料的来源和出处).在对有影响的

20、人物应有的尊敬的同时，比之于从零开始的做法更为现实的做法是在现有明显的基础上进行建模。所以你一定要准备好不客气地借鉴。但是这样做会有危险，即你太轻易地接受了出版物中结论的权威性的危险。因此C就是批判和分析你还必须准备好批判；准备好不仅批判你自己所作的假设也要批判从别处借鉴来的假设。谁来判定这些假设是对还是错呢？回答就是你来判定！建模是一种多次反复的过程。你从假设或借鉴开始；借助于数学的帮助你得到了结论；你批判分析这些结论；如果你对结论不满意，那么你就再次作假设或借鉴，再次得到结论并进行批判分析，如此重复执行这个过程直到你满意的结论(模型能够解释观察结果)为止。切莫忘记A, B, C, 假设，借

21、鉴，批判和分析”。Frederic Y. M. Wan(温耀明), Mathematical Models and Their Formulation(数学模型及其形成), Handbook of Applied Mathematics Selected Results and Methods(应用数学手册 精选的结果和方法), 2nd Edition, edited by Carl E. Pearson, Van Nostrand Reinhold, 1990, Chapter 19, pp. 1044 1139.他在该书p.1048的一段话对我们有很大的启发，即“不完全的模型仍然是有用的，

22、因为从这些模型中获得的信息往往提供了对实际现象某些方面的洞察。在某种程度上，在诸如社会和生物科学中没有面面俱到的模型，对复杂的社会和生物变化的过程的有效研究通常是从最简单但也是重要的数学模型开始的。包括具有附加作用和特征的更为精细的模型是在对比较简单的模型的透彻的了解之后形成并进行分析的。模型序列的选取通常是从各种基本的机理的相对重要性中得到启发的。可以利用的能够分析不同类型模型的数学方法也会对模型序列的选取有影响。对于先前未曾接触过或者很少探索过的领域的科学研究而言，科学发展的历史极大地表明了从简单到精细的方法的重要性。”*简明不列颠百科全书卷7, p. 547. Modelling 塑造艺

23、术，是一种采用塑性材料用手工塑造成型的雕塑。黏土和腊是常用的材料；造型时虽常用金属和木制小工具，但艺术家的手则是主要工具。埃及和近东发现的史前陶制小塑像说明塑造艺术是一种古老的雕塑形式。塑造和雕刻相反，它是一种添加性工艺。它不同于雕刻之处，在于在塑造过程中可以修正形象。但其成品如烧制的陶制品或腊制品却不如木石雕刻品耐久。塑造的艺术品也可以借助机械加工方法再制成石制品或用铸造方法再制成金属制品。因此数学建模 Mathematical modeling 也可以形象地翻译为“数学的塑造艺术”。 *简明不列颠百科全书卷7, pp. 366 367, 中国大百科全书出版社, 北京上海, 1986, 4.

24、数学模型 Mathematical Model 用来指明下述两种完全不同的数学表示的一般术语，就物理意义而言，数学模型包括：制作由纸板、木头、塑料或其他材料制成的平面和立体几何的图形；由铁丝、灰泥或张在框架上的线做成的二次曲线，各种空间曲线和空间曲面；以及高阶曲面的模型，给予物理实体以抽象的数学概念。这个术语的第二种用法是理论和分析意义下的模型，也许是更重要的一类模型。本质上说，在物理和生物世界中的任何现实情形，无论它是天然的或是与技术和人的干预有关的，只要它可以用定量的术语来描述，就能够通过建立模型使它服从解析的规律。例如最优化和控制可用来对工业问题、交通模式、河流中沉积物的输送和其他情形建

25、立模型；信息和通讯理论可以用来对信息传输、语音特征和其他类似的问题建立模型；而量纲分析和计算机模拟可以用来对大气环流模式、工程结构中的压力分布、地形的形成以及在科学和工程中许多其他过程来建立模型。*A. H. , Mathematical Model,Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 1995, Vol. 3, pp.784-785. 中译本：数学百科全书第三卷，科学出版社，1997，647-648. 数学模型对外部世界某类现象用数学符号体系表示的一种(近似的)描述。数学模型是认识外部世界与预测和控制的一个有力工

26、具。数学模型的分析能够深入了解被研究对象的本质。数学建模(Mathematical Modeling)的过程，即借助于数学模型对现象进行研究，能分成四个阶段。第一阶段是说明与模型的基本对象有关的规律。这个阶段需要对与现象有关的事实具有广泛的认识并深入了解其内部联系。这个阶段的完成在于用数学术语定性地描述该模型各对象之间的关系。第二阶段是研究数学模型所引出的数学问题。这里的问题是解正问题(direct problem)，即作为模型分析的结果得到的数据(理论上的结果)，然后再将它们与现象的观察结果相比较。在这个阶段，分析数学模型所必须的数学工具以及计算技术 为求解复杂的数学问题而得到定量输出信息的

27、有力手段 起着主要作用。基于各种不同数学模型而产生的数学问题往往是相同的(例如，线性规划(linear programming)的基本问题反映了性质是各不相同的情形)。这就为把这些典型的数学问题作为由现象中抽象出来的独立对象来考虑提供了依据。第三阶段是阐明所采用的(假设的)模型是否满足实践标准，即观测结果与此模型的理论推断在观测精度范围内是否相符合。如果该模型是完全确定的，它的所有参数已被给定，则确定理论推断与观测的偏差给出了正问题的带有偏差后验估计的解。如果偏差在观测的精度范围之外，则该模型不能被接受。通常，在构造模型时，某些特征尚未确定，有些问题中模型的特征(参数的、函数的)是确定的，因而

28、输出信息在观测精度范围内与现象的观测结果是可比的，这些问题称为反问题(inverse problem)。如果一个数学模型是这样的，即无论怎样选取特征均不能满足这些条件，则这个模型对该现象的研究是无用的。应用一个实践标准去评估数学模型使得人们在构成所研究(假设的)模型的基础的假设有效的条件下去引出结论。这是研究不能直接进入的宏观和微观世界的现象的仅有方法。第四阶段是与现象的观测数据相联系对模型的事后分析，以及更新模型。在科学技术发展过程中，现象的数据变得越来越精确，而根据一个已被公认的数学模型得到的输出不符合对现象的认识的时候已经来临。因此产生了构造新的、更精确的数学模型的必要性。用于解释数学模

29、型构造中这些特定阶段的一个典型的例子是太阳系模型。对天空星星的观察在很早的古代就已经开始。对这些观察的初步分析使得人们从整个错综复杂的天体中找出行星。这样，第一阶段是研究对象的选择。第二阶段是确定它们运动中的规则性(一般地,对象和它们的内部联系的确定是这个模型的出发点。“公理”)。太阳系模型在其发展过程中经历了一系列的改进。最早是Ptolemeus模型(公元前第二世纪)，其出发点是行星和太阳都围绕地球运动(以地球为中心的模型)，而由一些规则(公式)描述这种运动，随着观测的增加这些规则变得越来越复杂。航海的发展对天文学提出了观测精确性的新要求。N. Copernicus于1543年由假设行星围绕

30、处于中心位置的太阳旋转(日心系统)而对行星运动定律提出了根本性的新基础.这是一个太阳系的性质上的(而不是数学上的)新模型。然而该系统的参数(诸圆的半径和运动的角速度)不能测量到，由此造成的结果是这个理论的定量结论与观测不真正符合，所以，Copernicus不得不对行星按圆周(本轮)运动引进修正。太阳系模型发展中的下一阶段是J. Kepler(1571-1630)的研究工作，其中行星运动定律用公式表示出。Copernicus和Kepler的目标是给出每一个单独的行星的运动学上的描述而不涉及这些运动的原因。一个最重要的新阶段是I. Newton的研究工作，他于17世纪后半叶提出基于万有引力定律(见

31、Newton力学定律(Newton laws of mechanics)的太阳系动力学模型，该动力学模型与Kepler提出的运动学模型是一致的，因为Kepler的定律可由二体 “太阳行星”的动力学系统推出。在19世纪40年代，发觉其对象为可见行星的动力学模型所推出的结论与当时收集到的观测有矛盾；即观测到的天王星的运动偏离于理论上计算得出的运动。U. Le Verrier于1846年把一颗新假设的由他取名为海王星的行星扩充到已观测到的行星系中，而且用这个太阳系的新模型确定了这颗新行星的质量和运动规律，在新系统中天王星运动做的矛盾消除了。海王星在Le Verrier所说明的位置被发现了。由类似的方

32、法，利用海王星的偏差，于1930年发现了冥王星。建立数学模型的方法，把对外部世界各种现象或事件的研究化归为数学问题的数学建模的方法在各种研究方法，特别是与电子计算机的出现有关的研究方法中，占有主导地位。数学建模的方法能使人们在解决复杂的科学技术问题时设计出在最佳情势下可行的新的技术手段，并且能预测新的现象。数学模型已经显示出是一种重要的控制方法。它们被应用于多种多样的知识领域且已成为经济计划中的一个必要工具和自动控制系统中的一个重要因素(见自动控制理论(automatic control theory) 。数学建模是用数学来解决实际问题的桥梁现实世界的各种现象和实际问题往往是非常复杂的，因而要