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1、数量关系常用数学公式汇总系统版数量关系”常用数学公式汇总（系统版）一、（2、4、8）整除及余数判定基本法则一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除；一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除；一个是能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数被2（或5）除得的余数。一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数被4（或25）除得的余数。一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数被8（或125）除得的余数。二、（3、9）整除及余数判定基本法则一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和

2、能被3整除；一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除；一个数能被3除得的余除，就是其各位数字和被3除得的余数；一个数能被9除得的余数，就是其各位数字和被9除得的余数。三、整除与余数问题1、被除数除数=商余数（0余数除数）；2、余同取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期；余同：一个数除以4余1，除以5余1，除以6 余1，则取1，表示为60n+1；和同：一个数除以4余3，除以5余2，除以6 余1，则取7，表示为60n+7；差同：一个数除以4余1，除以5余2，除以6 余3，则取-3，表示为60n-3；四、奇偶特征1、二个奇数之和/差为偶数，二个偶数之和/差为偶数，一奇一偶之和/差为奇数；2、

3、两个数的和/差为奇数，则它们奇偶相反，两个数的和/差为偶数，则它们奇偶相同；3、两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数。五、基础代数公式1. 平方差公式：（ab）（a-b）a2-b22. 完全平方公式：（ab)2a22abb23. 完全立方公式：（ab)3=（ab）(a2ab+b2)4. 立方和差公式：a3+b3=(a b)(a2+ ab+b2)5. amanamnamanamn(am)n=amn(ab)n=anbn六、等差数列1. na1+ n(n-1)d；2. a1（n1）d；3. 项数n 1；4. 若a,b,c成等差数列，则：2ba+c；5. 若m+n=k+i

4、，则：；6. 前n个奇数：1，3，5，7，9，（2n-1）之和为（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差， 为等差数列前n项的和）七、等比数列1. ；2. （q 1）3. 若a,b,c成等比数列，则：b2ac；4. 若m+n=k+i，则：aman=akai；5. q(m-n)（其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比， 为等比数列前n项的和）八、不等式1.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)其中： （b2-4ac 0）根与系数的关系：x1+x2=- ，x1x2=2.（a、b ，当且仅当a=b时取等号）3.（a、b）4. (a、b、c ，当且仅当a

5、=b=c时取等号)5.一阶导为零法：连续可导函数，在其内部取得最大值或最小值时，其导数为零。6.两项分母列项公式： =( )三项分母裂项公式： = 九、基础几何公式1.勾股定理：a2+b2=c2(其中：a、b为直角边，c为斜边)常用勾股数直角边369121551078直角边4812162012242415斜边510152025132625172.面积公式：正方形 长方形 三角形 梯形圆形 R2平行四边形 扇形 R23.表面积：正方体6 长方体 圆柱体2r22rh球的表面积4 R24.体积公式正方体 长方体 圆柱体Shr2h圆锥 r2h球5.若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则它的侧面积：S侧r

6、；6.图形等比缩放型：一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，则：(1)所有对应角度不发生变化；(2)所有对应长度变为原来的m倍；(3)所有对应面积变为原来的m2倍；(4)所有对应体积变为原来的m3倍。7.几何最值型：(1)平面图形中，若周长一定，越接近与圆，面积越大。(2)平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。(3)立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大。(4)立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越大。十、工程问题1、核心思想：转化归一或最小公倍数2、基础公式：工作量工作效率工作时间；工作效率工作量工作时间；工作时间工作量工作效率；总工作量各分工作量之和；十一、几何边端问

7、题1、方阵问题：(1)实心方阵：方阵总人数（外圈人数4+1）2=N2最外层人数（最外层每边人数1）4(2)空心方阵：方阵总人数（最外层每边人数-层数）层数4无论是方阵还是长方阵：相邻两圈的人数都满足：外圈比内圈多8人。(3)实心长方阵：总人数=MN外圈人数=2M+2N-4(4)方阵：总人数=N2外圈人数=4N-4例：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？ 解：（103）3484（人）2、排队型：假设队伍有N人，A排在第M位；则其前面有（M-1）人，后面有（N-M）人3、爬楼型：从地面爬到第N层楼要爬（N-1）楼，从第N层爬到第M层要爬 层。十二、利润问题1、利润销售价（卖出价）

8、成本；利润率 1；销售价成本（1利润率）；成本 。2、利息本金利率时期；本金本利和（1+利率时期）。本利和本金利息本金（1+利率时期）= ；月利率=年利率12；月利率12=年利率。例：某人存款2400元，存期3年，月利率为102（即月利1分零2毫），三年到期后，本利和共是多少元？”2400（1+10236） =240013672 =328128（元）十三、排列组合1、解答排列、组合问题的思维模式有二：其一是看问题是有序的还是无序的？有序用“排列”，无序用“组合”；其二是看问题需要分类还是需要分步？分类用“加法”，分步用“乘法”。2、排列公式：P n（n1）（n2）（nm1），（mn）。组合公式

9、：C P P （规定 1）。3、相邻问题-捆绑法：先考虑相邻元素，然后将其视为一个整体；不邻问题-抽空法：先考虑剩余元素，然后将不邻元素抽入所成间隙之中。十四、概率问题1、概率=满足条件的情况数/总的情况数2、总体概率=满足条件的各种情况概率之和；3、分步概率=满足条件的每个步骤概率之积。4、某条件成立概率=1-该条件不成立的概率。十五、年龄问题1、年龄问题的三大规律：（1）两人的年龄差是不变的；（2）两人年龄的倍数关系是变化的量；（3）随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量；2、关键是年龄差不变；（1）几年后年龄大小年龄差倍数差小年龄（2）几年前年龄小年龄大小年龄差倍数差十六、边端问题1

10、、基本思想：牢记各类题型当中的“1关系”，是解答“边端问题”的关键。2、基础公式：（1）单边线形植树：棵数总长 间隔1；总长=（棵数-1）间隔（2）单边环形植树：棵数总长 间隔；总长= 棵数间隔（3）单边楼间植树：棵数总长 间隔1；总长=（棵数+1）间隔（4）双边植树：相应单边植树问题所需棵数的2倍。（5）剪绳问题：对折N次，从中剪M刀，则被剪成了（2NM1）段。十七、行程问题1、平均速度型：平均速度2、相遇追及型：相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）相遇时间追及问题：追击距离=（大速度小速度）追及时间背离问题：背离距离=（大速度+小速度）背离时间3、流水行船型：顺水速度船速水速；逆水速度船

11、速水速。顺流行程=顺流速度顺流时间=（船速+水速）顺流时间逆流行程=逆流速度逆流时间=（船速水速）逆流时间4、火车过桥型：列车在桥上的时间（桥长车长）列车速度列车从开始上桥到完全下桥所用的时间（桥长车长）列车速度列车速度=（桥长+车长）过桥时间5、环形运动型：反向运动：环形周长=（大速度+小速度）相遇时间同向运动：环形周长=（大速度小速度）相遇时间6、扶梯上下型：扶梯级数=(人速+扶梯速度)顺行运动所需时间=人走的级数+扶梯运行级数(顺行)扶梯级数=(人速-扶梯速度)逆行运动所需时间=人走的级数-扶梯运行级数(逆行)7、队伍行进型：对头 队尾：队伍长度=（u人+u队）时间 (人和队伍同向而行)

12、队尾 对头：队伍长度=（u人u队）时间（人和队伍反向而行）8、典型行程模型：等距离平均速度： （ 分别代表往、返速度）等发车前后过车核心公式：发车时间间隔： 无动力顺水漂流：漂流所需时间= （其中t顺和t逆分别代表船顺流所需时间和逆流所需时间）十八、钟表问题基本常识：钟面上按“分针”分为60小格，时针的转速是分针的 ，分针每小时可追及 。时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180o22次。钟表一圈分成12格，时针每小时转一格（300），分针每小时转12格（3600）时针一昼夜转两圈（7200），1小时转 圈（300）；分针一昼夜转24圈，1小时转1圈。钟面上每两格之间为300，时针与分针

13、成某个角度一般都有对称的两种情况。追及公式： ；T 为追及时间，T0为静态时间（假设时针不动，分针和时针达到条件要求的虚拟时间）。十九、容斥原理1、两集合标准型：满足条件I的个数+满足条件II的个数两者都满足的个数=总个数两者都不满足的个数。2、三集合标准型：|ABC|=|A|+|B|+|C|-|AB|-|BC|-|AC|+|ABC|3、三集和图标标数型：利用图形配合，标数解答(1)特别注意“满足条件”和“不满足条件”的区别(2)特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形(3)标数时，注意由中间向外标记4、三集合整体重复型：三集合整体重复型核心公式：A+B+C-x-2y=M-p。假如满足三个条件

14、的元素数量分别为A、B、C，总量为M，满足两个条件的总和为x，满足三个条件的个数为y，三者都不满足的条件为p，则有：ABC= A+B+C-x-2y=M-p。二十、牛吃草问题核心公式：y=(N-x)T原有草量（牛数每天长草量）天数，其中：一般设每天长草量为X。注意：如果草场面积有区别，如“M头牛吃W亩草时”，N用 代入，此时N代表单位面积上的牛数。二十一、弃九推断在整数范围内的、三种运算中，可以使用此法1、计算时，将计算过程中数字全部除以9，留其余数进行相同的计算。2、计算时如有数字不在0-8之间，通过加上或减去9或9的倍数达到0-8之间。3、将选项除以9留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。

15、备注：弃九法不用考虑数字当中的小数点，可以直接忽视。另外，两个数相乘，如果其中一个除以9余数是0，另外一个就不再需要计算了。二十二、乘方尾数口诀：“底数留个位，指数末两位除以4留余数（余数为0则看作4）”。二十三、除以“7”乘方余数核心口诀注：只对除数为7的求余数有效1、底数除以7留余数2、指数除以6留余数（余数为0则看作6）注：“尾数”即除以10之后的余数。二十四、指数增长如果有一个量，每个周期后变为原来的A倍，那么N个周期后就是最开始的AN倍，一个周期前应该是当时的 。二十五、溶液问题1、溶液=溶质+溶剂浓度=溶质溶液溶质=溶液浓度溶液=溶质浓度2、浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M

16、、N，交换质量L后浓度都变成c%，则3、混合稀释型溶液倒出比例为a的溶液，再加入相同的溶质，则浓度为溶液加入比例为a的溶剂，在倒出相同的溶液，则浓度为二十六、调和平均数1、调和平均数公式：2、等价钱平均价格核心公式： （P1、P2分别代表之前两种东西的价格）3、等溶质增减溶质核心公式： （其中r1、r2、r3分别代表连续变化的浓度）二十七、同余问题核心口诀：“余同取余、和同加和、差同减差、公倍数做周期”1、余同：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，表示为60n+1”2、和同：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取7，表示为60n+7”3、差同：“一个数除以4余1，

17、除以5余2，除以6余3”，则取-3，表示为60n-3”选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的60n）都满足条件。注意：n的取值范围为整数，即可以去负值，也可以取零值。二十八、星期日期问题平年与闰年判断方法年共有天数2月天数平年不能被4整除365天28天闰年可以被4整除366天29天星期推断：一年加1天；闰年再加1天。大月与小月包括月份月共有天数大月1、3、5、7、8、10、1231天小月2、4、6、9、1130天注意：星期每7天一循环；“隔N天”指的是“每（N+1)天”。二十九、循环周期问题核心提示：若一串事物以T为周期，且AT=Na，那么第A项等同于第a项。三十、典型数列前N

18、项和1、2、3、4、三十一、常用平方、立方及多次方数平方数底数1234567891011平方149162536496481100121底数1213141516171819202122平方144169196225256289324361400441484底数2324252627282930313233平方52957662567672978484190096110241089立方数底数1234567891011立方18276412521634351272910001331三十二、质数、合数1既不是质数也不是合数1、20以内的质数包括：2、3、5、7、11、13、17和19；20以内的合数包括：4、

19、6、8、9、10、12、14、15、16、18和20。2、典型形似质数分解91=713111=337119=717133=719117=913143=1133147=721153=713161=723171=919187=1117209=19111001=71113三十三、常用“非唯一”变换1、数字0的变换:2、数字1的变换：3、特殊数字变换：4、个位幂次数字：三十四、比赛问题N支队伍进行循环赛每支队伍需要和其他任意队伍进行一次比赛，所以每支队伍需要进行（N-1）场比赛，由于每场比赛都是2个队伍共同进行，所以总场应该为N(N-1)/2。三十五、乘船过河问题核心公式：M个人过河，船上能载N个人，

20、由于需要一人划船，故共需过河M-1/N-1次，（分子、分母分别减“1”是因为需要1个人划船，如果需要n个人划船就要同时减去n）。三十六、正四面体常用参数侧/底面高： 侧/底面面积： 底面内切圆半径：高： 体积： 截面ADP面积： 底面外接圆半径：三十七、页码问题1、三位数的页码是考试的重点，牢记如下换算公式：页码=数字/3+36；2、对多少页出现多少1或2的公式 如果是X千里找几，公式是 1000+X00 3 如果是X百里找几，就是100+X0 2，X有多少个0 就 多少。依次类推，请注意，要找的数一定要小于X，如果大于X就不要加1000或者100一类的了， 比如，7000页中有多少3 就是

21、1000+700 3=3100(个) 20000页中有多少6就是 2000 4=8000 (个) 提示：如3000页中有多少3，就是300 3+1=901，请不要把3000的3忘了三十八、图色公式 公式：(大正方形的边长的3次方)(大正方形的边长2)的3次方。三十九、抽屉原理最不利原则：考虑对于需要满足的条件“最不利、最倒霉”的情况，最后加1即可；四十、其他问题1、空瓶换酒型（N 即是每N瓶换1 瓶中的N，式子的结果只取整数部分）；2、分割求解型将一个整体图形分割为多个部分，利用整体与部分之间的关系来求解。3、青蛙跳井问题完成任务的次数=井深或绳长 - 每次滑下米数(遇到半米要将前面的单位转化成半米)例如：青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井?(6)单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠?(7)