二次微分方程的通解.docx

1、二次微分方程的通解第六节 二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使yerx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将yerx代入方程 y py qy0得 (r 2prq)erx 0 由此可见 只要r满足代数方程r

2、2prq0 函数yerx就是微分方程的解 特征方程 方程r2prq0叫做微分方程y py qy0的特征方程 特征方程的两个根r1、r2可用公式 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时 函数、是方程的两个线性无关的解 这是因为 函数、是方程的解 又不是常数 因此方程的通解为 (2)特征方程有两个相等的实根r1r2时 函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 是方程的解 又 所以也是方程的解 且不是常数 因此方程的通解为 (3)特征方程有一对共轭复根r1, 2 i时 函数ye(i)x、ye( i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解

3、函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y1 e(i)x和y2 e( i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得 y1 e(i)x e x(cos x isin x) y2 e( i)x e x(cos x isin x) y1 y2 2e xcos x y1 y2 2ie xsin x 故excosx、y2exsinx也是方程解 可以验证 y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解 因此方程的通解为 yex(C1cosxC2sinx ) 求二阶常系数齐次线性微分方程y py qy0的通解的步骤为 第一步 写出微分方程的特征方程 r2prq0第二步 求

4、出特征方程的两个根r1、r2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 例1 求微分方程y 2y 3y0的通解 解 所给微分方程的特征方程为 r22r30 即(r 1)(r 3) 0 其根r11 r23是两个不相等的实根 因此所求通解为 yC1exC2e3x 例2 求方程y 2y y0满足初始条件y|x04、y | x02的特解 解 所给方程的特征方程为 r22r10 即(r 1)2 0 其根r1r2 1是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为 y(C1C2x)ex 将条件y|x04代入通解 得C14 从而 y(4C2x)ex 将上式对x求导 得 y (C24C2x)ex

5、再把条件y |x02代入上式 得C22 于是所求特解为 x(42x)ex 例 3 求微分方程y 2y 5y 0的通解 解 所给方程的特征方程为 r22r50 特征方程的根为r11 2i r21 2i 是一对共轭复根 因此所求通解为 yex(C1cos2xC2sin2x) n 阶常系数齐次线性微分方程 方程 y(n) p1y(n1)p2 y(n2) pn1y pny0 称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2 pn1 pn都是常数 二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去 引入微分算子D 及微分算子的n次多项式 L(D)=Dn p

6、1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn 则n阶常系数齐次线性微分方程可记作 (Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn)y0或L(D)y 0 注 D叫做微分算子D0y y Dy y D2y y D3y y Dny y(n) 分析 令y erx 则 L(D)y L(D)erx (rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn)erxL(r)erx 因此如果r是多项式L(r)的根 则y erx是微分方程L(D)y 0的解 n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程 L(r) rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn 0称为微分方程L(D)y 0的特征方程 特征方程的根与通解中项的对应 单实根r 对应于一项

7、 Cerx 一对单复根r1 2 i 对应于两项 ex(C1cosxC2sinx) k重实根r对应于k项 erx(C1C2x Ck xk1) 一对k 重复根r1 2 i 对应于2k项 ex(C1C2x Ck xk1)cosx( D1D2x Dk xk1)sinx 例4 求方程y(4)2y 5y 0 的通解 解 这里的特征方程为 r42r35r20 即r2(r22r5)0 它的根是r1r20和r3 41 2i 因此所给微分方程的通解为 yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x) 例5 求方程y(4) 4y0的通解 其中 0 解 这里的特征方程为 r4 40 它的根为 因此所给微分方程的通解为

8、 二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介 二阶常系数非齐次线性微分方程 方程 y py qyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和 yY(x) y*(x) 当f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法 一、 f(x)Pm(x)ex 型 当f(x)Pm(x)ex时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为y*Q(x)ex 将其代入方程 得等式 Q (x)(2p)Q (x)(2pq)Q(x)Pm(x) (1)如果不是特征方程r2prq0 的根 则2pq 0

9、 要使上式成立 Q(x)应设为m 次多项式 Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解 y*Qm(x)ex (2)如果是特征方程 r2prq0 的单根 则2pq0 但2p 0 要使等式 Q (x)(2p)Q (x)(2pq)Q(x)Pm(x) 成立 Q(x)应设为m1 次多项式 Q(x)xQm(x) Qm(x)b0xm b1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解 y*xQm(x)ex (3)如果是特征方程 r2prq0的二重根 则2pq0 2p0 要使等式 Q (x)(2p)Q (

10、x)(2pq)Q(x)Pm(x) 成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x) Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm 通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解 y*x2Qm(x)ex 综上所述 我们有如下结论 如果f(x)Pm(x)ex 则二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f(x)有形如 y*xk Qm(x)ex的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2 例1 求微分方程y 2y 3y3x1的一个特解 解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数f(x)是

11、Pm(x)ex型(其中Pm(x)3x1 0) 与所给方程对应的齐次方程为 y 2y 3y0 它的特征方程为 r22r30 由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为 y*b0xb1 把它代入所给方程 得 3b0x2b03b13x1 比较两端x同次幂的系数 得 3b03 2b03b11 由此求得b01 于是求得所给方程的一个特解为 例2 求微分方程y 5y 6yxe2x的通解 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)x 2) 与所给方程对应的齐次方程为 y 5y 6y0 它的特征方程为 r25r 60 特征方程有两个实根r12 r23 于是所给方程

12、对应的齐次方程的通解为 YC1e2xC2e3x 由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为 y*x(b0xb1)e2x 把它代入所给方程 得 2b0x2b0b1x 比较两端x同次幂的系数 得 2b01 2b0b10 由此求得 b11 于是求得所给方程的一个特解为 从而所给方程的通解为 提示 y*x(b0xb1)e2x (b0x2b1x)e2x (b0x2b1x)e2x (2b0xb1) (b0x2b1x)2e2x (b0x2b1x)e2x 2b0 2(2b0x b1)2 (b0x2b1x)22e2x y* 5y* 6y* (b0x2b1x)e2x 5(b0x2b1x)e2x 6(b0x2b1

13、x)e2x 2b0 2(2b0x b1)2 (b0x2b1x)22e2x 5(2b0xb1) (b0x2b1x)2e2x 6(b0x2b1x)e2x 2b0 4(2b0x b1) 5(2b0xb1)e2x 2b0x2b0 b1e2x 方程y py qyexPl (x)cosxPn(x)sinx的特解形式 应用欧拉公式可得 exPl(x)cosxPn(x)sinx 其中 而mmaxl n 设方程y py qyP(x)e(i)x的特解为y1*xkQm(x)e(i)x 则必是方程的特解 其中k按 i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1 于是方程y py qyexPl(x)cosxPn(x)s

14、inx的特解为 xk exR(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx 综上所述 我们有如下结论 如果f(x)ex Pl(x)cosxPn(x)sinx 则二阶常系数非齐次线性微分方程 y py qyf(x)的特解可设为 y*xk exR(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmaxl n 而k 按i (或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1 例3 求微分方程y yxcos2x的一个特解 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)属于exPl(x)cosxPn(x)sinx型(其中0 2 Pl(x)x

15、Pn(x)0） 与所给方程对应的齐次方程为 y y0 它的特征方程为 r210 由于这里i2i 不是特征方程的根 所以应设特解为 y*(axb)cos2x(cxd )sin2x 把它代入所给方程 得 (3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xxcos2x 比较两端同类项的系数 得 b0 c0 于是求得一个特解为 提示 y*(axb)cos2x(cxd)sin2xy* acos2x 2(axb)sin2xcsin2x2(cxd)cos2x (2cxa 2d)cos2x( 2ax 2b c)sin2x y* 2ccos2x 2(2cxa 2d)sin2x 2asin2x2( 2ax 2b c)cos2x ( 4ax 4b 4c)cos2x ( 4cx 4a 4d)sin2x y* y* ( 3ax 3b 4c)cos2x ( 3cx 4a 3d)sin2x 由 得 b0 c0