MATLAB中的矩阵与向量运算.docx

1、MATLAB中的矩阵与向量运算4.1 数组运算和矩阵运算从外不雅外形和数据构造来看,二维数组和数学中的矩阵没有差别.但是,矩阵作为一种变换或映射算符的表现,矩阵运算有着明白而严厉的数学规矩.而数组运算是MATLAB软件所界说的规矩,其目标是为了数据治理方面,操纵简略,指令情势天然和履行盘算有用.所以,在应用MATLAB时,特别要明白搞清数组运算和矩阵运算的差别.表4.1.1列出了两种运算指令情势的本质内在的异同.4.1.1 数组运算和矩阵运算指令情势和本质内在数组运算矩阵运算指令寄义指令寄义A.非共轭转置A共轭转置A=s把标量s赋给数组A的每个元素s+B把标量s分离与数组B的每个元素相加sB,

2、 Bs标量s分离与数组B的元素之差s.*A标量s分离与数组A的元素之积s*A标量s分离与矩阵A的元素之积s./B, B.s标量s分离被数组B的元素除s*inv(B)矩阵B的逆乘标量sA.n数组A的每个元素的n次方AnA为方阵时,矩阵A的n次方A+B数组对应元素的相加A+B矩阵相加AB数组对应元素的相减AB矩阵相减A.*B数组对应元素的相乘A*B内维雷同矩阵的乘积A./BA的元素被B的对应元素除A/BA右除BB.A必定与上雷同BAA左除B(一般与右除不合)exp(A)以e为底,分离以A的元素为指数,求幂expm(A)A的矩阵指数函数log(A)对A的各元素求对数logm(A)A的矩阵对数函数sq

3、rt(A)对A的积各元素求平方根sqrtm(A)A的矩阵平方函数从上面可以看到,数组运算的运算如:乘,除,乘方,转置,要加点.所以,我们要特别留意在求乘,除,乘方,三角和指数函数时,两种运算有着根本的差别.别的,在履行数组与数组运算时,介入运算的数组必须同维,运算所得的成果数组也是总与原数组同维.4.2 数组的根本运算在MATLAB中,数组运算是针对多个数履行同样的盘算而应用的.MATLAB以一种异常直不雅的方法来处理数组.4.2.1 点转置和共轭转置. 点转置.非共轭转置,相当于conj(A). a=1:5; b=a. b =12345 c=b. c =1 2 3 4 5这标明对行向量的两次

4、转置运算便得到本来的行向量. 共轭转置.对向量进行转置运算并对每个元素取其共轭.如: d=a+i*ad =Columns 1 through 31.0000 + 1.0000i 2.0000 + 2.0000i 3.0000 + 3.0000iColumns 4 through 54.0000 + 4.0000i 5.0000 + 5.0000i e=de =1.0000 1.0000i2.0000 2.0000i3.0000 3.0000i4.0000 4.0000i5.0000 5.0000i4.2.2 纯量 (标量) 和数组的四则运算纯量和数组之间可以进行简略数学运算.如:加,减,乘,除

5、及其混杂运行. g=1 2 3 45 6 7 89 10 11 12 g=g2g =1 0 1 23 4 5 67 8 9 10 2*g1ans =3 1 1 35 7 9 1113 15 17 194.2.3 数组间的四则运算在MATLAB中,数组间进行四则运算时,介入运算的数组必须具有雷同的维数,加,减,乘,除运算是按元素与元素的方法进行的.个中,数组间的加,减运算与矩阵的加,减运算要同,运算符为:+,.但是,数组间的乘,除运算与矩阵间的乘,除运算完整不合,运算符号也有不同,数组间的乘,除运算符为:.*,./或.1. 数组按元素相加,减 g=1 2 3 45 6 7 89 10 11 12

6、 h=1 1 1 1; 2 2 2 2; 3 3 3 3 g+h % 按元素相加ans =2 3 4 57 8 9 1012 13 14 15 ansh % 按元素相减ans =1 2 3 45 6 7 89 10 11 12 2*gh % 混杂运算ans =1 3 5 78 10 12 1415 17 19 212. 按元素乘 g.*hans =1 2 3 410 12 14 1627 30 33 363. 按元素除数组间的除法运算符有两个,即左除:./和右除:.,它们之间的关系是:a./b=b.a g./hans =1.0000 2.0000 3.0000 4.00002.5000 3.0

7、000 4.1000 4.00003.0000 3.3333 3.6667 4.0000 h.gans =1.0000 2.0000 3.0000 4.00002.5000 3.0000 4.1000 4.00003.0000 3.3333 3.6667 4.00004.2.4 幂运算在MATLAB中,数组的幂运算的运算为:.,暗示每一个元素进行幂运算. g.2 % 数组g每个元素的平方ans =1 4 9 1625 36 49 6481 100 121 144 g.(1) % 数组g的每个元素的倒数ans =1.0000 0.5000 0.3333 0.25000.2000 0.1667 0

8、.1429 0.12500.1111 0.1000 0.0909 0.0833 2.g % 以g的每个元素为指数对2进行乘方运算ans =2 4 8 1632 64 128 256512 1024 2048 4096 g.h % 以h的每个元素为指数对g中响应元素进行乘方运算ans =1 2 3 425 36 49 64729 1000 1331 1728 g.(h1)ans =1 1 1 15 6 7 881 100 121 1444.2.5 数组的指数,对数和开方运算在MATLAB中,所谓数组的运算本质是是数组内部每个元素的运算,是以,数组的指数,对数和开方运算与标量的运算规矩完满是一样的

9、,运算符函数分离为:exp( ),log( ),sqrt( )等. a=1 3 4;2 6 5;3 2 4; c=exp(a)c =2.7183 20.0855 54.59827.3891 403.4288 148.413220.0855 7.3891 54.5982数组的对数,开方运算与数组的指数运算,其方法完整一样,这里不胪陈.4.3 向量运算对于一行或一列的矩阵,为向量,MATLAB有专门的函数来进行向量点积,叉积和混杂积的运算.4.3.1 向量的点积运算在高级数学中,我们知道,两向量的点积指两个向量在个中一个向量偏向上的投影的乘积,通经常应用来界说向量的长度.在MATLAB中,向量的点

10、积用函数dot来实现,其挪用格局如下:C=dot(A,B) 返回向量A与B的点积,成果存放于C中.C=dot(A,B, DIM) 返回向量A与B在维数为DIM的点积,成果存放于C中. A=2 4 5 3 1; B=3 8 10 12 13; C=dot(A,B)C =137 C=dot(A,B,4)C =6 32 50 36 134.3.2 向量的叉积运算在高级数学中,我们知道,两向量的叉积返回的是与两个向量构成的平面垂直的向量.在MATLAB中,向量的点积用函数cross来实现,其挪用格局如下:C=cross(A,B) 返回向量A与B的叉积,即:,成果存放于C中.C=cross(A,B, D

11、IM) 返回向量A与B在维数为DIM的叉积,成果存放于C中. A=2 4 5; B=3 8 10; C=cross(A,B)C =0 5 44.3.3 向量的混杂运算 D=dot(A, cross(B,C)D =41上例标明,起首进行的是向量B与C的叉积运算,然后再把叉积运算的成果与向量A进行点积运算.4.4 矩阵的根本运算假如说MATLAB的最大特色是壮大的矩阵运算功效,此话毫不为过.事实上,MATLAB中所有的盘算都是以矩阵为根本单元进行的.MATLAB对矩阵的运算功效最周全,也是最为壮大的.矩阵在情势上与构造方面是等同于前面所述的数组的,当其数学意义倒是完整不合的.矩阵的根本运算包含矩阵

12、的四则运算,矩阵与标时的运算,矩阵的幂运算,指数运算,对数运算,开方运算及以矩阵的逆运算,行列式运算等.4.4.1 矩阵的四则运算矩阵的四则运算与前面介绍的数组的四则运算基底细同.但也有一些不同.1. 矩阵的加减矩阵的加,减与数组的加,减是完整雷同的,运算时请求两矩阵的大小完整雷同. a=1 2; 3 5; 2 6; b=2 4; 1 8; 9 0; c=a+bc =3 64 1311 62. 矩阵的相乘对于矩阵的乘法,从线性代数中,我们知道,请求进行相乘的两矩阵有雷同的公共维.如: a=1 2; 3 5; 2 6; b=2 4 1; 8 9 0; c=a*bc =18 22 146 57 3

13、52 62 2设A矩阵为一个阶的矩阵,则请求与之相乘的B矩阵必须是一个阶,得到矩阵是阶的.即,只有当第一个矩阵 (左矩阵) 的列数等于第二个矩阵 (右矩阵) 的行数时,两个矩阵的乘积才有意义.3. 矩阵的除法对于矩阵的除法有两个运算符号,分离为左除符号和右除符号/.矩阵的右除运算速度要慢一点,而左除运算可以防止奇怪矩阵的影响.对于方程,若此方程为超定的方程,则应用除法可以主动找到使的平方最小化的解.若此方程为不定方程,则应用除法运算符至少求得的解至多有rank(A) (矩阵A的秩)个非零元素,并且求得的解是这种类型的解中范数最小的一个. a=21 34 20; 5 78 20; 21 14 1

14、7; 34 31 38; b=10 20 30 40; x=bax =0.7667 1.1867 0.8767上面方程是超定方程.要留意的:成果矩阵x是列向量情势.假如, a=21 34 20 5; 78 20 21 14; 17 34 31 38; b=10 20 30; x=bax =1.6286 1.2571 1.1071 1.0500上面的方程为不定方程.4. 矩阵与标量间的四则运算矩阵与标量的四则运算和数组与标量间的四则运算完整雷同,即矩阵中的每个元素与标量进行加,减,乘,除四则运算.须要解释的是,当进行除法运算时,标量只能做除数.5. 矩阵的幂运算矩阵的幂运算与标量的幂运算不合.用

15、符号,它不是对矩阵的每个元素进行幂运算,而是与矩阵的某种分化有关. b=21 34 20; 78 20 21; 17 34 31; c=b2c =3433 2074 17543555 3766 26313536 2312 6. 矩阵的指数,对数运算与开方运算矩阵的指数运算,对数运算与开方运算与数组响应的运算是不合的.它其实不是对矩阵中的单个元素的运算,而是对全部矩阵的运算.这些运算函数如下:expm, expm1, expm2, expm3 指数运算函数;logm 对数运算函数;sqrtm 开方运算函数. a=1 3 4; 2 6 5; 3 2 4; c=expm(a)c =1.0e+004

16、*0.4668 0.7694 0.92000.7919 1.3065 1.56130.4807 0.7919 0.9475 c=logm(a)c =0.5002 + 2.4406i 0.5960 0.6800i 0.7881 1.2493i0.4148 + 0.4498i 1.4660 0.1253i 1.0108 0.2302i0.5780 1.6143i 0.4148 + 0.4498i 1.0783 + 0.8263i c=sqrtm(a)c =0.6190 + 0.8121i 0.8128 0.2263i 1.1623 0.4157i0.3347 + 0.1497i 2.3022 0.

17、0417i 1.1475 0.0766i1.0271 0.5372i 0.3347 + 0.1497i 1.6461 + 0.2750i7. 矩阵的转置,逆运算与行列式运算矩阵的转置的运算符为.求逆用运算函数:inv( ).而用函数:det( )则可求的矩阵行列式的大小. a=1 2 0; 2 5 1; 4 10 1; c=ac =1 2 42 5 100 1 1 b=inv(a)b =5 2 22 1 10 2 1 d=det(a)d =14.5 矩阵的特别运算矩阵的特别运算包含矩阵特点值运算,前提数运算,奇怪值运算,范数运算,秩运算,正交化运算,迹运算,伪逆运算等,这些运算,MATLAB都

18、可以异常便利地给出.4.5.1 矩阵的特点值运算在线性代数中,盘算矩阵的特点值进程相当庞杂.而在MATLAB中,矩阵特点值运算只需用函数eig( )或eigs( )盘算即可得到.其应用格局如下.E=eig(X) 生成由矩阵X的特点值所构成的一个列向量;V,D=eig(X) 生成两个矩阵V和D,个中V是以矩阵X的特点向量作为列向量构成的矩阵,D是由矩阵X的特点值作为主对角线元素构成的对角矩阵.eigs( )函数应用迭代法求解矩阵的特点值和特点向量.D=eigs(X) 生成由矩阵X的特点值所构成的一个列向量.X必定是方阵,最好是大型稀少矩阵;V,D=eigs(X) 生成两个矩阵V和D,个中V是以矩

19、阵X的特点向量作为列向量构成的矩阵,D是由矩阵X的特点值作为主对角线元素构成的对角矩阵. a=1 2 0; 2 5 1; 4 10 1;b,c=eig(a)b =0.2440 0.9107 0.44720.3333 0.3333 0.00000.9107 0.2440 0.8944c =3.7321 0 00 0.2679 00 0 1.00004.5.2 矩阵 (向量) 的范数运算为了反应了矩阵 (向量) 某些特点,线性代数中引入了范数的概念,它分为2范数,1范数,无限范数和Frobenius范数等.在MATLAB中,用函数norm( )或normest( ) 盘算矩阵 (向量) 的范数.其

20、应用格局如下.norm(X) 盘算矩阵 (向量) X的2范数;norm(X,2) 同上;norm(X,1) 盘算矩阵 (向量) X的1范数;norm(X,inf) 盘算矩阵 (向量) X的无限范数;norm(X,fro) 盘算矩阵 (向量) X的Frobenius范数;normest(X) 只盘算矩阵 (向量) X的2范数;并且是2范数的估量值,实用于盘算norm(X)比较费时的情形. X=hilb(4)X =1.0000 0.5000 0.3333 0.25000.5000 0.3333 0.2500 0.20000.3333 0.2500 0.2000 0.16670.2500 0.200

21、0 0.1667 0.1429 norm(4)ans =4 norm(X)ans =1.5002 norm(X,2)ans =1.5002 norm(X,1)ans =2.0833 norm(X,inf)ans =2.0833 norm(X,fro)ans =1.5097 normest(X)ans =1.50024.5.3 矩阵的前提数运算矩阵的前提数是断定矩阵病态程度的一个量值,矩阵A的前提数越大,标明A越病态,反之,标明A越良态.如Hilbert矩阵就是一个著名的病态矩阵.cond(X) 返回矩阵X的2范数的前提数;cond(X, P) 返回矩阵X的P范数的前提数,个中P为1,2,inf

22、或fro;rcond(X) 用于盘算矩阵前提数的倒数值,当矩阵X为病态时,rcond(X)就接近0,X为良态时,rcond(X)就接近1.condest(X) 盘算关于矩阵X的1范数的前提数的估量值. M=magic(3)M =8 1 63 5 74 9 2 H=hilb(4)H =1.0000 0.5000 0.3333 0.25000.5000 0.3333 0.2500 0.20000.3333 0.2500 0.2000 0.16670.2500 0.2000 0.1667 0.1429 c1=cond(M)c1 =4.3301 c2=cond(M)c2 =4.3301 c3=rcon

23、d(M)c3 =0.1875 c4=condest(M)c4 =5.3333 h1=cond(H)h1 =1.5514e+004 h2=cond(H,inf)h2 =2.8375e+004 h3=rcond(H)h3 =3.5242e005 h4=condest(H)h4 =2.8375e+004从上盘算可以看出,魔方矩阵比较良态,而Hilbert矩阵是病态的.4.5.4 矩阵的秩秩是线性代数中的相当主要的概念之一,平日矩阵可以经由初等行列式或列变换,将其转化为行阶梯形矩阵,而行阶梯矩阵所包含非零行的行数是一个定的,这个肯定的非零行的行数就是矩阵的秩.矩阵中的秩用函数rank( )来盘算. T

24、=rand(6)T =0.9501 0.4565 0.9218 0.4103 0.1389 0.01530.2311 0.0185 0.7382 0.8936 0.2028 0.74680.6068 0.8214 0.1763 0.0579 0.1987 0.44510.4860 0.4447 0.4057 0.3529 0.6038 0.93180.8913 0.6154 0.9355 0.8132 0.2722 0.46600.7621 0.7919 0.9169 0.0099 0.1988 0.4186 r=rank(T)r =6由上盘算可知,矩阵T为满秩矩阵. T1=1 1 1; 2 2 3T1 =1 1 12 2 3 r=rank(T1)r =2由上盘算可知,矩阵T1为行满秩矩阵.