函数极限与连续.docx

1、函数极限与连续函数极限与连续 第1章 函数、极限与连续 1.1 函数的概念 1.1.1 函数的定义 定义1.1 D 是非空实数集，如果对于D 中的每一个x ，按照某种对应法则f ，都有唯一确定的实数y 与之对应，则称变量y 是变量x 的函数. 记作y =f (x ), x D . 其中D 称为函数的定义域 ，x 称为自变量， y 称为因变量. 根据定义，函数的定义域和对应法则是构成函数的两个要素. 也就是说，两函数相同的充分必要条件是定义域和对应法则分别相同. 如w = 与y . 用y =f (x ) 这样表示两个变量y 与x 之间的对应关系的函数，称为显函数，例如f (x ) =x 2-x

2、+1等；有些函数是用F (x , y ) =0的形式表达，如方程y -2sin y =x 表示一个函数，这种称为隐函数。 1.1.2 函数的几种特性 1. 单调性 如果函数y =f (x ) 对于区间I 内的任意两点x 1, x 2，当x 1 I 上单调增加，I 叫做单调增区间；当x 1f (x 2) ，则称此函数在I 上单调减少，I 叫 做单调减区间. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数，单调增区间和单调减区间统称为单调区间. 在单调增区间内，函数图形随x 的增大而上升；在单调减区间内，函数图形随x 的增大而下降。可用导数的正负号来判断函数单调性。 2. 奇偶性 设D 关于原点对称，若对

3、于任意x D ，都有f (-x ) =f (x ) ，则称f (x ) 为偶函数；若 f (-x ) =-f (x ) ，则称f (x ) 为奇函数. 奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y 轴对称. 判断奇 偶性时首先要研究函数的定义域是否关于原点对称，其次还要满足偶函数或奇函数的定义. 3. 周期性 若存在不为零的数T ，使得对于任意x D ，都有f (x +T ) =f (x ) ，则称f (x ) 为周期函数，并称T 为f (x ) 的周期. 通常所说的周期是指它的最小正周期. 4. 有界性 设函数y =f (x ) 在区间I 上有定义，如果存在一个正数M ，使得对于任意x I

4、，都有f (x ) M ，则称f (x ) 在I 上有界，也称f (x ) 为I 上的有界函数. 否则称f (x ) 在I 上无界，也称f (x ) 为I 上的无界函数. 注意，有界性是依赖于区间的. 例如，函数y = 1 在区间(0,1)内无界，但在区间(1,2) 内有界. x 如果存在一个数M 1，使得对于任意x I ，都有f (x ) M 1，则称f (x ) 在I 上有上界，M 1称为f (x ) 的一个上界，这样的M 1如果存在则有无穷多个，即如果f (x ) 存在上界其上界有无穷多个；如果存在一个数M 2，使得对于任意x I ，都有f (x ) M 2，则称f (x ) 在I 上有

5、下界，M 2称为f (x ) 的一个下界，同样如果f (x ) 存在下界其下界也有无穷多个。函数f (x ) 在I 上有界等价于既有上界又有下界。 从图像上看，当x I 时所谓有界就是说，有这么两条直线y =M 和y =-M 把y =f (x ) 夹在这两条直线之间；当x I 时有上界就是说有这么一条直线y =M 1，使得y =f (x ) 在这条直线下方；当x I 时有下界就是说有这么一条直线y =M 2，使得y =f (x ) 在这条直线上方。 图1.1 1.1.3 反函数 设有函数y =f (x ), x D ，值域为M . 若对M 中任一个值y ，都可由关系式y =f (x ) 确定唯

6、一的一个x 值，这样便确定了一个定义在M 上以y 为自变量、x 为因变量的新函数，这个函数叫做函数 y =f (x ) 的反函数. 记作x =f -1(y ), y M 。从反函数的定义可知，函数的定义域是其反函数的值域， 而其值域则是反函数的定义域. 从几何图形上看，函数y =f (x ) 的图象与x =f 习惯上，y =f (x ), x D 的反函数写作y =f -1 -1 (y ) 的图像是一样的。 (x ), x M ，他们的图像关于y =x 对称。 1.2 初等函数 1.2.1 基本初等函数 研究的各种函数，特别是一些常见的函数都是有几种最简单的函数构成的，这些就是基本初等函数.

7、表1.1 基本初等函数 需要注意的是，绝对值运算不属于基本初等函数；反三角函数只是三角函数在某一区间上的一部分的反函数。 1.2.2 复合函数 定义1.2 设函数y =f (u ) 的定义域为D 1，函数u =(x ) 的值域为D 2，其中D 2D 1，则变量y 通过u 成为x 的函数，称为由函数y =f (u ) 和函数u =(x ) 构成的复合函数，记为y =f (x ) ，其中u 为中间变量. 复合函数不仅可以有一个中间变量，还可以有多个中间变量，这些中间变量是经过多次复合产生的. 1.2.3 初等函数与分段函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合所构成的并可用一个式子表示

8、的函数，称为初 -1 等函数. 除了初等函数外，其余的函数通常用分段的形式表示，称为分段函数，如f (x ) =0 1 是一个分段函数，y =x 也是分段函数而非初等函数。 x 0 1.3 极限 1.3.1 数列极限 一系列数构成一个数列，数列中的每一个数，称为数列的项. 其中第n 项a n 被称为数列的通项. 数列简记为a n ，有的数列可能会有一定的趋势。 定义1.3 如果当项数n 时，数列a n 的通项a n 无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 为数列a n 的极限，也称数列a n 收敛于A ，否则，称数列a n 发散。 记作 lim a n =A 或a n A (n ) n 请注

9、意： （1）数列极限中n 是指n +，不要考虑n -时的情形； （2）数列极限只能是常数，如数列1, 2, , n , 趋向于无穷大，可以记作lim a n =+，但该数列没 n 有极限； （3）数列极限要么没有，有的话只有一个。如数列-1, 1, -1, 1, , (-1), 不能说他有两个极限，而 n 是没有极限； n （4）数列极限只和n +时的趋势有关，和前面有限多项无关，如a n =1 n 数列极限只和n 10000时的趋势有关，其极限为0 一个数列根据其变化趋势，可以分为三类： （1）数列有极限，如a n = n ，该 1 ； n （2）数列没有极限但有趋势，如a n =n ； （

10、3）数列没有极限也没有趋势，则该数列是“摆动”的或是“振荡”的，如a n =(-1)，a n =sin n n 等； 1.3.2 函数极限 函数极限是在讨论当自变量x 出现某个趋势的时候，因变量会出现怎样的变化，函数极限通常包含54种情况。 1. x +时的极限 当x +时，如果f (x ) 的值无限地接近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函数f (x ) 当x +时的极限，记作 x + lim f (x ) =A 或 f (x ) A (x +) 例如lim arctan x = x + 2 2. x -时的极限 当x -时，函数f (x ) 的值无限地接近于一个确定的常数A ，则称常数A

11、 为函数f (x ) 当x -时的极限，记作 lim f (x ) =A 或 f (x ) A (n -) x - 例如lim arctan x =- x - 2 3. x 时的极限 如果x +时的极限和x -时的极限相等，则可记作x 时的极限。例如lim 4. x x 0时的极限 1 =0 x x x 2-1 对于函数f (x ) =，可以看出当x 1时对应的函数值无限地接近于常数2，我们称常数2为函 x -1x 2-1 数f (x ) =当x 1时的极限. x -1 定义1.4 设函数f (x ) 在点x 0附近(x 0点可除外) 有定义，当x x 0时, 函数f (x ) 的值无限接近于

12、一个确定的常数A ，则称常数A 为函数f (x ) 当x x 0时的极限，记作 x x 0 lim f (x ) =A 或 f (x ) A (x x 0) 可以看出，函数f (x ) 在x x 0时的极限，与f (x ) 在x =x 0处是否有定义无关. 图1.2 5. 单侧极限 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同(如分段函数在其定义域的分段点上) ，或函数在某些点仅在其一侧有定义，这时函数在那些点上的极限只能单侧地给出定义. 定义1.5 设函数f (x ) 在点x 0的右(左) 侧某个区间内有定义. 如果存在常数A ，当x 从x 0的右(左) +- 边趋近于x 0时，即x x

13、 0(x x 0) 时，函数f (x ) 的值无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 为函 数f (x ) 当x x 0时的右(左) 极限，记作 + x x 0 lim f (x ) =A (lim f (x ) =A ) - x x 0 或 f (x 0+0) =A (f (x 0-0) =A ) f (x ) =lim f (x ) =A . 定理1.1 lim f (x ) =A 的充要条件是lim -+ x x 0 x x 0x x 0 例如函数 x +2, x 0 f (x ) = x -2, x f (x ) =lim (x -2) =-2， 作出函数图像可以看出，lim - x

14、 0 x 0 x 0+ lim f (x ) =lim (x +2) =2，显然lim f (x ) lim f (x ) ，因此当x 0时函数极限不存在. +-+ x 0 x 0 x 0 图1.3 思考：数列极限的概念需要注意一些问题，函数极限的概念呢？ 1.4 无穷小量与无穷大量 1.4.1 无穷小量 若函数f (x ) 当x x 0(或x ) 时的极限为0，那么称函数f (x ) 为x x 0(或x ) 时的无穷小量；若函数g (x ) 在x 0的某空心邻域U (x 0) 内有界，则称g (x ) 为当x x 0时的有界量，否则称为无界量。 例如，函数x -1是当x 1时的无穷小量；函数

15、x (k 为正整数) ，ln(1+ax ) ，sin ax ，tan ax 和 a 1-cos ax (a 为常数) 都是当x 0时的无穷小量；函数x (a k 1 x 当x 0时是有界量. 下面给出无穷小量的性质： （1）有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量；无限个无穷小量的和、差、积则不确定。 （2）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 例如，lim x sin x 0 1 =0. x 注意，要求在用上面两个性质时，是自变量在同一个变化趋势下的无穷小量和有界量的运算。 1.4.2 无穷大量 若函数f (x ) 在当x x 0(或x ) 时，f (x ) 无限增大，就称函数f (x ) 为x

16、 x 0(或x ) 时的无穷大量. 下面给出无穷大量的性质： （1）有限个无穷大量的积是无穷大量. （2）无穷大量与有界量的和是无穷大量. 思考：无界量是否就是无穷大量？当x 时x sin x 是无界量还是无穷大量？ 1.4.3 无穷大与无穷小的关系 在自变量的同一变化过程中，如果f (x ) 为无穷小量，且f (x ) 0，则 1 为无穷大量；反之，如f (x ) 果f (x ) 为无穷大量，则 1 必为无穷小量. 无穷大量与无穷小量的乘积结果不确定。 f (x ) 1.4.4 无穷小量的比较 无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度不同. 为此，我们考察两个无穷小量的比，

17、以便对它们的收敛速度做出判断. 设当x x 0时，f (x ) 与g (x ) 均为无穷小量. （1）若lim x x 0 f (x ) =0，则称当x x 0时，f (x ) 是比g (x ) 高阶的无穷小量， g (x ) 2 或称g (x ) 是比f (x ) 低阶的无穷小量，记为f (x ) o (g (x ) ). 例如，当x 0时，x 和x 等都 x 222 =lim x =0，是无穷小量，而lim 所以，称当x 0时，x 是比x 高阶的无穷小量; x 是比x x 0x x 0 低阶的无穷小量. （2）若lim x x 0 f (x ) =c 0，则称当x x 0时f (x ) 是

18、与g (x ) 同阶的无穷小量. 特别当c =1时，即g (x ) x x 0 lim f (x ) =1，则称当x x 0时，f (x ) 是与g (x ) 等价的无穷小量. 记作 g (x ) f (x ) g (x ) (x x 0) . 1.5 极限的运算 1.5.1 极限运算法则 若极限lim f (x ) 与lim g (x ) 都存在，则函数f (x ) g (x ) ，f (x ) g (x ) ，当x x 0时极限也存在， x x 0 x x 0 且 （1）limf (x ) g (x )=lim f (x ) lim g (x ) x x 0 x x 0 x x 0 （2）

19、limf (x ) g (x )=lim f (x ) lim g (x ) x x 0 x x 0 x x 0 特别地， 当g (x ) =c (常数) 时，则有lim cf (x ) =c lim f (x ) x x 0 x x 0 当f (x ) =g (x ) 时，有limf (x )=limf (x ) x x 0 x x 0 22 lim f (x ) f (x ) f (x ) x x （3）若g (x ) 0且lim g (x ) 0，则函数当x x 0时极限也存在，且lim =0 x x 0x x 0g (x ) g (x ) lim g (x ) x x 0 （4）lim

20、 e x x 0 f (x ) =e x x 0 lim f (x ) -+ 注意，当自变量x 以其它方式变化时(x +、x -、x 、x x 0、x x 0) ，结论仍 然成立. 同时，数列极限运算依然满足上述法则. 1.5.2 常见的求极限方法 1. 基本方法 2x 2+x +1例1.1 计算lim x +x 2+1 解：注意到lim (2x +x +1) =+，lim (x +1) =+，所以不能直接运用极限的运算法则来计算， x + x + 2 2 可采用分子、分母同时除以x 的方法来求解. 2 2x +x +1 =lim 2x +x +x +1lim 2 2+ x 111 +2+22

21、=lim 2=2+0+0=2 x +1+01+21+2 x x 2x 2-3x +1 例1.2 计算lim 2x 1x -1 解：这是一个 的不定式，可以使用洛必达法则计算。 0 2 2 x 1 此外注意到lim(2x -3x +1) =0，lim(x -1) =0；不能直接运用商的极限运算法则，但可分子、分 x 1 母分解因式，约去公因子x -1后，再求极限. 2x 2-3x +1(2x -1)(x -1) 2x -11lim =lim =lim = 2x 1x 1x 1x -1(x +1)(x -1) x +12 a 例1.3 计算lim (a 0) . x 0x 解：这是一个 的不定式，

22、可以使用洛必达法则计算。 0 此外，还可采用分子有理化的方法求解 . 1 = x 0x 0x 02a 例1.4 计算lim ( x 1 21 -) 2 x -1x -1 21 和都是无穷大量，所以不能直接运用极限运算法则，可采用通分的方x 2-1x -1 解：这是一个-的不定式，绝大多数情况下这种不定式都可以先通分，再使用已知方法计算。 因为当x 1时，法求解. lim ( x 1 21-(x -1) -11 -) =lim =lim =- x 1(x +1)(x -1) x 1x +12x 2-1x -1 n 例1.5 计算lim ( 12n + +) n 2n 2n 2 解：因为有无穷多项

23、，所以不能用和的极限运算法则，此时可先变形，再求极限. lim ( n 12n 1+2+ +n n (n +1) /2111 + +) =lim =lim =lim (1+) = 基本方法实22222n n n 2n 2n n n n n 际上只是一些常见的解题技巧，算不上一种有规律的方法，只能通过多做习题来掌握。 2. 两个重要极限 这里有两个定理，考试时一般用不到： （1）若lim g (x ) =lim h (x ) =A ，且在点x 0的某空心邻域内恒有g (x ) f (x ) h (x ) ，则极限 x x 0 x x 0 x x 0 lim f (x ) 存在，且lim f (x

24、 ) =A x x 0 （2）单调有界数列必有极限，详细来说就是单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的 数列必有极限。 两个重要极限分别为 （1）lim sin x =1 x 0x sin x 11 =0，lim x sin =1，lim x sin =0 注意，lim x x x 0x x x 思考：为什么，能看出这些式子有什么区别吗？ 1 （2）lim 1+=e (其中e =2.71828 的无理数) x x 这个极限又可以写成另一种形式 lim (1+t ) =e t 0 1t x 大多数1型不定式都可以用这个重要极限计算。 1 思考：lim 1+=e 中的是+还是-呢？ x

25、 x 2 例1.6 计算lim 1+ x x x 2x 12=e 2 解：lim 1+=lim 1+ x x x x 2 2 x x lim x 22x 常见的错误解法：lim 1+=lim 1+=1x =1 x x x x x lim x 思考：错在哪里？ x +1 例1.7 计算lim x x -1 x -1 2222x +1解：lim =lim 1+=lim 1+(1+) =e 2 x x -1x x x -1x -1x -1 x x 2 x 3. 洛必达法则 定理1.2 若 （1）lim f (x ) =0，lim g (x ) =0； x x 0 x x 0 （2）f 和g 在点x

26、0的附近（点x 0可除外）可导，且g (x ) 0； （3）lim x x 0 f (x ) =A （A 可为实数，也可为无穷大量）. g (x ) 则 lim x x 0 f (x ) f (x ) =lim =A g (x ) x x 0g (x ) 定理1.3 若 （1）lim f (x ) =，lim g (x ) =； x x 0 x x 0 （2）f 和g 在点x 0的附近（点x 0可除外）可导，且g (x ) 0； （3）lim x x 0 f (x ) =A （A 可为实数，也可为无穷大量）. g (x ) f (x ) f (x ) =lim =A g (x ) x x 0g

27、 (x ) 则 lim x x 0 0 型不定式和型不定式求极限。其中条件（1）必须满足，也就是说在每一次对分子分母0 0 求导前都需要进行判断是否是型不定式或型不定式，如果是可以继续运算，如果不是则直接求出极限； 0 这就是对 条件（2）对我们求函数极限的题目来说都是满足的；条件（3）通常都是满足的，只有当我们求极限求不出结果时才需要考虑是否这个题目不满足条件（3）。 e x -1 例1.8 求lim . x 0x 解：这是 型不定式，根据洛必达法则，有 0 e x -1e x lim =lim =e 0=1. x 0x 01x 例1.9 求lim x + -arctan x 1 x . 型

28、不定式，根据洛必达法则，有 0 1 -arctan x 2x 2 lim =lim =lim =1. x +x +x +1+x 211 -2 x x 解：这是例1.10 求lim x 2 tan x . tan 3x 解：这是 型不定式，根据洛必达法则，有 tan x sec 2x cos 23x lim =lim =lim tan 3x 3sec 23x 3cos 2x x x x 2 2 2 =lim x 2 -6cos3x sin 3x -6cos x sin x sin 6x 6cos6x =lim sin 2x x 2cos 2x 2 =lim x 2 = 6cos3 =3 2cos x 2sin 例1.11 求lim x 0 sin x 1x . 11 lim x sin =lim (x x sin 1) =x 0=0=0. 解： lim x 0x 0sin x sin x sin x x 1 lim x 0x x 2sin 111 (x 2sin ) 2x sin -cos =lim 不存在，所以所给极限不能用洛必达法则求出. 因为lim x 0x 0(sinx ) cos x 有时候理论上洛必达法则是可行的，但实际计算中可能会使得计算量极其庞大，这时候应该使用一些其他的方法求解. 2