专题71与数学文化相关的数学考题解析版20届高考压轴题讲义选填题.docx

1、专题71与数学文化相关的数学考题解析版20届高考压轴题讲义选填题一、方法综述： 关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重 要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，但并没由得到应有的落实，造成数学文 化教学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏，令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开 始有意识的进行尝试和引导，在众多的经典试题中，湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃，因此， 我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生 的复习备考以专业的帮助与指导 .二、解答策略：类型一、

2、取材数学游戏 游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的智力游戏可笼统地称为数学游 戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众 数学的理念。例 1 、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为 1，第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的数是 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次。 已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第 100 个数时，甲同学拍手的总次数为 。探究提高：以数学游戏为素材的命制高考题目，创造了既宽松又竞争的环境，拉近了考生与数学的

3、心理 距离，但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关，便于考生更好地理解游戏。例如： 2012 年 高考湖北卷第 13题“回文数 ”，考查排列、组合和归纳推理等知识。本题以此为背景，以简单的游戏为分析 计算对象，考查学生的阅读理解能力和合情推理能力。举一反三： 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如 22 ，,11,3443,94249等。显然 2位回文数有9个： 11,22,33，99.3位回文数有 90个： 101,111,121，191,202，999。则（） 4位回文数有 个；（） 2n1（nN+ ）位回文数有 个。2n 1 n N 位回文数与 2n 2 n N 位回

4、文数个数相等，均为 9 10n 个. 类型二、取材数学名著如数学家的传记、数学演讲报告、数学讲义等，这些都是命制考题好的素材，从中选取一段有关的数 学素材，突出索要考查的数学知识，在引导中学数学教学知能并重的同时，有意识地培养学生的数学素养。 例 2、【2018 百校联盟联考】我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？ ”意思是： “现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细，在 粗的一端截下 1尺，重 4斤；在细的一端截下 1尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？ ”设该金杖由粗到 细是均匀变化的，其重量为 M ，现将该金

5、杖截成长度相等的 10 段，记第 i 段的重量为 ai i 1,2,L ,10 且 a1 a2 L a10 ，若 48ai 5M ，则 i （ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7探究提高： 本题主要考查阅读能力、 等差数列的通项公式、 等差数列的前 n 项和公式以及转化与划归思想，属于中档题 .等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 a1,d,n,an,Sn, ，一般可以 “知二求三 ”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解， 解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有 关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程 .学* 科网举一反三

6、：【2017 届江西省赣州市高三上学期期末考试】 中国古代数学著作 算法统综 中有这样一个问题： “三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算 相还 ”其.大意为： “有一个走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半， 走了 6 天后到达目的地 ”则.该人第五天走的路程为（ ）A. 48 里 B. 24 里 C. 12 里 D. 6 里【答案】 C类型三、取材数学名题数学名题具有非凡的魅力，它常常蕴涵深刻的数学内容、经典的数学方法或与一些数学大师相关联， 数学名题能持续地是命制试题的重点取材之一。例 3、在我国南

7、宋数学家杨辉所著的详解九章算法 （1261 年）一书中，用如图 1 所示的三角形，解释二 项和的乘方规律 .在欧洲直到 1623 年以后，法国数学家布莱士 帕斯卡的著作 （1655 年 ）介绍了这个三角形 .近中国三角形 ”（Chinese triangle）如图 1，17 世年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是 纪德国数学家莱布尼茨发现了 “莱布尼茨三角形 ”如图 2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式： CrnCrn1 Crn1，其中 n 是行数，rN.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是图21解析 类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数11 r1.

8、学* 科网 n111 ，而相邻两项之和是上一行的两者相拱 Cn1之数，故类比式子 CrnCrn1Crn11，有 1 1 r 1 r 1Cn1Cn Cn2Cn1 Cn2C尼茨三角形 ”相结合考查了组合数的运算，很好的把中国古代数学名著和欧洲数学有解的结合在一起，进行和合理命题。举一反三：【2017 届河南省安阳市高三第一次模拟考试数学】三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积设勾股形中勾股比为称为弦实图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、 黄实， 利用 勾 股 股 勾

9、 朱实 黄实 弦实，化简，得勾 股 弦若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉（大小忽略不计） ，则落在黄色图形内的图钉数大约为（答案】 D类型四、取材数学推理数学猜想是推动数学发展的强大动力之一，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素，也是人类理 性中最富有创造性的部分，数学猜想一旦被证明，就将转化为定理，从而丰富数学理论，即使被否定或不 能被证实，也常常能给数学带来不可预期的成果，数学猜想是命制考题的好素材，它包含丰富的数学知识 和思想方法。例 4、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些

10、数能够表示成三角形，将其称为三角形数 ;类似地，称图 2 中的 1， 4， 9， 16 这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是A.289 B.1024 C.1225 D.1378【答案】 C探究提高：合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助 猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。合情推理仅是 “合乎 情理 ”的推理，它得到的结论不一定正确。而演绎推理得到的结论一定正确 （ 前提和推理形式都正确的前提下）。举一反三： 我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末

11、一 尺，重二斤，问次一尺各重几何？ ”意思是： “现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4斤；在细的一端截下 1尺，重 2斤；问依次每一尺各重多少斤？ ”设该金杖由粗到细是均匀变化的， 其重量为 M ，现将该金杖截成长度相等的 10 段，记第 i 段的重量为 ai i 1,2,L ,10 ，且a1 a2 L a10， 若 48ai 5M ，则 i （ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】 C 学* 科网【 解 析 】 由 题 意 知 ,由 细 到 粗 每 段 的 重 量 成 等 差 数 列 ， 记 为 an，设公差为d，则a1 a22 2a1d215

12、115 10 91 1 2， 1，解得a1 ,d，所以该金杖的总重量 M1015，a9 a104 2a117d41 16816 28Q 48ai5M , 4815i1175，解得i 6 ，故选 C.168类型五、取材数学图形例 5、一幅图胜过一千字，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休图形不仅包含大量信息，而且形象直观，生动绚丽，还能展示数学之美，图形是数学总要的组成部分，高考试题中自然少不了这样的试题，同时能较好的体现数学文化，甚至富有诗意的数学图形。2018 北京丰台二模】 血药浓度 （ Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度

13、 . 药物在人体内.已知成人单次服用 1 单位某发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：1首次服用该药物 1单位约 10 分钟后，药物发挥治疗作用2每次服用该药物 1 单位，两次服药间隔小于 2小时，一定会产生药物中毒3每间隔 5.5 小时服用该药物 1 单位，可使药物持续发挥治疗作用4首次服用该药物 1单位 3小时后，再次服用该药物 1单位，不会发生药物中毒A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个关键 .由图象可得函数先增后减 ,在 t=1 时取到极大值 ,在血液浓度所对应的值超过最低中毒浓度时 ,会发生药物中

14、毒 ,因此两次服药的间隔不能太小 ,需要看是否有两次药效之和超过最低值 . 学 *科网举一反三：【 2018 广东湛江二模】某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件 70 元，年销售量为 11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的 x%的管理费（即销售 10070 x%元要征收 x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了 70 x% 元，预计年销售量减少 x万件，要使第二年1 x%商场在该产品经营中收取的管理费不少于 14 万元，则 x 的最大值是（ ）A. 2 B. 6 C. 8.5 D. 10答案】 D类型六、取材数学文化与现代科学：数学文化与现代科学

15、泛指最近一段时间国内外发生的数学方面的大事，被广大媒体和公众共同关注，具 有方向性和短暂性和聚焦性等特点，命题专家从一段时事材料中甄选一个角度，简明扼要的交代时事背景， 抽象出数学模型，突出索要考查的数学问题，类似于文科综合卷中的时事材料，既能达到一般试题的考查 效果，又能融入肥厚的数学文化，平添点滴生活气息。例 6、2016年 1月 14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通 过，正式开始实施 .如图所示，假设 “嫦娥四号 ”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 P 变轨 进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变

16、轨进入仍以 F 为一个焦点 的椭圆轨道绕月飞行 .若用 2c1和 2c2 分别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a1 和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子： a1 c1 a2 c2； a1c1a2c2；c a1c2.a1 a2其中正确式子的序号是 ( )A. B. C. D.解析 观察图形可知 a1a2，c1c2， a1 c1a2 c2，即式不正确；a1c1 a2c2|PF|，即式正确；由 a1 c1 a2 c20， c1c20 ，a1 c1 a2 c2 a1 a2 c1 c2知 ，即 1a1c2， 1 2.即式正确，式不正确，答案 D 学* 科网c1 c2 c1 c2 a1 a2探究

17、提高 1. 命题者抓住 “嫦娥奔月 ”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共 一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等 式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运 .2.注意到椭圆轨道和共一个顶点 P 和一个焦点 F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入 手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中 见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题 .举一反三： 12【2017 届贵州省黔东南州高三下学期高考模拟考试数学】秦九韶是我国南宋时期著名的数学 家，普州（现四川省安岳县）

18、人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是 比较先进的算法 .如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 的值为 ，每次输入 的值均为 ，输出 的值为 ，则输入 的值为A. B. C. 4 D. 3【答案】 C三、强化训练：1.【 2017 课标 1，理】如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图 .正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 .在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是ABC 1下问题： “今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等 .问各德几何 . ”其意思为 “已知 五人分 5D4【答案】 B【解

19、析】由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率11p ，故选 B 。422.【2017 课标 II ，理 3】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题： “远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ ”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯 数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯( )A1盏 B3盏 C5盏 D9 盏【答案】 B两鼠穿墙 ”3【 2017 届河北省石家庄市第二中学高三下学期模拟联考】在九章算术中有一个古典名题 问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿 .大鼠日一尺，小鼠也日一尺 .大鼠日自倍，小鼠日自

20、半，问何日相逢？大意答案】 A答案】 D【解析】 由三视图知 ,该几何体是底面为斜边边长为 的等腰直角三角形 ,高为 的直三棱柱 ,所以该几何体的表面积为 ,故选 D.6【 2017 届重庆市高三上学期第一次诊断模拟（期末） 】我国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰 分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人， 则北乡遣（ ）A. 104 人 B. 108 人 C. 112 人 D. 120 人【答案】 B【解析】解析：由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为，则 ，应选答案 B.7【河北省衡水中学 2017 届高三下学期三调】

21、关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法， 如注明的浦丰实验和查理斯实验 .受其启发， 我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请 120 名同学每人随机写下一个都小于 1 的正实数对 ；再统计两数能与 1 构成钝角三角形三边的数对 的个数 ； 最后再根据统计数 估计 的值，假如统计结果是 ，那么可以估计 的值约为（ ）A.B.C.D.答案】 B8【 2017 届四川省简阳市期末检测数学】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则齐王的马获

22、胜概率为（ ）9【江西省鹰潭市 2017 届高三第一次模拟考试】如图的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九 章算术中的 “更相减损术 ”执行该程序框图，若输入 ， ， 的值分别为 ， ， ，则输出 和 的值分别为）答案】 A10【2017 届福建省莆田市高三下学期质量检查考试】我国古代数学著作孙子算经中有如下问题： 有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？ ”设每层外周枚数为 ，如图是解决该问题的程序框图，则 输出的结果为（ ）A. 121 B. 81 C. 74 D. 49【答案】 B11【湖北省稳派教育 2017 届高三一轮复习质量检测】 斐波拉契数列 0,1,1,2,3,5,8

23、是数学史上一个著名的 数列，定义如下： ，某同学设计了 个求解斐波拉契数列前 15 项和的程序框图，那么在空白矩形框和判断框内应分别填入的语句是（ ）A. B. C. D.【答案】 B12【江西省红色七校 2017 届高三下学期第二次联考】 下边程序框图的算法思路源于数学名著 几何原本中的 “辗转相除法 ”，执行该程序框图（图中 “m MOD n”表示 除以 的余数），若输入的 m，n 分别为 485，135，则输出的 m= （ ）A. 0 B. 5 C. 25 D. 45【答案】 B【解析】当 时， ，此时 ，进入循环， ， ，进入循 环， ， ，进入循环， ， ，进入循环， ， 此时退出循

24、环， ，故选 B.13【2017 届安徽省江南十校高三 3月联考数学（文） 】中国的计量单位可以追溯到 4000多年前的氏族社会 末期，公元前 221 年，秦王统一中国后，颁布同一度量衡的诏书并制发了成套的权衡和容量标准器 .下图是古代的一种度量工具 “斗 ”（无盖，不计量厚度）的三视图（其正视图和侧视图为等腰梯形） ，则此 “斗”的体答案】 B14【河南省安阳市 2017 届高三第二次模拟考试】北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙 积，即 “积之有隙 ”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积设隙积共 层，上底由 个物体 组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层（即

25、下底）由 个物体组成，沈括给出求隙积中物 体总数的公式为 已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图 如图所示，则该垛积中所有小球的个数为（ ）A. B. C. D.【答案】 C【解析】从题设及三视图中所提供的图形信息和数据信息可知 ，代入公式，应选答案 C.16【 2017 届辽宁省大连育明高级中学高三上学期期末考试】意大利数学家列昂那多 斐波那契以兔子繁殖为 例 ， 引 入 “ 兔 子 数 列 ” ： 即，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被 整除后的余数构成一个新数列 ， 【答案】17【广西南宁市 2017 届高三第一次适应性测试】我国古代数学著作九

26、章算术有如下问题： “今有金箠，长五尺 .斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？ ”意思是： “现有一根金杖，长 5 尺， 一头粗，一头细在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少10 段，记第 段的重量为斤？ ”设该金杖由细到粗是均匀变化的，其重量为 .现将该金杖截成长度相等的，且 ，若 ，则 【答案】 618【河南省洛阳市 2017 届高三第二次统一考试（ 3 月）】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数： .该数列的特点是：前两个数均为 ，从第三个数起，每一个数都 等 于 它 前 面 两 个 数 的

27、 和 ， 人 们 把 这 样 的 一 列 数 所 组 成 的 数 列 称 为 “斐 波 那 契 数 列 ”， 则 答案】 1解析】,所以所求式等于19【河北省衡水中学 2017届高三下学期三调】在公元前 3 世纪，古希腊欧几里得在几何原本里提出：“球的体积（ ）与它的直径（ ）的立方成正比 ”，此即 ，欧几里得未给出 的值 .17 世纪日本数学家 们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式 中的常数 称为“立圆率”或“玉积率 ”类.似地，对于 等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱） 、正方体也可利用公式 求体积（在等边圆柱中， 表示底面圆的直径；在正方体中， 表示棱长） .假设运用此体积公式求得球

28、（直径为 ）、等边圆柱（底面圆的直径为 ）、正方体（棱长为 ）的 “玉积率 ”分别为 ， ，那么 20【黑龙江省哈尔滨市第三中学 2017 年第一次高考模拟考试】进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统， “满几进一 ”就是几进制，不同进制之间可以相互转化，例如把十进制的 89 转化为二进制，根 据二进制数 “满二进一 ”的原则，可以用 2连续去除 89 得商，然后取余数，具体计算方法如下： 把以上各步所得余数从下到上排列，得到这种算法叫做 “除二取余法 ”，上述方法也可以推广为把十进制数化为 进制数的方法，称为 “除 取余法 ”，那 么用 “除 取余法 ”把 89 化为七进制数为 【答

29、案】【解析】由题设中提供的计算方法可得把以上各步所得余数从下到上排列，得到 ，应填答案 .21【河北省邢台市 2017 下学期第一次月考】我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有人持金出 五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一个，次关六而税一，并五关所税，适重 一斤.问本持金几何 ”其意思为 “今有人持金出五关，第 1关收税金 ，第 2 关收税金为剩余金的 ，第 3关收 税金为剩余金的 ，第 4 关收税金为剩余金的 ，第 5 关收税金为剩余金的 ，5 关所收税金之和，恰好 1 斤 . 问原来持金多少？ ”若将题中 “5关所受收税金之和， 恰好重 1 斤.问原来持金多少？

30、 ”改成“假设这个人原来持 金为 ，按此规律通过第 8关”，则第 8关需收税金为 22【河南省焦作市 2017 届高三下学期第二次模拟】 孙子算经是我国古代内容极其丰富的数学名著， 书中有如下问题： “今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？ ”其意思为： “有圆柱形容器，底面 圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米 . ”则该圆柱形容器能装米 斛.（古制 1 丈=10尺， 1斛=1.62 立方尺，圆周率 ）【答案】【解析】 ,圆柱形容器体积为 , 所以此容器能装 斛米24.【 2017届江苏省如东高级中学高三 2 月摸底考试】某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸如下：其中，点 为 轴上关于原点对称的两点，曲线段 是桥的主体， 为桥顶，且曲线段 在图纸上的图形顶点，设计时要求：保持两曲线在各衔接处（ ）的切线的斜率相等1）求曲线段 在图纸上对应函数的解析式 ,并写出定义域；2）车辆从 经 倒 爬坡，定义车辆上桥过程中某点 所需要的爬坡能