工程力学计算.docx

1、工程力学计算第四章 荷载效应构件或结构上得作用使构件或结构产生得内力(如轴力、剪力、扭矩、弯矩等)、变形、裂缝等统称作用效应或荷载效应。荷载与荷载效应之间通常按某种关系相联系。本章重点学习构件与结构在荷载作用下产生得各种内力与变形,进行单种材料杆件得承载能力分析。第一节 构件内力分析一、概述1、1变形固体及其基本假设1、.1变形固体工程中构件与零件都就是由固体材料制成,如铸铁、钢、木材、混凝土等。这些固体材料在外力作用下都会或多或少得产生变形,我们将这些固体材料称为变形固体。变形固体在外力作用上会产生两种不同性质得变形:一种就是当外力消除时,变形也随着消失,这种变形称为弹性变形;另一种就是外力

2、消除后,变形不能全部消失而留有残余,这种不能消失得残余变形称为塑性变形。一般情况下,物体受力后,既有弹性变形,又有塑性变形。但工程中常用得材料,在所受外力不超过一定范围时,塑性变形很小,可忽略不计,认为材料只产生弹性变形而不产生塑性变形。这种只有弹性变形得物体称为理想弹性体、只产生弹性变形得外力范围称为弹性范围。本书将只限于给出材料在弹性范围内得变形、内力及应力等计算方法与计算公式、工程中大多数构件在外力作用下产生变形后,其几何尺寸得改变量与构件原始尺寸相比,常就是极其微小得,我们称这类变形为小变形。材料力学研究得内容将限于小变形范围、由于变形很微小,我们在研究构件得平衡问题时,就可采用构件变

3、形前得原始尺寸进行计算。1、1、2变形固体得基本假设为了使计算简便,在材料力学得研究中,对变形固体作了如下得基本假设:(1)均匀连续假设假设变形固体在其整个体积内豪无空隙地充满了物质。而且各点处材料得力学性能完全相同、(2)各向同性假设假设材料在各个方向具有相同得力学性能。常用得工程材料如钢材、玻璃等都可认为就是各向同性材料、如果材料沿各个方向具有不同得力学性能,则称为各向异性材料。综上所述,建筑力学中所研究得构件,就是由均匀连续、各向同性得变形固体材料制成得构件,且限于小变形范围、1。2杆件变形得基本形式1、2、1杆件图4-1建筑力学中主要研究得构件就是杆件。所谓杆件,就是指长度远大于其她两

4、个方向尺寸得构件。杆件得几何特点可由横截面与轴线来描述。横截面就是与杆长方向垂直得截面,而轴线就是各截面形心得连线(图1)。杆各截面相同、且轴线为直线得杆,称为等截面直杆。1、2.2杆件变形得基本形式杆件在不同形式得外力作用下,将发生不同形式得变形。但杆件变形得基本形式有以下四种:()轴向拉伸与压缩(图-2、图4-2)在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线相重合得外力作用下,杆件将发生长度得改变(伸长或缩短)。(2)剪切(图42c)在一对相距很近、大小相等、方向相反得横向外力作用下,杆件得横截面将沿外力方向发生错动。(3)扭转(图42d)在一对大小相等、方向相反、位于垂直于杆轴线得两平面内得

5、力偶作用下,杆得任意两横截面将绕轴线发生相对转动。()弯曲(图4-2e) 在一对大小相等、方向相反、位于杆得纵向平面内得力偶作用下,杆件得轴线由直线弯成曲线。 图4-2工程实际中得杆件,可能同时承受不同形式得外力而发生复杂得变形,但都可以瞧作就是上述基本变形得组合、由两种或两种以上基本变形组成得复杂变形称为组合变形、在以下几节中,将分别讨论上述各种基本变形与组合变形、1、3内力与内力分析方法截面法1.3.1内力得概念在第一章对某一物体进行受力分析时,常将该物体作为研究对象单独分离,画出该物体得受力图。物体所受到得力全部就是研究对象(该物体)以外得其她物体对它得作用力,称为外力。而在本章讨论杆件

6、得强度、刚度、稳定性问题时,需要通过作用在杆件上得外力进一步分析杆件内部得破坏及变形规律。因此,只研究作用在杆件上得外力就不够了,还需讨论另一种力,即杆件得内力。当杆件受到外力作用后,杆件内部相邻各质点间得相对位置就要发生变化,这种相对位置得变化使整个杆件产生变形,并使杆件内各质点之间原来得(受外力作用之前得)相互作用力发生改变,各质点之间相互作用力得变化使杆件相连两部分之间原有得相互作用力也发生了改变。在研究建筑力学问题时,习惯上将这种由于外力得作用而使杆件相连两部分之间相互作用力产生得改变量称为附加内力,简称为内力。内力就是由于外力而引起得,杆件所受得外力越大,内力也就越大,同时变形也越大

7、。如我们用双手拉一根橡胶绳,首先会发现橡胶绳也在拉我们得手,这就是因为当我们用手拉橡胶绳时,对橡胶绳施加了一对大小相等、方向相反得拉力,这一对拉力对橡胶绳而言就是作用在它上面得外力,由于这种外力得作用,使橡胶绳内任意相邻得两部分之间会产生内力,即橡胶绳拉手得力;其次还会发现手拉橡胶绳得力越大,橡胶绳对手得拉力也越大,绳子得变形也越大。但就是内力得增大不就是无限度得,内力达到某一限度(这一限度与杆件得材料、几何尺寸等因素有关)时,杆件就会破坏。由此可知:内力与杆件得强度、刚度等有着密切得关系。讨论杆件强度、刚度与稳定性问题,必须先求出杆件得内力。1.3。2求内力得基本方法-截面法为了计算杆件得内

8、力,需要先用一个假想得平面将杆件“截开”,使杆件在被切开位置处得内力显示出来,然后取杆件得任一部分作为研究对象,利用这部分得平衡条件求出杆件在被切开处得内力,这种求内力得方法称为截面法。截面法就是求杆件内力得基本方法。不管杆件产生何种变形,都可以用截面法求出内力。下面以轴向拉伸杆件为例,介绍截面法求内力得基本方法与步骤、图43a所示为杆件受到一对轴向拉力作用产生轴向拉伸得情况。现在我们来计算杆上任一截面(如距左端为l/3处横截面)上得内力、计算内力得步骤如下:(1)截开用假想得截面,在要求内力得位置处将杆件截开,把杆件分为两部分、(2)代替取截开后得任一部分为研究对象,画受力图。画受力图时,在

9、截开得截面处用该截面上得内力代替另一部分对研究部分得作用、如对于左段而言,截开处原右段对它作用得内力此时已变成左段上得外力而暴露了出来。由于固体就是连续得,所以截面上得内力就是连续分布得,我们称这种内力为分布内力(图43b)、本课程所讲得内力就是这些分布内力得合力。因此,画受力图时在被截开得截面处,只画分布内力得合力即可,(图43c)。图4-3(3)平衡由于整体杆件原本处于平衡状态(图43a),因此被截开后得任一部分也应处于平衡状态。对于研究部分(图4-c)根据作用在该部分上得力系情况,建立平衡方程,从而可求出截面上得内力。如对图4-3c中得杆段,列平衡方程Fx=0,得FpF;这说明该横截面上

10、得内力大小等于FN,方向如图-3所示。若取截面得右段同样可求得FFN,如图4d所示、。平面图形得几何性质在建筑力学以及建筑结构得计算中,经常要用到与截面有关得一些几何量。例如轴向拉压得横截面面积A、圆轴扭转时得抗扭截面系数,与极惯性矩,等都与构件得强度与刚度有关、以后在弯曲等其她问题得计算中,还将遇到平面图形得另外一些如形心、静矩、惯性矩、抗弯截面系数等几何量、这些与平面图形形状及尺寸有关得几何量统称为平面图形得几何性质。1、4、1重心与形心1.4。1.1重心得概念地球上得任何物体都受到地球引力得作用,这个力称为物体得重力。可将物体瞧作就是由许多微小部分组成,每一微小部分都受到地球引力得作用,

11、这些引力汇交于地球中心。但就是,由于一般物体得尺寸远比地球得半径小得多,因此,这些引力近似地瞧成就是空间平行力系。这些平行力系得合力就就是物体得重力。由实验可知,不论物体在空间得方位如何,物体重力得作用线始终就是通过一个确定得点,这个点就就是物体重力得作用点,称为物体得重心、1。.2一般物体重心得坐标公式1。、。2、1一般物体重心得坐标公式如图4-4所示,为确定物体重心得位置,将它分割成以个微小块,各微小块重力分别为、G2、Gn,其作用点得坐标分别为(x1、y1、z1,)、(x2、y2、z2)(n、yn、zn),各微小块所受重力得合力W即为整个物体所受得重力GGi:,其作用点得坐标为C(xc、

12、zc)。对Y轴应用合力矩定理,有:得 同理,对x轴取矩可得:将物体连同坐标转90、而使坐标面oz成为水平面,再对轴应用合力矩定理,可得:(41)因此,一般物体得重心坐标得公式为:图4-41、4.1.2、2均质物体重心得坐标公式对均质物体用r表示单位体积得重力,体积为,则物体得重力G=Vr,微小体积为,微小体积重力Gi=Viy,代入式(4),得均质物体得重心坐标公式为:(42)由上式可知,均质物体得重心与重力无关。所以,均质物体得重心就就是其几何中心,称为形心。对均质物体来说重心与形心就是重合得。1。4。、2、3均质薄板得重心(形心)坐标公式对于均质等厚得薄平板,如图45所示取对称面为坐标面oy

13、z,用表示其厚度,A表示微体积得面积,将微体积i=Ai及=A代人式(2),得重心(形心)坐标公式为:(43)因每一微小部分得xi为零,所以xi=。1、4.1、2、4平面图形得形心计算图4-5形心就就是物体得几何中心。因此,当平面图形具有对称轴或对称中心时,则形心一定在对称轴或对称中心上。如图4-6所示。若平面图形就是一个组合平面图形,则可先将其分割为若干个简单图形,然后可按式(43)求得其形心得坐标,这时公式中得Ai为所分割得简单图形得面积,而yi、zic为其相应得形心坐标,这种方法称为分割法。另外,有些组合图形,可以瞧成就是从某个简单图形中挖去一个或几个简单图形而成,如果将挖去得面积用负面积

14、表示,则仍可应用分割法求其形心坐标,这种方法又称为负面积法。图4-6【例4-l】试求图4-所示形截面得形心坐标。【解】将平面图形分割为两个矩形,如图4-所示,每个矩形得面积及形心坐标为:由式(83)可求得T形截面得形心坐标为:【例4】试求图48所示阴影部分平面图形得形心坐标、【解】将平面图形分割为两个圆,如图8-5所示,每个圆得面积及形心坐标为由式(43)可求得阴影部分平面图形得形心坐标为:图4-7 图4-81.4。2静 矩1、4、定义图所示,任意平面图形上所有微面积dA与其坐标y(或z)乘积得总与,称为该平面图形对z轴(或Y轴)得静矩,用Sz(或)表示,即:(44)由上式可知,静矩为代数量,

15、它可为正,可为负,也可为零。常用单位为3或mm3、图4-9 图4-101.4。2.2简单图形得静矩图4-10所示简单平面图形得面积A与其形心坐标Yc(或)得乘积,称为简单图形对轴或Y轴得静矩,即:(45)当坐标轴通过截面图形得形心时,其静矩为零;反之,截面图形对某轴得静矩为零,则该轴一定通过截面图形得形心。1、4、2、3组合平面图形静矩得计算(46)式中A-各简单图形得面积; Yci、ci各简单图形得形心坐标。式(46)表明:组合图形对某轴得静矩等于各简单图形对同一轴静矩得代数与。【例43】计算图4-11所示T形截面对轴得静矩、【解】将形截面分为两个矩形,其面积分别为:截面对轴得静矩图4-11

16、1.4、惯性矩、惯性积、惯性半径1、4.3。1惯性矩、惯性积、惯性半径得定义。4。3。1、1惯性矩图4-12图412所示,任意平面图形上所有微面积dA与其坐标Y(或z)平方乘积得总与。称为该平面图形对z轴(或轴)得惯性矩,用Iz(或y)表示,即:(47)式(7)表明,惯性矩恒为正值。常用单位为m4或m、1.4.1、2惯性积 图4所示,任意平面图形上所有微面积dA与其坐标z、Y乘积得总与,称为该平面图形对z、Y两轴得惯性积,用Izy表示,即:(48)惯性积可为正,可为负,也可为零。常用单位为m4或mm、可以证明,在两正交坐标轴中,只要、Y轴之一为平面图形得对称轴,则平面图形对、Y轴得惯性积就一定

17、等于零、1.4、1、3惯性半径在工程中为了计算方便,将图形得惯性矩表示为图形面积A与某一长度平方得乘积,即:(49)式中、i平面图形对z、Y轴得惯性半径,常用单位为m或m。1、。.1。4.简单图形(图413)得惯性矩及惯性半径(1)简单图形对形心轴得惯性矩(由式47积分可得)矩形 圆形环形型钢得惯性矩可直接由型钢表查得,见附录二、图4-13(2)简单图形得惯性半径矩形圆形1.4。3.2平行移轴公式1。4.3.2、1惯性矩得平行移轴公式同一平面图形对不同坐标轴得惯性矩就是不相同得,但它们之间存在着一定得关系。现给出图414所示平面图形对两个相平行得坐标轴得惯性矩之间得关系。(410)式(40)称

18、为惯性矩得平行移轴公式。它表明平面图形对任一轴得惯性矩,等于平面图形对与该轴平行得形心轴得惯性矩再加上其面积与两轴间距离平方得乘积。在所有平行轴中,平面图形对形心轴得惯性矩为最小。1.4.3.2、2。组合截面惯性矩得计算组合图形对某轴得惯性矩,等于组成组合图形得各简单图形对同一轴得惯性矩之与、【例44】计算图415所示T形截面对形心z轴得惯性矩I。【解】(1)求截面相对底边得形心坐标()求截面对形心轴得惯性矩图4-14 图4-15【例5】试计算图16所示由两根N020槽钢组成得截面对形心轴、Y得惯性矩。【解】组合截面有两根对称轴,形心C就在这两对称轴得交点。由型钢表查得每根槽钢得形心1或2到腹

19、板边缘得距离为19.m,每根槽钢截面积为:每根槽钢对本身形心轴得惯性矩为:整个截面对形心轴得惯性矩应等于两根槽钢对形心轴得惯性轴之与,故得:图4-161。4。4形心主惯性轴与形心主惯性矩得概念若截面对某坐标轴得惯性积Izoyo0,则这对坐标轴、o称为截面得主惯性轴,简称主轴。截面对主轴得惯性矩称为主惯性矩,简称主惯矩、通过形心得主惯性轴称为形心主惯性轴,简称形心主轴、截面对形心主轴得惯性矩称为形心主惯性矩,简称为形心主惯矩。 凡通过截面形心,且包含有一定对称轴得一对相互垂直得坐标轴一定就是型心主轴。二、构件内力计算2.1轴向拉伸与压缩时得内力2.、1轴向拉伸与压缩得概念沿杆件轴线作用一对大小相

20、等、方向相反得外力,杆件将发生轴向伸长(或缩短)变形,这种变形称为轴向拉伸(或压缩)(图417a、b)。产生轴向拉伸或压缩得杠件称为拉杆或压杆、(a) (b)图4-16工程结构中,拉杆与压杆就是常见得、如图417所示得三角支架中,杆就是拉杆,杆BC就是压杆。又如图48所示得屋架,上弦杆就是压杆,下弦杆就是拉杆。图4-18图4-172.1.2轴向拉压杆得内力-轴力。1.2、1轴向拉伸与压缩时杆件得内力轴力图4-19如图4-19()所示为一等截面直杆受轴向外力作用,产生轴向拉伸变形。现用截面法分析m截面上得内力。用假想得横截面将杆在mm截面处截开分为左、右两部分,取左部分为研究对象如图419(b)

21、所示,左右两段杆在横截面上相互作用得内力就是一个分布力系,其合力为N。由于整个杆件就是处于平衡状态,所以左段杆也应保持平衡,由平衡条件X=0可知,m横截面上分布内力得合力N必然就是一个与杆轴相重合得内力,且N=F,其指向背离截面。同理,若取右段为研究对象如图4-19(c)所示,可得出相同得结果。对于压杆,也可通过上述方法求得其任一横截面上得内力N,但其指向为指向截面。我们将作用线与杆件轴线相重合得内力,称为轴力,用符号N表示。背离截面得轴力,称为拉力;而指向截面得轴力,称为压力。1.2。2轴力得正负号规定轴向拉力为正号,轴向压力为负号、在求轴力时,通常将轴力假设为拉力方向,这样由平衡条件求出结

22、果得正负号,就可直接代表轴力本身得正负号、轴力得单位为N或N、2。1.。轴力图当杆件受到多于两个轴向外力得作用时,在杆件得不同横截面上轴力不尽相同。我们将表明沿杆长各个横截面上轴力变化规律得图形,称为轴力图。以平行于杆轴线得横坐标轴z表示各横截面位置,以垂直于杆轴线得纵坐标N表示各横截面上轴力得大小,将各截面上得轴力按一定比例画在坐标系中并连线,就得到轴力图。画轴力图时,将正得轴力画在轴线上方,负得轴力画在轴线下方。【例46】一直杆受轴向外力作用如图4-20(a)所示,试用截面法求各段杆得轴力。【解】()用截面法求各段杆横截面上得轴力 AB段取1截面左部分杆件为研究对象,其受力如图4-0(a)

23、所示,由平衡条件得BC段取22截面左部分杆件为研究对象,其受力如图(c)所示,由平衡条件图4-20,得CD段取33截面右部分杆为研究对象,其受力如图420(d)所示,由平衡条件,得(2)画轴力图根据上面求出各段杆轴力得大小及其正负号画出轴力图,如图20()所示:【例4-】试画出图421(a)所示阶梯柱得轴力图,已知F=k、【解】()求各段柱得轴力(2)画轴力图根据上面求出各段柱得轴力画出阶梯柱得轴力图,如图4-21(b)所示。图4-21值得注意得就是:在采用截面法之前,外力不能沿其作用线移动、因为将外力移动后就改变了杆件得变形性质,内力也就随之改变、轴力图、受力图应与原图各截面对齐。当杆水平放

24、置时,正值应画在与杆件轴线平行得横坐标轴得上方,而负值则画在下方,并必须标出正号或负号,如图420所示;当杆件竖直放置时正、负值可分别画在杆轴线两侧并标出正号或负号。轴力图上必须标明横截面得轴力值、图名及其单位,还应适当地画一些与杆件轴线垂直得直线。当熟练时,可以不画各段杆得受力图,直接画出轴力图,横坐标轴z与纵坐标轴也可以省略不画,如图4-1()所示。从前面得几个例题得计算中我们会发现:截面上得轴力与所研究得杆段上得外力之间存在一种关系,即轴力等于所取杆段(左段或右段)上外力得代数与。在计算轴力时,外力得方向背离截面(引起拉力)取正号,外力得方向指向截面(引起压力)取负号。用这种规律求轴力可

25、以省去列平衡方程,使计算简化、扭转内力2。扭转得概念图4-22扭转变形就是杆件基本变形之一。在垂直杆件轴线得两平面内,作用一对大小相等、转向相反得力偶时,杆件就产生扭转变形、大多数受扭得杆件其横截面为圆形,受扭得圆截面杆称为圆轴。圆轴扭转得变形特点就是杆件得各横截面绕杆轴线发生相对转动。其中杆件任意两截面间相对转动得角度称为扭转角,用表示。如图4-22中得角就就是曰截面相对A截面得扭转角。图4-23图4-24在工程中,以扭转变形为主得杆件就是很多得。如汽车转向盘得操纵杆(图423)、搅拌器得主轴(图42)、钻探机得钻杆与机械得传动轴等。 2、2。2圆轴扭转时横截面上得内力、2.2.1外力偶矩得

26、计算作用于轴上得外力偶,有时在工程中并不就是已知得,常常就是已知轴所传递得功率与轴得转速,再由下式求出外力偶矩,即(411)式中,P为轴传递得功率();为轴得转速(r/min);M。为轴上得外力偶矩(Nm)。若功率得单位为马力,则外力矩得计算公式为(412)2.、2.2扭矩图4-25圆轴横截面上得内力仍通过截面法来进行分析。下面以图4-25(a)所示两端承受外力偶矩Me作用得圆轴为例,来说明求任意横截面m上内力得方法。用假想截面沿截面m将轴截开,任取一段(如左段),如图4-2()所示。由于圆轴AB就是平衡得,因此截取部分也处于平衡状态,根据力偶得性质,横截面mm上必有一个内力偶矩与外力偶矩肘。

27、平衡,我们把这个内力偶矩称为扭矩,用T表示,单位为Nm或kNm。由平衡条件得若取右段为研究对象,如图42(c)所示,由平衡条件得与取左段为研究对象结果相同。以上结果说明,计算某截面上得扭矩,无论取该截面左侧还就是右侧为研究对象,求出得扭矩大小都相等且转向相反,它们就是作用与反作用得关系。为了使从截面左、右两侧求得同一截面得扭矩不但数值相等,而且有同样得正负号,用右手螺旋法则规定扭矩得正负号。即以右手四指表示扭矩得转向,若大拇指得指向与横截面得外法线指向一致时,扭矩为正(图9、5a);反之,扭矩为负(图95b)。当横截面上扭矩得实际转向未知时,一般先假设扭矩为正。若求得结果为正,表示扭矩实际转向

28、与假设相同;若求得结果为负,则表示扭矩实际转向与假设相反。图4-26例-8 如图2(a)所示,一传动系统得主轴,其转速n960min,输入功率PA=7.5W,输出功率P。:20k,PB=7、5kW。试求指定截面-、2-2上得扭矩。解 (1)计算外力偶矩。由式(4-1)得同理可得()计算扭矩。用截面法分别计算截面1-l、2-上得扭矩。截面-1:图4-27假想地沿截面11处将轴截开,取左段为研究对象,并假设截面l-上得扭矩为1,且为正方向(图42),由平衡条件得负号表示该截面上得扭矩实际转向与假设转向相反,即为负方向。截面2-2:假想沿截面2将轴截开,取左段为研究对象,并假设截面-2上得扭矩为疋,

29、且为正方向(图42c),由平衡条件得负号表示该截面上得扭矩实际转向与假设转向相反,即为负方向。若以截面2-右段为研究对象(图-27),同理,由平衡条件得所得结果与取左段为研究对象得结果相同,计算却比较简单、所以计算某截面上得扭矩时。应取受力比较简单得一段为研究对象。由上面得计算结果不难瞧出:受扭杆件任一横截面上扭矩得大小。等于此截面一侧(左或右)所有外力偶矩得代数与。2、2、2.3扭矩图当轴上同时作用两个以上得外力偶时,横截面上得扭矩随截面位置得不同而变化。反映轴各横截面上扭矩随截面位置不同而变化得图形称为扭矩图。根据扭矩图可以确定最大扭矩值及其所在截面得位置、扭矩图得绘制方法与轴力图相似。需

30、先以轴线为横轴z、以扭矩为纵轴,建立卜z坐标系,然后将各截面上得扭矩标在卜坐标系中,正扭矩在x轴上方,负扭矩在x轴下方。下面通过例题说明扭矩图绘制得方法与步骤。例4 传动轴如图48a所示,主动轮A输入功率A=12,从动轮、C、输出功率分别为P3kW,PC40k,P0kW,轴得转速n=3 r/min。试作出该轴得扭矩图。解 ()计算外力偶矩、由式(411)得同理可得(2)计算扭矩、根据作用在轴上得外力偶,将轴分成鲋、C与C三段.用截面法分别计算各段轴得扭矩,如图48b、c、d所示。()作扭矩图。建立T-坐标系。x轴沿轴线方向,向上为正、将轴各横截面上得扭矩标在-x坐标中、由于BA段各横截面上扭矩均为-、95kNm,故扭矩图为平行于x轴得直线,且位于z轴下方;而A段、C段各横截面上扭矩分别为2.87kN与1、59kN,故扭矩图均为平行于x轴得直线,且位于轴上方,于就是得到如图2e所示得扭矩图。从扭矩