概率论与数理统计公式大全.docx

1、概率论与数理统计公式大全随机变量的数字特征（1）一维随机变量的数字特征离散型连续型期望期望就是平均值设X是离散型随机变量，其分布律为P( )pk，k=1,2,n，（要求绝对收敛）设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，（要求绝对收敛）函数的期望Y=g(X)Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2，标准差，矩对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即k=E(Xk)= , k=1,2, .对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 ，即= ， k=1,2, .对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为

2、vk,即k=E(Xk)=k=1,2, .对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 ，即=k=1,2, .切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E（X）=，方差D（X）=2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望的性质（1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。（3）方差的性质（1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2

3、D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立； 充要条件：X和Y不相关。 D(XY)=D(X)+D(Y) 2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（4）常见分布的期望和方差期望方差0-1分布p二项分布np泊松分布几何分布超几何分布均匀分布指数分布正态分布n2nt分布0(n2)（5）二维随机变量的数字特征期望函数的期望方差协方差对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协

4、方差或相关矩，记为 ，即与记号 相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为 与 。相关系数对于随机变量X与Y，如果D（X）0, D(Y)0，则称为X与Y的相关系数，记作 （有时可简记为 ）。 | |1，当| |=1时，称X与Y完全相关：完全相关而当 时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的： ；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵混合矩对于随机变量X与Y，如果有 存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为；k+l阶混合中心矩记为：（6）协方差的性质(i) cov (X, Y)=cov (Y

5、, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独立和不相关（i） 若随机变量X与Y相互独立，则 ；反之不真。（ii） 若（X，Y）N（ ），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章 大数定律和中心极限定理（1）大数定律切比雪夫大数定律设随机变量X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）C(i=1,2,),则对于任意的正数，有 特殊情形：若X1，X2，具有相同的数学期望E（XI）=，则上式成为伯努利大

6、数定律设是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有 伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律设X1，X2，Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=，则对于任意的正数有（2）中心极限定理列维林德伯格定理设随机变量X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：，则随机变量的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理设随机变量 为具有参数n, p(0p1)的二项分布，则对于任意

7、实数x,有（3）二项定理若当 ，则超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理若当 ，则其中k=0，1，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章 样本及抽样分布（1）数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，表示n个随机变

8、量（样本）；在具体的一次抽取之后， 表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设 为总体的一个样本，称 （ ）为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参数，则称 （ ）为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值样本方差样本标准差样本k阶原点矩样本k阶中心矩， ， ,其中 ，为二阶中心矩。（2）正态总体下的四大分布正态分布设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数t分布设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数其中 表示自由度为n-1的 分布。F分布设 为来自正态总体

9、的一个样本，而 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数其中表示第一自由度为 ，第二自由度为 的F分布。（3）正态总体下分布的性质与 独立。第七章 参数估计（1）点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表成 它的k阶原点矩 中也包含了未知参数 ，即 。又设为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有由上面的m个方程中，解出的m个未知参数 即为参数（ ）的矩估计量。若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计。极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中 为未知参数。又设 为总

10、体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为Ln. 当总体X为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称为样本的似然函数。 若似然函数 在处取到最大值，则称 分别为 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大似然估计。（2）估计量的评选标准无偏性设 为未知参数 的估计量。若E （ ）= ，则称 为 的无偏估计量。E（ ）=E（X）， E（S2）=D（X）有效性设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。一致性设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有则称 为 的一致估计量（或相合估计量）。若 为 的无偏估计，且 则 为 的一致

11、估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。（3）区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发，找出两个统计量 与 ，使得区间 以 的概率包含这个待估参数 ，即那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度（或置信水平）。单正态总体的期望和方差的区间估计设 为总体 的一个样本，在置信度为 下，我们来确定 的置信区间 。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度 ，查表找分位数；（iii）导出置信区间 。已知方差，估计均值（i）选择样本函数(ii) 查表找分位数（iii）导出置信区间未知方差，估计均值（i

12、）选择样本函数 (ii)查表找分位数（iii）导出置信区间方差的区间估计（i）选择样本函数（ii）查表找分位数 （iii）导出的置信区间第八章 假设检验基本思想假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。 为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。 这里所说的小概率事件就是事件 ，其概率就是检验水平，通常我们取=0.05，有时也取0.01或0.10。基本步骤假设检验的基本步骤如下：(i) 提出零假设H0；(ii) 选择统计量K；(iii) 对于检验水平查表找分位数；(iv) 由样本值 计算统计量之值K；将 进行比较，作出判断：当时否定H0，否则认为H0相容。两类错误第一类错误当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即P否定H0|H0为真= ；此处的恰好为检验水平。第二类错误