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1、初中数学竞赛教程汇总七年级第一讲 有理数（一）一、【能力训练点】1、 正负数，数轴，相反数，有理数等概念。2、 有理数的两种分类：3、 有理数的本质定义，能表成 m （ n 0,m, n互质）。n4、 性质： 顺序性（可比较大小）；2四则运算的封闭性（0不作除数）；3稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。5、绝对值的意义与性质：- a（a 0）非负性(|a| 0, a2 0) |a| ）a（a 0）非负数的性质:i ）非负数的和仍为非负数。ii ）几个非负数的和为 0,则他们都为0。、【典型例题解析】1 .如果m是大于1的有理数，那么 m 定小于它的（ ）A.相反数 B.倒数 C. 绝对

2、值 D.平方2. 已知两数ab互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是 2 ,求2 2006x (a b cd)x (a b)(cd)2007 的值。3.如果在数轴上表示 a、b两上实数点的位置， 如下图所示,A. 2a B. 2a C.0 D. 2b那么|a b| |a b |化简的结果等于（）“ 6 h *4.有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数?K5.设三个互不相等的有理数，既可表示为 1, a b,a的形式式，又可表示为 0, ，b的形式，求a2006 , 2007a b 。6.三个有理数a,b,c的积为负数，和为正数，且X|ab| |be| |ac|ab be acax

3、3 bx2 cx 1的值是多少?| a b | | b c| 的值。7.若 a, b,c为整数，且 | a b |2007 | c a |2007 1 ,试求 |c a |第二讲有理数（二）、【能力训练点】：1、 绝对值的几何意义|a| |a 0|表示数a对应的点到原点的距离。 |a b|表示数a、b对应的两点间的距离。2、 利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。二、【典型例题解析】：试化简|x 1| |x 2|1 若 2 a 0,化简 |a 2| |a 2| 23.若 | x 5|x 2| 7，求x的取值范围。4.已知 f (x) | x 1|x 2| |x 3| L|x 2002 |求f（

4、x）的最小值。5若 | a b 1| 与(a2b 1）互为相反数，求3a 2b 1的值。6.如果abc 0，求回凹凹的值。a b c7. x是什么样的有理数时|(x 2) (x 4)| |x 2| |x 4|等式成立?第三讲有理数（三）【能力训练点】1、 运算的分级与运算顺序；2、 有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。3、 巧算的一般性技巧：4、综合运用有理数的知识解有关问题。二、【典型例题解析】:21 计算：0.7 1 36.6 2.270.7 3.3 -1173118凑整（凑0）； 巧用分配律 去、添括号法则； 裂项法1111 111111111 ,2. (1 丄1 L)(_1 L)(

5、1 L)(-L2319962 341997231997234119963.计算：Sn22 1 32 1 42 122 1 32 1 42 1n2 1n2 11 2 3 4 n4.比较2 4 3 16 L歹与2的大小。15.计算(1)-41 1 128 70 1301208299 101第四讲代数式(一)(2)代数式的意义;-、【能力训练点】：(1)列代数式；(3)代数式的求值(整体代入法)二、【典型例题解析】：1.求代数式的值：(1)已知2a b 5，求代数式2(2a b) 3(a b)的值。 a b a b 2a b2 2(2)已知x 2y 5的值是7,求代数式3x 6y 4的值。(3)已知

6、1 1 3，求2a 2b ab的值。b a a b 2ab(4)已知：当x 1时，代数式Px3 qx 1的值为2007，求当x 1时，代数式Px3 qx 1的值。(5)已知等式(2A 7B)x (3A 8B) 8x 10对一切x都成立，求 A、B的值。(6)已知(1 x)2(1 x) a bx ex2 dx3，求 abed 的值。(7)当多项式m2 m 1 0时，求多项式m3 2m2 2006的值。2.已知多项式 2y 5x2 9xy2 3x 3nxy2my 7经合并后，不含有 y的项，求2mn的值。3.当50 (2a 3b)2达到最大值时，求1 4a229b的值。4.若a,b,e互异，且 ，

7、求x y Z的值。e a 2 25.已知 m mn 15, mn n2 96，求3m mn 2n的值。6.已知abe1, 求aab a 1be b 1的值。ae e 17.已知ab 1，比较M N的大小。8.已知x2 x 1 0 ,求x3 2x 1的值。x9.已知 y zK，求K的值。x y10. a 355,b444 ,c533，比较a,b,c的大小。11.已知2a23a 50，求 4a4 12a3 9a2 10 的值。第五讲一元一次方程（一）一、【能力训练点】：1、等式的性质。2、一元一次方程的定义及求解步骤。3、一元一次方程的解的理解与应用。4、一元一次方程解的情况讨论。二、【典型例题解

8、析】：1.能否从（a 2）x b 3；得到x ，为什么？反之，能否从a 2为什么？得到(a 2)x b 3， a 22.若关于x的方程2kx m3x nk2 ，无论K为何值时，它的解总是 x 1，求m、n的值。63.若(3x 1)5 a5x5 a4x4 La-ixa。求 a5a4a3 a2a1a的值。114.已知x 1是方程一mx 3x 的解，求代数式（m2 7m 9）2007的值。225.关于x的方程（2 k 1）x 6的解是正整数，求整数 K的值。6.关于x的一元一次方程（m2 1）x2 （m 1）x 8 0求代数式200（m x）（x 2m） m的值。7.解方程丄 L x 20061 2

9、 2 3 3 4 2006 20078.当a满足什么条件时，关于 x的方程|x 2| |x 5| a，有一解；有无数解；无解。第六讲一元一次方程（2）一、 【能力训练点】：1、 列方程应用题的一般步骤。2、 禾U用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、禾U润问题、增长率问题）二、 【典型例题解析】1.要配制浓度为 20%勺硫酸溶液100千克，今有98%勺浓硫酸和10%勺硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？2一项工程由师傅来做需 8天完成，由徒弟做需 16天完成，现由师徒同时做了 4天，后因师傅有事离 开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？3某市场鸡蛋买卖按个数计价，一

10、商贩以每个 0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了 12个,剩下的蛋以每个0.28元售出，结果仍获利11.2元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋?4 .一个三位数，十位上的数比个位上的数大4,个位上的数比百位上的数小 2,若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为 7:4，求原来的三位数?1 15 一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的 后，用水加满，第二次倒出它的 后用水加满，这时容32器中的酒精浓度为 25%求原来酒精溶液的浓度。6.某中学组织初一同学春游，如果租用 45座的客车，则有15个人没有座位；如果租用同数量的 60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用 4

11、5座的客车日租金为每辆车 250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？7.有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用 24部A型抽水机，6天可抽干池水，若用 21部A型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多 只能用多少部 A型抽水机抽水？第七讲：线段和角【能力训练点】：数线段数角数三角形问题1、直线上有n个点，可以得到多少条线段？ A 3 C B分析： 点线段33 =1+246=1+2+3510=1+2+3+4615=1+2+3+4+5n 1+2+3+(n-1)=问题2.如图，在/ AOB内部从0点引出两条射

12、线OC 0D则图中小于平角的角共有()个(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6拓展：1、 在/ AOB内部从0点引出 射线 角13 =1+226=1+2+3310=1+2+3+4n条射线图中小于平角的角共有多少个?n 1+2+3+(n+1)=类比：从0点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个?射线 角2133 =1+246=1+2+3510=1+2+3+4n n 1n1+2+3+(n-1)=类比联想：如图，可以得到多少三角形?(二)与线段中点有关的问题线段的中点定义：文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点A M B图形语言：几何语言： M是线段AB的中点1二

13、 AM BM AB , 2AM 2BM AB2【典型例题】：1.由下列条件一定能得到“ P是线段AB的中点”的是( )1 1(A) AP=AB ( B) AB= 2PB ( C) AP= PB ( D) AP= PB=AB2 212.若点B在直线AC上，下列表达式： AB - AC :AB=BCAC=2ABAB+BC=AC2其中能表示B是线段AC的中点的有(A.1个13.如果点C在线段AB上,下列表达式 AC=_AB;AB=2BCAC=BCAC+BC=AB ,能表示C是AB中点的有（A.1个B.2个 C.3个 D.4 个第八讲：与三角形有关的线段一、 【能力训练点】：1三角形的边三角形三边定理

14、：三角形两边之和大于第三边即： ABC中，a+bc,b+ca,c+ab （两点之间线段最短）由上式可变形得到： ac b, ba c, cb a即有：三角形的两边之差小于第三边2.高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。3.中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线4.角平分线：三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角 平分线二、 【典型例题】1已知三角形三边分别为 2,a-1,4,那么a的取值范围是（）A.1a5 B.2a6 C.3a7 D.4ab，贝U a+cb+c （ a-cb-c ）。

15、性质2:不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。若 ab 且 c0，则 acbc。性质3:不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。若 ab 且 c0，则 acb则（1）当x1xa时，贝y x a，即“大大取大”b(2 )当xa时，贝V x b，即“小小取小”xb(3 )当xa时，贝U b x a，即“大小小大取中间xb(4 )当x时，则无解，即“大大小小取不了”xb二、【典型例题】：K1.若不等式axb的解集是x ，则a的范围是（ ）aA a0 B 、aw 0 C 、a0 D 、 av02 .解关于x的不等式 mx 2 3m 5x3 .若不等式m x 2x

16、1和3x 5 0是同解不等式，求 m的值。x 8 4x 14.若不等式组 的解是x3，则m的取值范围是（ ）x mA m 3 B . m 3 C . m 3 D . m 32x 3（x 3） 15.关于x的不等式组 3x 2 有四个整数解，则 a的取值范围是（ ）x a4A.115115115115aB .aC .a-D .a424242426已知关于x、y的方程组 x 2y a 1的解适合不等式2x y 1，求a的取值范围x y 2a 1第十二讲：一元一次不等式（组）的应用一、【能力训练点】：1能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有 关冋题。

17、2.能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的 能力。3能够用分类讨论思想解有关问题。4能利用不等式解决实际问题1 m取什么样的负整数时，关于x的方程lx 1m的解不小于一3.22 .已知x、y满足x 2y a2x y 2a 10且x 3y 1，求a的取值范围、【典型例题】3 比较a2 3a 1和a2 2a 5的大小4某饮料厂开发了 A、B两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各 2800克进行试生产，计划生产 A B两种饮料共100瓶，设生产 A种饮料x瓶， 解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产

18、方案？写出解答过程； （2）如果A种饮料每瓶的成本为 2.60元，B种饮料每瓶的成本为 2.80元，这两种饮料成本总额为y元，请写出y与x之间的关系式，并说明x取何值会使成本总额最低?B甲20克乙40克30克20克5 某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按 120个工时计算）生产空调器,彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产 40台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表： 问：每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少万元？家电名称空调器彩电冰箱工时（个）111234产值（万元/台）0.40.30.2八年级BC边的中点，将此三角形沿 D

19、E折叠，使点C落在AB边上的 ）D. 58C第一讲 全等三角形的性质与判定一、 【能力训练点】：1能够完全重合的两个三角形叫全等三角形 全等三角形的形状和大小完全相同；2.全等三角形性质：全等三角形对应边相等，对应角相等；全等三角形对应高、角平分线、中线相 等；全等三角形对应周长相等，面积相等；3全等三角形判定方法有： SAS,ASA,AAS,SSS对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外,还有HL法；4证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找 出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对 它们

20、进行证明；5.证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需 要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、 截取等等二、 【经典练习】1.（绍兴）如图， D E分别为 ABC的AC 点 P处若/ CDE= 48，则/ APD等于（A. 42 B. 48 C. 522.如图，Rt ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到 DEF下列结论中错误的是（C.B.Z DEQ 90 AC = DF D . E0= CF3一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D

21、在同一条直线上.求证：AB丄ED若PB= BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明如图， BD4.（第21届江苏竞赛试题）已知，长线，BP= AC,点 Q在 CE上, CQ= AB.求证:5.如图,AB = CD, AB /CD. BC= 12cm,同时有P、Q两只蚂蚁从点 C出发，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q 的速度是 0.2cm/s.求爬行时间t为多少时，AA PB QDC.6.如图, ABC中，/ BCA= 90, AC= BC, AE是BC边上的中线，过 C作CF丄AE,垂足为 F,过B作BEBD丄BC交CF的延长线于 D.求证：AE= CD若AC= 12c

22、m,求BD的长.7如图，将等腰直角三角板 ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点 A、B分别作I的垂线，垂足分别为D E.D C E l找出图中的全等三角形，并加以证明；若DE= a,求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）& 如图，AD为在 ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF= AC, FD= CD. 求证：BE! AC;若把条件“ BF= AC和结论“ BE丄AC互换，这个命题成立吗？证明你的判定A9 .如图，D为在 ABC的边BC上 一点，且 CD= AB,/ BDA=Z BAD人丘是厶ABD的中线.求证：AC= 2AE.10.如图，在凸四边形 ABCD中, E为厶 ACD内一点，满足 AC= AD, AB= AE, / BAEZ BCE= 90 , / BAC =Z EAD.求证：Z CED= 90 .11.（沈阳）将两个全等的直角三角形 ABC和DBE按图方式摆放，其中Z ACB=Z DEB= 90,Z A=ZD=30，点E落在AB上, DE所在直线交AC所在直线于点F.求证：AF+ EF= DE;若将图中 DBE绕点B顺时针方向旋转角 a,且0VaV 60,其他条件不变，请在图中 画出变换后的图形，并直接写出（1 ）中结论是否仍然成立；若将图中 DBE绕点B按顺时针方向旋转角 B,且603 180 ,其他条件不