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1、版高考数学一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、知识梳理1两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类方案在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有Nmn种不同的方法完成这件事共有Nmn种不同的方法2.两个计数原理的区别分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才

2、算完成常用结论三个易错点(1)应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步(2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准(3)分步要做到“步骤完整”，步步相连二、教材衍化1已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为()A16 B13C12 D10解析：选C.将4个门编号为1，2，3，4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2，3，4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法4312(种)2如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路，从C城到D城有5条路，则某旅客从A城到D城共有_条不同的路线解析：不同路线共有344532(条)答案：3

3、23已知集合M1，2，3，N4，5，6，7，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是_解析：分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是326.答案：6一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()(4)在分步乘法计数原理中，事件是分两步完成的，其中任何

4、一个单独的步骤都能完成这件事()答案：(1)(2)(3)(4)二、易错纠偏1从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()A30 B20C10 D6解析：选D.从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加和为偶数可分为两类，取出的两数都是偶数，共有3种方法；取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N336(种)2某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为_解析：3个新节目一个一个插入节目单中，分别有7，8，9种方法，所以不同的插法种数为7

5、89504.答案：5043书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书从书架上任取1本书，不同的取法种数为_，从第1，2，3层分别各取1本书，不同的取法种数为_解析：由分类加法计数原理知，从书架上任取1本书，不同的取法种数为45615.由分步乘法计数原理知，从1，2，3层分别各取1本书，不同的取法种数为456120.答案：15120分类加法计数原理(典例迁移) (1)椭圆1(m0，n0)的焦点在x轴上，且m1，2，3，4，5，n1，2，3，4，5，6，7，则这样的椭圆的个数为()A10 B12C20 D35(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字

6、的两位数的个数为_【解析】(1)因为焦点在x轴上，mn，以m的值为标准分类，由分类加法计数原理，可分为四类：第一类：m5时，使mn，n有4种选择；第二类：m4时，使mn，n有3种选择；第三类：m3时，使mn，n有2种选择；第四类：m2时，使mn，n有1种选择故符合条件的椭圆共有10个故选A.(2)根据题意，将十位上的数字按1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8765432136(个)【答案】(1)A(2)36【迁移探究1】(变条件)在本例(1)中，若m1，2，k

7、，n1，2，k(kN+)，其他条件不变，这样的椭圆有多少个？解：因为mn.当mk时，n1，2，k1.当mk1时，n1，2，k2.当m3时，n1，2.当m2时，n1.所以共有12(k1)(个)【迁移探究2】(变条件)若本例(2)条件变为“个位数字不小于十位数字”，则这样的两位数的个数是多少？解：分两类：一类：个位数字大于十位数字的两位数，由本例(2)知共有36个；另一类：个位数字与十位数字相同的有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个由分类加法计数原理知，共有36945(个)分类加法计数原理的两个条件(1)根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类(

8、2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理 1如图，从A到O有_种不同的走法(不重复过一点)解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有ABO和ACO 2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有ABCO和ACBO 2种不同的走法由分类加法计数原理可得共有1225(种)不同的走法答案：52如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2，且a2a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为_解析：若a22，则百位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数

9、”为120与121，共2个若a23，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有236(个)若a24，满足条件的“凸数”有3412(个)，若a29，满足条件的“凸数”有8972(个)所以所有凸数共有26122030425672240(个)答案：240分步乘法计数原理(典例迁移) (1)将4封不同的信投入3个信箱，不同的投法种数为()A96 B81C64 D24(2)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18C12 D9(3)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多

10、参加一项，则共有_种不同的报名方法【解析】(1)每封信都有3种不同的投法，由分步乘法计数原理可得，4封信共有33333481种不同的投法故选B.(2)由题意可知EF共有6种走法，FG共有3种走法，由分步乘法计数原理知，共有6318种走法，故选B.(3)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有654120(种)【答案】(1)B(2)B(3)120【迁移探究1】(变条件)若本例(3)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不

11、同的报名方法？解：每人都可以从这三个智力项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36729(种)【迁移探究2】(变条件)若将本例(3)条件中的“每人至多参加一项”改为“每人参加的项目数不限”，其他不变，则有多少种不同的报名方法？解：每人参加的项目数不限，因此每一个项目都可以从六人中任选一人，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63216(种)利用分步乘法计数原理解题的策略(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总方法

12、数提醒分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成 1如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有_种解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26163种可能情况答案：632从1, 0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)ax2bxc的系数，则可组成_个不同的二次函数，其中偶函数有_个(用数字作答)解析：一个二次函数对应着a，b，c(a0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c

13、的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有33218(个)二次函数若二次函数为偶函数，则b0，同上可知共有326(个)偶函数答案：186两个计数原理的综合应用(多维探究)角度一涂色、种植问题 (2020重庆模拟)某地行政区域如图，请你用4种不同的颜色为每个区域涂色，要求相邻区域不同色，共有_种不同的涂色方法(用具体数字作答)【解析】假设按abcde顺序涂色对于a有4种涂色的方法，对于b有3种涂色方法，对于c有2种涂色方法，对于e：若c与d颜色相同，则有2种涂色方法，若c与d颜色不相同，则只有1种涂色方法故共有432(21)72种不同的涂色方法【答案】72角度二与几何有关的问题 (1)如果一条直线与

14、一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A60 B48C36 D24(2)如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_个(用数字作答)【解析】(1)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6636，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6212，故符合条件的“平行线面组”的个数是361248.(2)把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8432(个)第二类，有两条公共边的三角形共有8个由分类加法计数原理

15、知，共有32840(个)【答案】(1)B(2)40角度三排数与排队问题 (1)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A144个 B120个C96个 D72个(2)生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有()A24种 B36种 C48种 D72种【解析】(1)首位为5，末位为0：43224(个)；首位为5，末位为2：43224(个)；首位为5，末位为4：43224(个)；首位为4，末位为0

16、：43224(个)；首位为4，末位为2：43224(个)由分类加法计数原理，得共有2424242424120(个)故选B.(2)分两类：第一道工序安排甲时有114312(种)；第一道工序不安排甲时有124324(种)所以共有122436(种)故选B.【答案】(1)B(2)B利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类(3)弄清分步、分类的标准是什么(4)利用两个计数原理求解1如图，用6种不同的颜色分别给图中A，B，C，D四块区域涂色，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A400种 B460种C480种 D496种解析：

17、选C.完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色当使用4种颜色时：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D有3种，完成此事共有6543360种方法；当使用3种颜色时：A，D使用同一种颜色，从A，D开始，有6种方法，B有5种，C有4种，完成此事共有654120种方法由分类加法计数原理可知：不同的涂法有360120480(种)2如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与该平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A48 B18C24 D36解析：选D.分类讨论：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这

18、样的“正交线面对”有21224(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个所以正方体中“正交线面对”共有241236(个) 基础题组练1从集合0，1，2，3，4，5，6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数的个数是()A30 B42C36 D35解析：选C.因为abi为虚数，所以b0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6636个虚数2已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A40 B16C13 D10解析：选C.分两类情况讨论：第1类，直线a分别与直线b

19、上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面根据分类加法计数原理知，共可以确定8513个不同的平面3已知集合Px，1，Qy，1，2，其中x，y1，2，3，9，且PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是()A9 B14C15 D21解析：选B.因为Px，1，Qy，1，2，且PQ，所以xy，2所以当x2时，y3，4，5，6，7，8，9，共7种情况；当xy时，x3，4，5，6，7，8，9，共7种情况故共有7714种情况，即这样的点的个数为14.4从集合1，2，3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列

20、，这样的等比数列的个数为()A3 B4C6 D8解析：选D.当公比为2时，等比数列可为1，2，4或2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为时，等比数列可为4，6，9.同理公比为，时，也有4个故共有8个等比数列5(2020兰州模拟)将边长为3的正方形ABCD的每条边三等分，使之成为33表格将其中6个格染成黑色，使得每行每列都有两个黑格的染色方法的种数为()A12 B6C36 D18解析：选B.根据题意可按照列选择染色的元素，第一列可有3种选择方式，第一列方格标号为1，2，3.当第一列选定时比如选定1，2，第二列有两种选择，染第一行和第三行，或者染第二行和第三行，当第二列确定时，

21、第三列也就确定了故共326种染色方法故选B.6在如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为()A24种 B48种C72种 D96种解析：选C.分两种情况：(1)A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有43224(种)(2)A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有432248(种)综上两种情况，不同的涂色方法共有482472(种)7某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第

22、一个号码(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()A180种 B360种C720种 D960种解析：选D.按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法因此车牌号码可选的所有可能情况有53444960(种)8直线l：1中，a1，3，5，7，b2，4，6，8若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为()A6 B7C8 D16解析：选B.l与坐标轴围成的三角形的面积为Sab10，即ab20.当a1时，不满足；当a3时，b8，即1条当a5，7时，b4，6，

23、8，此时a的取法有2种，b的取法有3种，则直线l的条数为236.故满足条件的直线的条数为167.故选B.9一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复(除交汇点O外)的不同游览线路有()A6种 B8种C12种 D48种解析：选D.从P点处进入结点O以后，游览每一个景点所走环形路线都有2个入口(或2个出口)，若先游览完A景点，再进入另外两个景点，最后从Q点处出有(44)216种不同的方法；同理，若先游览B景点，有16种不同的方法；若先游览C景点，有16种不同的方法，因而所求的不同游览线路有31648(种)10我们把各位数字之和为6

24、的四位数称为“六合数”(如2 013 是“六合数”)，则首位为2的“六合数”共有()A18个 B15个C12个 D9个解析：选B.依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4，0，0组成3个数分别为400，040，004；由3，1，0组成6个数分别为310，301，130，103，013，031；由2，2，0组成3个数分别为220，202，022；由2，1，1组成3个数分别为211，121，112.共计：363315(个)11满足a，b1，0，1，2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()A14 B13C12 D10解析：选B.当a0时，关于x的方程为

25、2xb0，此时有序数对(0，1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)均满足要求；当a0时，44ab0，ab1，此时满足要求的有序数对为(1，1)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，1)，(2，1)，(2，0)综上，满足要求的有序数对共有13个，故选B.12将1，2，3，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法有()34A.6种 B12种C18种 D24种解析：选A.根据数字的大小关系可知，1，2，9的位置是固定的，如图所示，则剩余5，6，7，8这4个数字，而8只能放在A或B处，若

26、8放在B处，则可以从5，6，7这3个数字中选一个放在C处，剩余两个位置固定，此时共有3种方法，同理，若8放在A处，也有3种方法，所以共有6种方法.12D34ACB913.从集合1，2，3，4，10中，选出5个数组成子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有_个解析：将和等于11的数放在一组：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.从每一小组中取一个，有C2种，共有2222232个子集答案：3214从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学生委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_种(用数字作答)解析：第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不

27、能担任，所以从剩下的3人中选1人担任文娱委员，有3种选法第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有34336(种)答案：3615.(一题多解)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有_种解析：法一：首先涂A有4种涂法，则涂B有3种涂法，C与A，B相邻，则C有2种涂法，D只与C相邻，则D有3种涂法，所以共有432372种涂法法二：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂

28、法，共有432124种涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有43224种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，所以不同的涂法共有2424272(种)答案：7216在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有_种解析：分两步安排这8名运动员第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排故安排方式有43224(种)第二步：安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有54321120(种)故安排这8人的方式共有241202 880(种)答案：2 880综合题组练1用六种不同的颜色给如图所示的