1、第5讲 同余的概念和性质第5讲 同余的概念和性质解题思路:理解并熟记同余的性质,运用同余性质把数化小、化易。同余定义:若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为: ab(modm). 性质1:若ab(mod m),bc(mod m),那么ac(mod m),(传递性)。性质2:若ab(mod m),cd(mod m),那么acbd(mod m),(可加减性)。性质3:若ab(mod m),cd(mod m),那么acbd(mod m)(可乘性)。性质4:若ab(mod m),那么anbn(mod m),(其中n为自然数)。性质5:若acbc(mod m),
2、(c,m)=1,那么ab(mod m),(记号(c,m)表示c与m的最大公约数)。例1 判定288和214对于模37是否同余,74与20呢?例2 求乘积4188141616除以13所得的余数。例3 求14389除以7的余数。例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯,且每30秒钟灯的颜色改变一次,第一次上下两灯互换颜色,第二次左右两灯互换颜色,第三次又上下两灯互换颜色,这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列?十位,上的数码,再设M=,求证:NM(mod 9)例6 求自然数的个位数字。习题1.验证对于任意整数a、b,式子ab(mod1)成立,并说出它的含义。2.已知自然数a、b、c,其中c3
3、,a除以c余1,b除以c余2,则ab除以c余多少?3.1993年的六月一日是星期二,这一年的十月一日是星期几?4.求3333555555553333被7除的余数。5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面?6. 数,被13除余多少?7.求1993100的个位数字.第五讲 同余的概念和性质你会解答下面的问题吗?问题1:今天是星期日,再过15天就是“六一”儿童节了,问“六一”儿童节是星期几?这个问题并不难答.因为,一个星期有7天,而157=21,即1572+1,所以“六一”儿童节是星期一。问题2:1993年的元旦是星期五,1994年的元旦是星期几?这个问题也难不倒我们.因为,1993年有3
4、65天,而365=752+1,所以1994年的元旦应该是星期六。问题1、2的实质是求用7去除某一总的天数后所得的余数.在日常生活中,时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除,所得的余数问题.这样就产生了“同余”的概念.如问题1、2中的15与365除以7后,余数都是1,那么我们就说15与365对于模7同余。同余定义:若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:ab(modm). (*)上式可读作:a同余于b,模m。同余式(*)意味着(我们假设ab):a-b=mk,k是整数,即m(a-b).例如:15365(mod7),因为365-15=350=750。562
5、0(mod9),因为56-20=3694。900(mod10),因为90-090=109。由例我们得到启发,a可被m整除,可用同余式表示为:a0(modm)。例如,表示a是一个偶数,可以写a0(mod 2)表示b是一个奇数,可以写b1(mod 2)补充定义:若m(a-b),就说a、b对模m不同余,用式子表示是:ab(modm)我们书写同余式的方式,使我们想起等式,而事实上,同余式与等式在其性质上相似.同余式有如下一些性质(其中a、b、c、d是整数,而m是自然数)。性质1:aa(mod m),(反身性)这个性质很显然.因为a-a=0=m0。性质2:若ab(mod m),那么ba(mod m),(
6、对称性)。性质3:若ab(mod m),bc(mod m),那么ac(mod m),(传递性)。性质4:若ab(mod m),cd(mod m),那么acbd(mod m),(可加减性)。性质5:若ab(mod m),cd(mod m),那么acbd(mod m)(可乘性)。性质6:若ab(mod m),那么anbn(mod m),(其中n为自然数)。性质7:若acbc(mod m),(c,m)=1,那么ab(mod m),(记号(c,m)表示c与m的最大公约数)。注意同余式性质7的条件(c,m)1,否则像普通等式一样,两边约去,就是错的。例如610(mod 4),而35(mod 4),因为(
7、2,4)1。请你自己举些例子验证上面的性质。同余是研究自然数的性质的基本概念,是可除性的符号语言。例1 判定288和214对于模37是否同余,74与20呢?解:288-214=74=372。288214(mod37)。74-20=54,而3754,7420(mod37)。例2 求乘积4188141616除以13所得的余数。分析 若先求乘积,再求余数,计算量太大.利用同余的性质可以使“大数化小”,减少计算量。解:4182(mod13),8148(mod13),16164(mod13), 根据同余的性质5可得:41881416162846412(mod13)。答:乘积4188141616除以13余
8、数是12。例3 求14389除以7的余数。分析 同余的性质能使“大数化小”,凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小.这道题先把底数在同余意义下变小,然后从低次幂入手,重复平方,找找有什么规律。解法1:1433(mod7)14389389(mod 7)8964+16+8+1而322(mod 7),344(mod7),38162(mod 7),3164(mod 7),332162(mod 7),3644(mod 7)。38936431638344235(mod 7),143895(mod 7)。答:14389除以7的余数是5。解法2:证得14389389(mod 7)后,363234241
9、(mod 7),384(36)141(mod 7)。3893843431435(mod 7)。143895(mod 7)。例4 四盏灯如图所示组成舞台彩灯,且每30秒钟灯的颜色改变一次,第一次上下两灯互换颜色,第二次左右两灯互换颜色,第三次又上下两灯互换颜色,这样一直进行下去.请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列?分析 与解答经观察试验我们可以发现,每经过4次互换,四盏灯的颜色排列重复一次,而1小时=60分钟=12030秒,所以这道题实质是求120除以4的余数,因为1200(mod 4),所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。十位,上的数码,再设M=a0a1an,求证:NM(mod 9
10、)。分析 首先把整数N改写成关于10的幂的形式,然后利用101(mod 9)。又 11(mod 9),101(mod 9),1021(mod 9),10n1(mod 9),上面这些同余式两边分别同乘以a0、a1、a2、an,再相加得:a0a110+a2102+an10na0a1a2an(mod 9),即 NM(mod 9).这道例题证明了十进制数的一个特有的性质:任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可。例如,求1827496被9除的余数,只要先求(1+827496),再求和被9除的余数。再观察一
11、下上面求和式.我们可以发现,和不一定要求出.因为和式中18,2+7,9被9除都余0,求余数时可不予考虑.这样只需求46被9除的余数.因此,1827496被9除余数是1。有人时常利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对,这种检查方法叫:弃九法。弃九法最经常地是用于乘法.我们来看一个例子。用弃九法检验乘式5483911749888511是否正确?因为 54835483112(mod 9),911791170(mod 9),所以 54839117200(mod 9)。但是 498885114+98+8+85+1+18(mod9),所以 5483911749888511,即乘积不正
12、确。要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确,但不能保证一定正确。例如,987598+7+52(mod 9),487348734(mod 9),324756893+2+4+75+6+8+98(mod 9),这时,987548732432475689(mod 9)。但观察个位数字立刻可以判定9875487332475689.因为末位数字5和3相乘不可能等于9。弃九法也可以用来检验除法和乘方的结果。例6 用弃九法检验下面的计算是否正确:2337245873123544。解:把除式转化为:3544731223372458。 354435447(mod 9),731273124(mod 9), 3
13、5447312741(mod 9),但 2337245823387(mod 9)。而 17(mod 9) 3544731223372458,即 2337245873123544。例7 求自然数210031014102的个位数字。分析 求自然数的个位数字即是求这个自然数除以10的余数问题。解:210024256256(mod 10),3101342531125313(mod 10),4102(22)10042666(mod 10), 2100310141026365(mod 10),即自然数210031014102的个位数字是5.习题五1.验证对于任意整数a、b,式子ab(mod1)成立,并说出
14、它的含义。2.已知自然数a、b、c,其中c3,a除以c余1,b除以c余2,则ab除以c余多少?3.1993年的六月一日是星期二,这一年的十月一日是星期几?4.求3333555555553333被7除的余数。5.所有自然数如下图排列.问300位于哪个字母下面?6.数,被13除余多少?(提示:先试除,可知13|111111,而19931(mod 6)。7.用弃九法检验下面运算是否正确:845372=315340;1234567891=838114385;11441926132899739459。8.求1993100的个位数字.习题五解答1.例:1|a-b,23(mod 1),715(mod 1),
15、式子ab(mod 1)的含义是:任意整数a、b对模1同余.整数是模1的同余类。2.解:a1(mod c),b2(mod c),ab2(mod c)即ab除以c余2。3.1993年的十月一日是星期五。4.解: 33331(mod 7), 333355551(mod 7)。又 55554(mod 7), 5555333343333(mod 7)。而 431(mod 7), 43333(43)11111(mod 7), 33335555+555533331+12(mod 7),即 3333555555553333被7除余2。5.解: 3006(mod 7)。 300与6在同一列,在D下面。6.答:余1。7.不正确;不正确;不正确。8.1.
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