初一几何难题练习题含答案解析.docx

1、初一几何难题练习题含答案解析1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。例1. 已知:如图1所示,ABC 中,=C AC BC AD DB AE CF 90,。 求证:DE =DFCFBA ED图1分析:由ABC 是等腰直角三角形可知,=A B 45,由D 是AB 中点,可考虑连结CD ,易得CD AD =,=DCF 45。从而不难发现DCF DAE 证明:连结CDAC BC

2、 A BACB AD DBCD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD=90,=A D E CDFDE DF说明:在直角三角形中,作斜边上的中线是常用的辅助线;在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然,在等腰直角三角形中,更应该连结CD ,因为CD 既是斜边上的中线,又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ,使DG =DE ,连结BG ,证EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。例2. 已知:如图2所示,AB =CD ,AD =BC ,AE =CF 。 求证:E =FDBCF A图2证明:连结AC 在ABC 和CDA 中,AB CD

3、 BC AD AC CA ABC CDA SSS B D AB CD AE CFBE DF=,(在BCE 和DAF 中,BE DF B D BC DA BCE DAF SAS E F=(说明:利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线,制造全等三角形,这时应注意:(1制造的全等三角形应分别包括求证中一量; (2添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行,可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直,可转化为证一个角等于90,或利用两个锐角互余,或等腰三角形“

4、三线合一”来证。例3. 如图3所示,设BP 、CQ 是ABC 的内角平分线,AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。求证:KH BCBC MNQ PKH 图3分析:由已知,BH 平分ABC ,又BH AH ,延长AH 交BC 于N ,则BA =BN ,AH =HN 。同理,延长AK 交BC 于M ,则CA =CM ,AK =KM 。从而由三角形的中位线定理,知KH BC 。证明:延长AH 交BC 于N ,延长AK 交BC 于M BH 平分ABC =ABH NBH 又BH AH=A H BN H B 90 BH =BH=ABH NBH ASA BA BN AH HN(,同理,CA =CM

5、 ,AK =KM KH 是AMN 的中位线 KH MN / 即KH/BC说明:当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时,则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折(轴对称而成一个等腰三角形。例4. 已知:如图4所示,AB =AC ,A AE BF BD DC =90。 求证:FD EDBC A FED 321图4证明一:连结ADAB AC BD DCDAE DABBAC BD DCBD ADB DAB DAE=+=,129090在ADE 和BDF 中,AE BF B DAE AD BD ADE BDFFD ED=+=,313290说明:有等腰三角形条件时,作

6、底边上的高,或作底边上中线,或作顶角平分线是常用辅助线。证明二:如图5所示,延长ED 到M ,使DM =ED ,连结FE ,FM ,BMBCA EFD M图5BD DCBDM CDE DM DE BDM CDE CE BM C CBM BM ACA ABM AAB AC BF AE AF CE BM=,/9090=AEF BFM FE FM DM DEFD ED说明:证明两直线垂直的方法如下:(1首先分析条件,观察能否用提供垂直的定理得到,包括添常用辅助线,见本题证二。(2找到待证三直线所组成的三角形,证明其中两个锐角互余。 (3证明二直线的夹角等于90。3、证明一线段和的问题(一在较长线段上

7、截取一线段等一较短线段,证明其余部分等于另一较短线段。(截长法例5. 已知:如图6所示在ABC 中,=B 60,BAC 、BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。求证:AC =AE +CD图6B CAEDF O142356分析:在AC 上截取AF =AE 。易知AEO AFO ,=12。由=B 60,知+=+=566016023120,。=123460,得:FOC DOC FC DC =,证明:在AC 上截取AF =AE(=BAD CAD AO AOAEO AFO SAS ,42又=B 60+=+=566016023120123460FOC DOC AAS FC DC(即AC AE CD

8、=+(二延长一较短线段,使延长部分等于另一较短线段,则两较短线段成为一条线段,证明该线段等于较长线段。(补短法例6. 已知:如图7所示,正方形ABCD 中,F 在DC 上,E 在BC 上,=EAF 45。 求证:EF =BE +DFGB EC AFD123图7分析:此题若仿照例1,将会遇到困难,不易利用正方形这一条件。不妨延长CB 至G ,使BG =DF 。证明:延长CB 至G ,使BG =DF在正方形ABCD 中,=ABG D AB AD 90,=ABG ADF SAS AG AF (,13又=EAF 45+=+=23452145即GAE =FAE =+GE EFEF BE DF4、中考题:

9、如图8所示,已知ABC 为等边三角形,延长BC 到D ,延长BA 到E ,并且使AE =BD ,连结CE 、DE 。 求证:EC =EDE BDF AC 图8证明:作DF/AC 交BE 于F ABC 是正三角形 BFD 是正三角形 又AE =BD=AE FD BF BA AF EF即EF =ACAC FDEAC EFD EAC DFE SAS EC ED/(=题型展示:证明几何不等式:例题:已知:如图9所示,=12,AB AC 。 求证:BD DC D B A1C 2E图9证明一:延长AC 到E ,使AE =AB ,连结DE 在ADE 和ADB 中,AE AB AD AD ADE ADBBD

10、DE E B DCE B DCE EDE DC BD DC=,21证明二:如图10所示,在AB 上截取AF =AC ,连结DFD BA2C 1F 图1043则易证ADF ADC =3434,DF DC BFD B BFD B BD DF BD DC说明:在有角平分线条件时,常以角平分线为轴翻折构造全等三角形,这是常用辅助线。【实战模拟】1. 已知:如图11所示,ABC 中,=C 90,D 是AB 上一点,DE CD 于D ,交BC 于E ,且有AC AD CE =。求证:DE CD =12C图11AB D E2. 已知:如图12所示,在ABC 中,=A B 2,CD 是C 的平分线。 求证:B

11、C =AC +ADA CBD图123. 已知:如图13所示,过ABC 的顶点A ,在A 内任引一射线,过B 、C 作此射线的垂线BP 和CQ 。设M 为BC 的中点。 求证:MP =MQBP MQCA 图134. ABC 中,=BAC AD BC 90,于D ,求证:(AD AB AC BC +14【试题答案】 1. 证明：取 CD 的中点 F，连结 AF C 4 1 F 3 E B A D Q AC = AD AFCD AFC = CDE = 90 又 1 + 4 = 90 ，1 + 3 = 90 4 = 3 Q AC = CE DACF DCED ( ASA CF = ED 1 DE =

12、CD 2 2. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一 条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截 成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等； “补短”即将一条短线段延长出另一条短 线段之长，证明其和等于长的线段。 E A D B 证明：延长 CA 至 E，使 CECB，连结 ED 在 DCBD 和 DCED 中， C CB = CE Q BCD = ECD CD = CD DCBD DCED B = E Q BAC = 2B BAC = 2E 又 BAC = ADE + E A D E= E， AD = AE BC = CE = AC + AE = AC + AD 3. 证明：延长 PM 交 CQ 于 R A Q B P M R C Q CQAP，BPAP BP / / CQ PBM = RCM 又 BM = CM，BMP = CMR DBPM DCRM PM = RM QM 是 RtDQPR 斜边上的中线 MP = MQ