江苏省南京师大附中届高三数学最后一卷试题06100153.docx

1、江苏省南京师大附中届高三数学最后一卷试题06100153江苏省南京师大附中届高三数学月最后一卷试题(满分分，考试时间分钟)一、 填空题：本大题共小题，每小题分，共分. 已知集合，则. 已知复数()()，其中是虚数单位若的实部与虚部相等，则实数的值为. 某班有学生人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为的样本已知号、号、号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是. 张奖券分别标有特等奖、一等奖和二等奖甲、乙两人同时各抽取张奖券，两人都未抽得特等奖的概率是. 函数()()的定义域为. 如图是一个算法流程图，则输出的值为(第题)(第题). 若正三棱柱的所有棱长均为，点为侧棱上任意一

2、点，则四棱锥的体积为. 在平面直角坐标系中，点在曲线：上，且在第四象限内已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为. 已知函数()()()(，)有相同的焦点，其左、右焦点分别为，.若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，且，则双曲线的离心率为. 在平面直角坐标系中，点的坐标为(，)，点是直线：上位于第一象限内的一点已知以为直径的圆被直线所截得的弦长为，则点的坐标为. 已知数列的前项和为，则满足 的正整数的所有取值为. 已知等边三角形的边长为，点，分别为线段，上的动点，则取值的集合为二、 解答题：本大题共小题，共分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. (本小题满分分)如图，在平面直角坐

3、标系中，以轴正半轴为始边的锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是.() 求()的值；() 若以轴正半轴为始边的钝角的终边与单位圆交于点，且点的横坐标为，求的值. (本小题满分分)如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是线段的中点求证：() 平面；() 平面. (本小题满分分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区，其中，分别在半圆与半圆的圆弧上，且与半圆相切于点.已知长为米，设为.(上述图形均视作在同一平面内)() 记四边形的周长为(

4、)，求()的表达式；() 要使改建成的展示区的面积最大，求 的值. (本小题满分分)在平面直角坐标系中，已知椭圆：()的左、右焦点分别为，且点，与椭圆的上顶点构成边长为的等边三角形() 求椭圆的方程；() 已知直线与椭圆相切于点，且分别与直线和直线相交于点，.试判断是否为定值，并说明理由. (本小题满分分)已知数列满足(*)，数列的前项和(*)，且，.() 求数列的通项公式；() 求数列的通项公式；() 设，记是数列的前项和，求正整数，使得对于任意的*均有. (本小题满分分)设为实数，已知函数()，() .() 当恒成立，求的取值范围；() 若函数()()()(，)有两个相异的零点，求的取值范

5、围届高三模拟考试试卷数学附加题(满分分，考试时间分钟). 【选做题】 在，三小题中只能选做两题，每小题分，共分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. (选修：矩阵与变换)已知矩阵，二阶矩阵满足.() 求矩阵；() 求矩阵的特征值. (选修：坐标系与参数方程)设为实数，在极坐标系中，已知圆 ()与直线()相切，求的值. (选修：不等式选讲)求函数的最大值【必做题】 第，题，每小题分，共分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 如图，在四棱锥中，平面，点为的中点() 求异面直线与所成角的余弦值；() 点在线段上，且，若直线与平面所成角的正弦值为，求的

6、值. 在平面直角坐标系中，有一个微型智能机器人(大小不计)只能沿着坐标轴的正方向或负方向行进，且每一步只能行进个单位长度，例如：该机器人在点(，)处时，下一步可行进到(，)、(，)、(，)、(，)这四个点中的任一位置记该机器人从坐标原点出发、行进步后落在轴上的不同走法的种数为()() 求()，()，()的值；() 求()的表达式届高三模拟考试试卷(南师附中)数学参考答案及评分标准. ，. . . . ，). . . . . . . (，). ，. . 解：因为锐角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标是，所以由任意角的三角函数的定义可知 .从而 .(分)() () ().(分)() 因为钝角的终边

7、与单位圆交于点，且点的横坐标是，所以 ，从而 .(分)于是() ().(分)因为为锐角，为钝角，所以(，)，(分)从而.(分). 证明：() 设，连结，四边形是矩形， ，. 是正方形对角线的交点， 是的中点又点是的中点， ，.四边形是平行四边形， .(分) 平面，平面， 平面.(分)() 正方形， .平面平面，平面平面，平面， 平面.(分) 平面， .(分)正方形， .由()可知点，分别是，的中点，且四边形是矩形 ，四边形是正方形，(分) .(分)又，且，平面，平面， 平面.(分). 解：() 连结.由条件得(，)在中，由余弦定理，得()( )(分)因为与半圆相切于点，所以，所以( )，所以

8、.(分)所以四边形的周长为() ，即() ，(，)(分)(没写定义域，扣分)() 设四边形的面积为()，则()( )，(，)(分)所以()( )( )，(，)(分)令()，得 .列表： (，)(，)()()增最大值减答：要使改建成的展示区的面积最大， 的值为.(分). 解：() 依题意，所以，所以椭圆的标准方程为.(分)() 因为直线分别与直线和直线相交，所以直线一定存在斜率(分)设直线：，由得()().由()()()，得.(分)把代入，得(，)，把代入，得(，)，(分)所以，(分)由式，得，把式代入式，得，即为定值.(分). 解：() ；(分)当时，.所以数列的通项公式为(*)(分)() 由

9、，得()，所以()()().由，得()，即()()()，所以()()().由，得()()()，(分)因为，所以，上式同除以()，得，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，故，*.(分)() 因为，(分)所以，.记()，当时，()()，所以当时，数列()为单调递减数列，当时，()().从而，当时，.(分)因此所以对任意的*，.综上，.(分)(注：其他解法酌情给分). 解：() 当时，因为()()，当；当时，()，所以对任意的及任意的恒成立由于，所以，所以对任意的恒成立(分)设()，则()，所以函数()在(， )上单调递减，在( ，)上单调递增，所以()( ) ，所以 .(分)() 由() ，得

10、()()，其中.若时，则()，所以函数()在(，)上单调递增，所以函数()至多有一个零零点，不合题意；(分)若.由第()小题知，当时，() ，所以，所以，所以当时，函数的值域为(，)所以存在，使得，即，且当，所以函数()在(，)上单调递增，在(，)上单调递减因为函数有两个零点，所以()() .设() ，则()，所以函数()在(，)上单调递增由于()，所以当时，()，所以式中的.又由式，得.由第()小题可知，当，即(，)(分)当(，)时，() 由于()()，所以()().因为，设() ，由于时， ，所以设()，即()时，且()()，同理可得函数()在(，)上也恰有一个零点综上，(，)(分)届高三

11、模拟考试试卷(南师附中)数学附加题参考答案及评分标准. . 解：() 由题意，由矩阵的逆矩阵公式得.(分)() 矩阵的特征多项式()()()，(分)令()，解得或，(分)所以矩阵的特征值为或.(分). 解：将圆 化成普通方程为，整理得().(分)将直线()化成普通方程为.(分)因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，(分)解得.(分). 解：因为()()()()，(分)所以.(分)当且仅当，即，时等号成立(分)所以的最大值为.(分). 解：() 因为平面，且，平面，所以，.因为，所以，两两互相垂直分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则由，可得(，)，(，)，(，)，(，)，(，)因为点为的中点，所以(，)所以(，)，(，)，(分)所以，(分)所以异面直线，所成角的余弦值为.(分)() 因为，所以(，)()，则(，)，(，)，(，)设平面的法向量为(，)，则即令，解得，所以(，)是平面的一个法向量(分)因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得，所以的值为.(分). 解：() ()，(分)()，(分)().(分)() 设为沿轴正方向走的步数(每一步长度为)，则反方向也需要走步才能回到轴上，所以，(其中为不超过的最大整数)，总共走步，首先任选步沿轴正方向走，再在剩下的步中选步沿轴负方向走，最后剩下的每一步都有两种选择(向上或向下)，即，