新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案.docx

1、新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案第23章 一元二次方程2.1认识一元二次方程-（1） 学习目标：1、会根据具体问题列出一元二次方程。通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析，列出方程，体会方程的模型思想，2通过分析方程的特点，抽象出一元二次方程的概念，培养归纳分析的能力3会说出一元二次方程的一般形式，会把方程化为一般形式。学习重点：一元二次方程的概念学习难点：如何把实际问题转化为数学方程学习过程：一、导入新课：什么是一元一次方程？什么是二元一次方程？二、自学指导：1、自主学习：自学课本31页至32页内容，独立思考解答下列问题：1）情境问题：列方程解应用题：一个面积

2、为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m。苗圃的长和宽各是多少？设未知数列方程。你能将方程化成ax2+bx+c=0的形式吗？阅读课本P48，回答问题：1）什么是一元二次方程？2）什么是一元二次方程的一般形式？二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项？2、合作交流：1.一元二次方程应用举例：1）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?列 方程并化成一般形式。2）求五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。如果设中间的一个数为x，列 方程并化成一般形式。3）如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，

3、梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简。如果设梯子底端滑动x m，列 方程并化成一般形式。2.知识梳理：1）一元二次方程的概念：强调三个特征：它是_方程；它只含_未知数；方程中未知数的最高次数是_.一元二次方程的一般形式： 在任何一个一元二次方程中，_是必不可少的项2）几种不同的表示形式：ax2+bx+c=0 (a0,b0,c0) _ (a0,b0,c=0)_ (a0,b=0,c0) _ (a0,b=0,c=0)三、当堂训练1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。（1）x2-y=1 (2) 1/ x2-3=2 (3)2x+

4、x2=3 (4)3x-1=0 (5) (5x+2)(3x-7)=15 x2（k为常数）(6)a x2+bx+c=0 (7)2、.当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c0是关于x的一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c0是关于x的一元一次方程3、下列关于x的方程中，属于一元二次方程的有几个（ ）， ， ， ， A6个 B 5个 C4个 D3个4.化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常项分别为（ ）.5.关于x的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当k _时，是一元二次方程,当k_时，是

5、一元一次方程6.当m=_时，方程是关于x的一元二次方程。四、课堂小结：一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，a0） 其中ax2 ， bx， c分别为二次项，一次项及常数项五、作业： 基础题：课本32页随堂练习1、2，知识技能2提高题：课本32页知识技能1板书设计：2.1一元二次方程（1） 一元二次方程的一般形式： ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，a0） 其中ax2 ， bx， c分别为二次项，一次项及常数项教学反思：2.1一元二次方程（2） 学习目标：1、探索一元二次方程的解或近似解；2提高估算意识和能力；3. 通过探索方程的解，增进对方解的认识，发展估算意

6、识和能力。学习重点：探索一元二次方程的解或近似解学习难点：估算意识和能力的培养一、导入新课：1什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？2指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。（1）2 x2x10 (2)x210 (3 x2x0 (4) x20 (5）（8-2x）(5-2x)=18二、自学指导：1、P31花边问题中方程的一般形式：_，你能求出x吗？（1）x可能小于0吗？说说你的理由；（2）x可能大于4吗？可能大于2.5吗？为什么？（3）完成下表x0.511.52（8-2x）(5-2x)（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流2、合作探究通过估算求近似解的方

7、法：先根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”，逐步求得近似解。三、例题解析例题1：P31梯子问题梯子底端滑动的距离x（m）满足 (x6)272102一般形式：_（1）你认为底端也滑动了1米吗？为什么？（2）底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？x的整数部分是几？（4）填表计算：x00.511.52x212x15进一步计算xx212x15十分位是几？照此思路可以估算出x的百分位和千分位。四、当堂训练：1、见课本P34页随堂练习2一元二次方程有两个解为1和-1，则有 _，且有_.3若关于x的方程有一个根为-1，则m=_.

8、4用平方根的意义求下列一元二次方程的准确解：（1） （2） （3）（4） （5）5、用直接开平方法解下列一元二次方程：（1） （2） （3）五、课堂小结：本节课我们通过解决实际问题，探索了一元二次方程的解或近似解，并了解了近似计算的重要思想“夹逼”思想估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高六、作业基础题：35页知识技能1提高题：1.完成基础题；2.课本35页知识技能2，数学理解3板书设计：2.1一元二次方程（2） 求一元二次方程近似解 ，首先列表，利用未知数的取值，根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a,b,c为常数，a0）找到使方程左边可能等于0的未知数的取值范围，再

9、进一步在这个范围缩小未知数的取值范围，根据需要，估算出一元二次方程的近似解。教学反思：2.2用配方法求解一元二次方程（1） 学习目标：1会用开平方法解形如(xm)2n (n0)的方程；2理解一元二次方程的解法配方法3把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2n(n0)的形式，体会转化的数学思想。学习重点：会利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.学习难点：把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2n(n0)的形式学习过程：一、导入新课：1用直接开平方法解下列方程：（1）x29 （2）(x2)216 2什么是完全平方公式？利用公式计算：（1）(x6)2 （2）(x)2注意：它们的常数项等于_。二、

10、自学指导：1、自主学习预习课本36-37页,解方程：x212x150（配方法）解：移项，得：_配方，得：_.（两边同时加上_的平方）即：_开平方，得：_即：_所以：_配方法：通过配成_的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。2、合作交流：配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x212x_(x6)2 （2）x24x_(x_)2（3）x28x_(x_)2从上可知：常数项配上_.三、例题解析例1. 解方程： x十8x一 90.解：可以把常数项移到方程的右边，得x十8x=9 两边都加42（一次项系数8的一半的平方），得x十8x+42=9+42即 （X+4）2=25两边开平

11、方，得 X+4=5即 X+4=5 ， 或 X+4=-5所以 X1=1, X2=-9四、当堂训练1.一元二次方程x22xm=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）A.(x1)2=m2+1 B.(x1)2=m1 C.(x1)2=1m D.(x1)2=m+1 2用配方法解下列方程：(1) x一l0x十257； (2) (3) x3x1； (4) x2x十28x4；【拓展延伸】1关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是( )A.有两个解x= B.两个解x= mC.当n0时，有两个解x= D.当n0时，方程无实根五、课堂小结： 怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？六、作业： 1. 习题

12、2.3第1.2题. 2. 习题2.3第1.2题. 板书设计：2.2用配方法求解一元二次方程（1） 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：1. 移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项；2. 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为（x+m）2=n(n0)的形式；3. 用直接开平方法求出它的解.教学反思：2.2用配方法求解一元二次方程（2） 学习目标：1会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程2进一步理解配方法的解题思路，掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤学习重点：会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程学习难点：理解配方法的解题思路学

13、习过程：一、导入新课：1用配方法解方程（1）x24x30 （2）x2-2x1二、自学指导：1、自主学习例2：解方程：3x28x30 解：两边都除以_，得：移项，得：配方，得：（方程两边都加上_的平方）开平方，得：所以:2、合作交流：归纳：用配方法解一元二次方程的步骤：1. 把二次项系数化为12. 移项，方程的左边只含二次项和一次项，右边为常数项；3. 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；3.用直接开平方法求出方程的根.三、例题解析例1. 解方程： x十8x一 90.解：可以把常数项移到方程的右边，得x十8x=9 两边都加42（一次项系数8的一半的平方），得x十8x+42=9+42即 （X

14、+4）2=25两边开平方，得 X+4=5即 X+4=5 ， 或 X+4=-5所以 X1=1, X2=-9四、当堂训练1. 用配方法解下列方程时，配方错误的是（ ）A，化为 B，化为C，化为 D，化为 2用配方法解下列方程：（1）3x2-9x+2=0 (2) （3）4x2-8x-3=0【拓展延伸】一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h15t5t2。小球何时能达到10m高？五、课堂小结： 怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程？六、作业： 基础题： 1. 习题2.4第1.2题. 提高题： 2. 习题2.4第3题. 板书设计：2.2用配方法求解一

15、元二次方程（2） 用配方法解一元二次方程的步骤：1. 把二次项系数化为12. 移项，方程的左边只含二次项和一次项，右边为常数项；3. 配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；3.用直接开平方法求出方程的根.教学反思：2.3用公式法求解一元二次方程（1）学习目标：1. 知道一元二次方程的求根公式的推导；2会用公式法解简单数字系数的一元二次方程.3. 认识根的判别式，会用根的判别式判别一元二次方程根的情况并能解答相关题型.学习重点：学会用公式法解一元二次方程学习难点：用配方法推到一元二次方程求根公式的过程.学习过程：一、导入新课：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、把下列方程化成（x+m

16、）2=n的形式：（1）x2-8x30 （2）x2-3x-503、请结合一元二次方程的一般形式，说出上述方程中的a、b、c的值分别是多少？二、自学指导：1、自主学习认真阅读P4142页例题之前内容：（1）、一般地，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，当b24ac0时，它的根是x注意：当b24ac0时，一元二次方程无实数根。（2）、公式法：上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。2、合作交流：（1）你能解一元二次方程x2-2x+3=0吗？你是怎么想的？（2）对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，当b24ac0时，它的根的情况是怎样的？归纳：对于一元

17、二次方程ax2bxc0(a0)， 当b24ac_0时，方程有两个不相等的实数根； 当b24ac_0时，方程有两个相等的实数根； 当b24ac_0时，方程无实数根。由此可知，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情况可由b24ac来判定.我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式，通常用希腊字母“”来表示。三、例题解析例1. 解方程：（1）x2-7x80 （2）4x2+1=4x解：(2)将原方程化为一般形式，得：4x2-4x+1=0这里a=4，b=-4,c=1. b24ac=(-4)2-441=0 x=即X1 = X2 =四、当堂训练1.不解方程,判断下列方程的根的情况

18、：(1) 2x2+5=7x （2） 3x2+2x+1=0（3）4x(x+1)+3 =0 （4）4(y2+0.09)=2.4y 2用公式法解下列方程：（1）2x2-9x+8=0 (2)9x2+6x+1=0 （3）16x2+8x=3 (4)x(x-3)+5=0五、课堂小结： 用公式法解一元二次方程的步骤：1. 化成一般形式；2. 确定a,b,c的数值；3. 求出b24ac的数值，并判别其是否是非负数；4. 若b24ac0，用求根公式求出方程的根；若b24ac0，直接写出原方程无解，不要代入求根公式。六、作业： 基础题： 1. 习题2.5第1、2题. 提高题： 2. 习题2.5第3、4题. 板书设计

19、：2.3用公式法求解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程ax2bxc0(a0)，当b24ac0时，它的根是x对于一元二次方程ax2bxc0(a0)， 当b24ac_0时，方程有两个不相等的实数根； 当b24ac_0时，方程有两个相等的实数根； 当b24ac_0时，方程无实数根。教学反思：2.3用公式法求解一元二次方程（2）学习目标：1.会根据具体情境构建一元二次方程解决实际问题，体会方程模型思想.2进一步熟练求解一元二次方程. 3会解决简单的开放性问题，即如何设计方案问题学习重点：会根据具体情境构建一元二次方程，并能熟练求解，从而解决实际问题，体会方程模型思想. 学习难点：会解决简单的开放性

20、问题，即如何设计方案问题.学习过程：一、导入新课：1、用配方法解方程：（1）x2-8x30 （2）x2-3x-502、用公式法解方程：（1）2x2-9x+8=0 (2) 16x2+8x=3 二、合作探究：1.在一块长为16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？小明：我的设计方案如右图所示，其中花园四周小路的宽度相等。（1）设花园四周小路的宽度均为xm，可列怎样的一元二次方程？（2）求出一元二次方程的解？（3）这两个解都合要求吗？为什么？2小亮：我的设计方案如图所示，其中花园每个角上的扇形都相同。你能帮小亮求出图中的x吗？（1）设花园四角

21、的扇形半径均为xm，可列怎样的一元二次方程？（2）估算一元二次方程的解是什么？（取3）（3）符合条件的解是多少？3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。三、课堂练习1、课本44页随堂练习1 ，对于本课花园设计问题，小颖的方法如图所示，你能帮她求出图中的x吗？ 2、课本p45第2题。四、课堂小结：1、本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可。2、一元二次方程的解一般有_个，要根据_舍去不合题意的解。五、作业： 基础题： 1. 习题2.6第1、3题. 提高题： 2. 习题2.6第4题. 板书设计：2.3用公式法求解一元二次方程（2）教学反思：2.4用因式分解法求解一元二次方程学习目标：

22、会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程，通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程，体会转化思想。学习重点：正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程学习难点：正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程.学习过程：一、导入新课：1、如何对一个多项式进行因式分解？有哪些方法？2、如果两个数a、b,且满足ab=0,你能得到哪些结论？二、自学指导：1、自主学习认真阅读P4647页内容：、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。、因式分解法的理论根据是：如果ab=0,则a=0或b=0。、自学例1，注意看清楚每一步是如何变形的？其目的是什么？2、合作交流：

23、（1）你能例题中的思路解一元二次方程x2-4=0吗？你是怎么想的？（2）对于一元二次方程（x+1）2-250可以怎样求解？ 三、例题解析例. 用因式分解法解下列方程：（1）（x+2）(x+4)0 （2）4x(2x+1) =3(2x+1) （3）5(x2-x) = 3(x2+x) 解：(2)：原方程可变形为4x(2x+1) -3(2x+1) = 0（2x+1）（4x-3） = 02x-1=0，或4x-3=0 X1 = X2 = （3）：原方程可变形为 5x2-5x = 3x2+3x5x2-3x2-5x-3x = 02x2-8x = 02x(x-4)= 02x=0, 或x-4=0 X1 = 0 ，

24、 X2 =4四、当堂训练1. 用因式分解法解下列方程：(1)（4x-1）（5x-7）= 0 （2） 3x(x-1）= 2-2x（3）(2x+3)2=4(2x+3) （4）2(x-3)2=x2-92用因式分解法解下列方程：（1）(x-2)2= (2x+3)2 (2) (x-2)(x+3) = 12 （3） 2x+6= (x+3)2 3. 一个数的平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数。五、课堂小结： 1、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。2、用因式分解法的基本思想是：把方程化为ab=0的形式，如果ab=0那么a=0或b=0。3、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：（1

25、）通过移项，将方程右边化为零：（2）将方程左边分解成两个一次因式之积；（3）分别令每个因式都等于零，得到两个一元一次方程，（4）分别解这两个一元一次方程，求得方程的解六、作业： 1. 习题2.7第2题（3）、(4) 、(5)题. 2. 习题2.7第3题. 2.4用因式分解法求解一元二次方程1. 用因式分解法的基本思想是：把方程化为ab=0的形式，如果ab=0那么a=0或b=0。2. 用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：（1）通过移项，将方程右边化为零：（2）将方程左边分解成两个一次因式之积；（3）分别令每个因式都等于零，得到两个一元一次方程，（4）分别解这两个一元一次方程，求得方程的解板书

26、设计：2.5一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1. 知道一元二次方程根与系数关系的推导过程.2. 理解一元二次方程根与系数的关系.3. 能用两根确定一元二次方程的系数.4. 能用根与系数的关系已知一根，不解方程确定另一根。学习重点：一元二次方程根与系数关系学习难点：一元二次方程根与系数关系的应用.学习过程：一、导入新课：通过前面的学习我们发现，一元二次方程的根完全由它的系数来决定。求根公式就是根与系数关系的一种形式。除此之外，一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢？今天我们就来一起学习：2.5 一元二次方程的根与系数的关系二、自学指导：1、解下列方程：（1） x2-2x+1 = 0 (2) x2+2x-1 = 0(3) x2+7x+6 = 0 (4) 2x2-3x+1 = 02、根据解方程求出的两个解，计算两个解的和与积，完成下表：方 程x2-2x+1 = 0 x2+2x-1 = 0x2+7x+6 = 0 2x2-3x+1 = 03、观察表格中方程的两个解的和、两个解的乘积，与原方程中的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论 。4、对于任何一个二元一次方程，这种关系都成立吗？请认真自学P49一元二次方程根与系数关系的推导过程部分内容。三、例题解析例1. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.（1） x2+