1、新北师大版九年级上册第二章一元二次方程全章教案第23章 一元二次方程2.1认识一元二次方程-(1) 学习目标:1、会根据具体问题列出一元二次方程。通过“花边有多宽”,“梯子的底端滑动多少米”等问题的分析,列出方程,体会方程的模型思想,2通过分析方程的特点,抽象出一元二次方程的概念,培养归纳分析的能力3会说出一元二次方程的一般形式,会把方程化为一般形式。学习重点:一元二次方程的概念学习难点:如何把实际问题转化为数学方程学习过程:一、导入新课:什么是一元一次方程?什么是二元一次方程?二、自学指导:1、自主学习:自学课本31页至32页内容,独立思考解答下列问题:1)情境问题:列方程解应用题:一个面积
2、为120 m2的矩形苗圃,它的长比宽多2m。苗圃的长和宽各是多少?设未知数列方程。你能将方程化成ax2+bx+c=0的形式吗?阅读课本P48,回答问题:1)什么是一元二次方程?2)什么是一元二次方程的一般形式?二次项及二次项系数、一次项及一次项系数、常数项?2、合作交流:1.一元二次方程应用举例:1)一块四周镶有宽度相等的花边的地毯,如图所示,它的长为8m,宽为5m,如果地毯中央长方形图案的面积为18m2,那么花边有多宽?列 方程并化成一般形式。2)求五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。如果设中间的一个数为x,列 方程并化成一般形式。3)如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上,
3、梯子的顶端距地面的垂直距离为8m,如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米? 列出方程并化简。如果设梯子底端滑动x m,列 方程并化成一般形式。2.知识梳理:1)一元二次方程的概念:强调三个特征:它是_方程;它只含_未知数;方程中未知数的最高次数是_.一元二次方程的一般形式: 在任何一个一元二次方程中,_是必不可少的项2)几种不同的表示形式:ax2+bx+c=0 (a0,b0,c0) _ (a0,b0,c=0)_ (a0,b=0,c0) _ (a0,b=0,c=0)三、当堂训练1、判断下列方程是不是一元二次方程,并说明理由。(1)x2-y=1 (2) 1/ x2-3=2 (3)2x+
4、x2=3 (4)3x-1=0 (5) (5x+2)(3x-7)=15 x2(k为常数)(6)a x2+bx+c=0 (7)2、.当a、b、c满足什么条件时,方程(a-1)x2-bx+c0是关于x的一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时,方程(a-1)x2-bx+c0是关于x的一元一次方程3、下列关于x的方程中,属于一元二次方程的有几个( ), , , , A6个 B 5个 C4个 D3个4.化成一般形式后,二次项系数、一次项系数、常项分别为( ).5.关于x的方程(k21)x2 2 (k1) x 2k 20,当k _时,是一元二次方程,当k_时,是
5、一元一次方程6.当m=_时,方程是关于x的一元二次方程。四、课堂小结:一元二次方程的一般形式: ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a0) 其中ax2 , bx, c分别为二次项,一次项及常数项五、作业: 基础题:课本32页随堂练习1、2,知识技能2提高题:课本32页知识技能1板书设计:2.1一元二次方程(1) 一元二次方程的一般形式: ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a0) 其中ax2 , bx, c分别为二次项,一次项及常数项教学反思:2.1一元二次方程(2) 学习目标:1、探索一元二次方程的解或近似解;2提高估算意识和能力;3. 通过探索方程的解,增进对方解的认识,发展估算意
6、识和能力。学习重点:探索一元二次方程的解或近似解学习难点:估算意识和能力的培养一、导入新课:1什么叫一元二次方程?它的一般形式是什么?2指出下列方程的二次项系数,一次项系数及常数项。(1)2 x2x10 (2)x210 (3 x2x0 (4) x20 (5)(8-2x)(5-2x)=18二、自学指导:1、P31花边问题中方程的一般形式:_,你能求出x吗?(1)x可能小于0吗?说说你的理由;(2)x可能大于4吗?可能大于2.5吗?为什么?(3)完成下表x0.511.52(8-2x)(5-2x)(4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?还有其他求解方法吗?与同伴交流2、合作探究通过估算求近似解的方
7、法:先根据实际问题确定其解的大致范围,再通过具体的列表计算进行两边“夹逼”,逐步求得近似解。三、例题解析例题1:P31梯子问题梯子底端滑动的距离x(m)满足 (x6)272102一般形式:_(1)你认为底端也滑动了1米吗?为什么?(2)底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?(3)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗?x的整数部分是几?(4)填表计算:x00.511.52x212x15进一步计算xx212x15十分位是几?照此思路可以估算出x的百分位和千分位。四、当堂训练:1、见课本P34页随堂练习2一元二次方程有两个解为1和-1,则有 _,且有_.3若关于x的方程有一个根为-1,则m=_.
8、4用平方根的意义求下列一元二次方程的准确解:(1) (2) (3)(4) (5)5、用直接开平方法解下列一元二次方程:(1) (2) (3)五、课堂小结:本节课我们通过解决实际问题,探索了一元二次方程的解或近似解,并了解了近似计算的重要思想“夹逼”思想估计方程的近似解可用列表法求,估算的精度不要求很高六、作业基础题:35页知识技能1提高题:1.完成基础题;2.课本35页知识技能2,数学理解3板书设计:2.1一元二次方程(2) 求一元二次方程近似解 ,首先列表,利用未知数的取值,根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a0)找到使方程左边可能等于0的未知数的取值范围,再
9、进一步在这个范围缩小未知数的取值范围,根据需要,估算出一元二次方程的近似解。教学反思:2.2用配方法求解一元二次方程(1) 学习目标:1会用开平方法解形如(xm)2n (n0)的方程;2理解一元二次方程的解法配方法3把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2n(n0)的形式,体会转化的数学思想。学习重点:会利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.学习难点:把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2n(n0)的形式学习过程:一、导入新课:1用直接开平方法解下列方程:(1)x29 (2)(x2)216 2什么是完全平方公式?利用公式计算:(1)(x6)2 (2)(x)2注意:它们的常数项等于_。二、
10、自学指导:1、自主学习预习课本36-37页,解方程:x212x150(配方法)解:移项,得:_配方,得:_.(两边同时加上_的平方)即:_开平方,得:_即:_所以:_配方法:通过配成_的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。2、合作交流:配方:填上适当的数,使下列等式成立:(1)x212x_(x6)2 (2)x24x_(x_)2(3)x28x_(x_)2从上可知:常数项配上_.三、例题解析例1. 解方程: x十8x一 90.解:可以把常数项移到方程的右边,得x十8x=9 两边都加42(一次项系数8的一半的平方),得x十8x+42=9+42即 (X+4)2=25两边开平
11、方,得 X+4=5即 X+4=5 , 或 X+4=-5所以 X1=1, X2=-9四、当堂训练1.一元二次方程x22xm=0,用配方法解该方程,配方后的方程为( )A.(x1)2=m2+1 B.(x1)2=m1 C.(x1)2=1m D.(x1)2=m+1 2用配方法解下列方程:(1) x一l0x十257; (2) (3) x3x1; (4) x2x十28x4;【拓展延伸】1关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正确的是( )A.有两个解x= B.两个解x= mC.当n0时,有两个解x= D.当n0时,方程无实根五、课堂小结: 怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程?六、作业: 1. 习题
12、2.3第1.2题. 2. 习题2.3第1.2题. 板书设计:2.2用配方法求解一元二次方程(1) 用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程的步骤:1. 移项,把方程的常数项移到方程的右边,使方程的左边只含二次项和一次项;2. 配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方,把原方程化为(x+m)2=n(n0)的形式;3. 用直接开平方法求出它的解.教学反思:2.2用配方法求解一元二次方程(2) 学习目标:1会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程2进一步理解配方法的解题思路,掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤学习重点:会利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程学习难点:理解配方法的解题思路学
13、习过程:一、导入新课:1用配方法解方程(1)x24x30 (2)x2-2x1二、自学指导:1、自主学习例2:解方程:3x28x30 解:两边都除以_,得:移项,得:配方,得:(方程两边都加上_的平方)开平方,得:所以:2、合作交流:归纳:用配方法解一元二次方程的步骤:1. 把二次项系数化为12. 移项,方程的左边只含二次项和一次项,右边为常数项;3. 配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方;3.用直接开平方法求出方程的根.三、例题解析例1. 解方程: x十8x一 90.解:可以把常数项移到方程的右边,得x十8x=9 两边都加42(一次项系数8的一半的平方),得x十8x+42=9+42即 (X
14、+4)2=25两边开平方,得 X+4=5即 X+4=5 , 或 X+4=-5所以 X1=1, X2=-9四、当堂训练1. 用配方法解下列方程时,配方错误的是( )A,化为 B,化为C,化为 D,化为 2用配方法解下列方程:(1)3x2-9x+2=0 (2) (3)4x2-8x-3=0【拓展延伸】一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出,它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系:h15t5t2。小球何时能达到10m高?五、课堂小结: 怎样用配方法解二次项系数为1的一元二次方程?六、作业: 基础题: 1. 习题2.4第1.2题. 提高题: 2. 习题2.4第3题. 板书设计:2.2用配方法求解一
15、元二次方程(2) 用配方法解一元二次方程的步骤:1. 把二次项系数化为12. 移项,方程的左边只含二次项和一次项,右边为常数项;3. 配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方;3.用直接开平方法求出方程的根.教学反思:2.3用公式法求解一元二次方程(1)学习目标:1. 知道一元二次方程的求根公式的推导;2会用公式法解简单数字系数的一元二次方程.3. 认识根的判别式,会用根的判别式判别一元二次方程根的情况并能解答相关题型.学习重点:学会用公式法解一元二次方程学习难点:用配方法推到一元二次方程求根公式的过程.学习过程:一、导入新课:1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些?2、把下列方程化成(x+m
16、)2=n的形式:(1)x2-8x30 (2)x2-3x-503、请结合一元二次方程的一般形式,说出上述方程中的a、b、c的值分别是多少?二、自学指导:1、自主学习认真阅读P4142页例题之前内容:(1)、一般地,对于一元二次方程ax2bxc0(a0),当b24ac0时,它的根是x注意:当b24ac0时,一元二次方程无实数根。(2)、公式法:上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。2、合作交流:(1)你能解一元二次方程x2-2x+3=0吗?你是怎么想的?(2)对于一元二次方程ax2bxc0(a0),当b24ac0时,它的根的情况是怎样的?归纳:对于一元
17、二次方程ax2bxc0(a0), 当b24ac_0时,方程有两个不相等的实数根; 当b24ac_0时,方程有两个相等的实数根; 当b24ac_0时,方程无实数根。由此可知,一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情况可由b24ac来判定.我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式,通常用希腊字母“”来表示。三、例题解析例1. 解方程:(1)x2-7x80 (2)4x2+1=4x解:(2)将原方程化为一般形式,得:4x2-4x+1=0这里a=4,b=-4,c=1. b24ac=(-4)2-441=0 x=即X1 = X2 =四、当堂训练1.不解方程,判断下列方程的根的情况
18、:(1) 2x2+5=7x (2) 3x2+2x+1=0(3)4x(x+1)+3 =0 (4)4(y2+0.09)=2.4y 2用公式法解下列方程:(1)2x2-9x+8=0 (2)9x2+6x+1=0 (3)16x2+8x=3 (4)x(x-3)+5=0五、课堂小结: 用公式法解一元二次方程的步骤:1. 化成一般形式;2. 确定a,b,c的数值;3. 求出b24ac的数值,并判别其是否是非负数;4. 若b24ac0,用求根公式求出方程的根;若b24ac0,直接写出原方程无解,不要代入求根公式。六、作业: 基础题: 1. 习题2.5第1、2题. 提高题: 2. 习题2.5第3、4题. 板书设计
19、:2.3用公式法求解一元二次方程 一般地,对于一元二次方程ax2bxc0(a0),当b24ac0时,它的根是x对于一元二次方程ax2bxc0(a0), 当b24ac_0时,方程有两个不相等的实数根; 当b24ac_0时,方程有两个相等的实数根; 当b24ac_0时,方程无实数根。教学反思:2.3用公式法求解一元二次方程(2)学习目标:1.会根据具体情境构建一元二次方程解决实际问题,体会方程模型思想.2进一步熟练求解一元二次方程. 3会解决简单的开放性问题,即如何设计方案问题学习重点:会根据具体情境构建一元二次方程,并能熟练求解,从而解决实际问题,体会方程模型思想. 学习难点:会解决简单的开放性
20、问题,即如何设计方案问题.学习过程:一、导入新课:1、用配方法解方程:(1)x2-8x30 (2)x2-3x-502、用公式法解方程:(1)2x2-9x+8=0 (2) 16x2+8x=3 二、合作探究:1.在一块长为16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半,你能给出设计方案吗?小明:我的设计方案如右图所示,其中花园四周小路的宽度相等。(1)设花园四周小路的宽度均为xm,可列怎样的一元二次方程?(2)求出一元二次方程的解?(3)这两个解都合要求吗?为什么?2小亮:我的设计方案如图所示,其中花园每个角上的扇形都相同。你能帮小亮求出图中的x吗?(1)设花园四角
21、的扇形半径均为xm,可列怎样的一元二次方程?(2)估算一元二次方程的解是什么?(取3)(3)符合条件的解是多少?3、你还有其他设计方案吗?请设计出来与同伴交流。三、课堂练习1、课本44页随堂练习1 ,对于本课花园设计问题,小颖的方法如图所示,你能帮她求出图中的x吗? 2、课本p45第2题。四、课堂小结:1、本节内容的设计方案不只一种,只要符合条件即可。2、一元二次方程的解一般有_个,要根据_舍去不合题意的解。五、作业: 基础题: 1. 习题2.6第1、3题. 提高题: 2. 习题2.6第4题. 板书设计:2.3用公式法求解一元二次方程(2)教学反思:2.4用因式分解法求解一元二次方程学习目标:
22、会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程,通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程,体会转化思想。学习重点:正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程学习难点:正确、熟练地用因式分解法解一元二次方程.学习过程:一、导入新课:1、如何对一个多项式进行因式分解?有哪些方法?2、如果两个数a、b,且满足ab=0,你能得到哪些结论?二、自学指导:1、自主学习认真阅读P4647页内容:、分解因式法:利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。、因式分解法的理论根据是:如果ab=0,则a=0或b=0。、自学例1,注意看清楚每一步是如何变形的?其目的是什么?2、合作交流:
23、(1)你能例题中的思路解一元二次方程x2-4=0吗?你是怎么想的?(2)对于一元二次方程(x+1)2-250可以怎样求解? 三、例题解析例. 用因式分解法解下列方程:(1)(x+2)(x+4)0 (2)4x(2x+1) =3(2x+1) (3)5(x2-x) = 3(x2+x) 解:(2):原方程可变形为4x(2x+1) -3(2x+1) = 0(2x+1)(4x-3) = 02x-1=0,或4x-3=0 X1 = X2 = (3):原方程可变形为 5x2-5x = 3x2+3x5x2-3x2-5x-3x = 02x2-8x = 02x(x-4)= 02x=0, 或x-4=0 X1 = 0 ,
24、 X2 =4四、当堂训练1. 用因式分解法解下列方程:(1)(4x-1)(5x-7)= 0 (2) 3x(x-1)= 2-2x(3)(2x+3)2=4(2x+3) (4)2(x-3)2=x2-92用因式分解法解下列方程:(1)(x-2)2= (2x+3)2 (2) (x-2)(x+3) = 12 (3) 2x+6= (x+3)2 3. 一个数的平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数。五、课堂小结: 1、分解因式法:利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。2、用因式分解法的基本思想是:把方程化为ab=0的形式,如果ab=0那么a=0或b=0。3、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是:(1
25、)通过移项,将方程右边化为零:(2)将方程左边分解成两个一次因式之积;(3)分别令每个因式都等于零,得到两个一元一次方程,(4)分别解这两个一元一次方程,求得方程的解六、作业: 1. 习题2.7第2题(3)、(4) 、(5)题. 2. 习题2.7第3题. 2.4用因式分解法求解一元二次方程1. 用因式分解法的基本思想是:把方程化为ab=0的形式,如果ab=0那么a=0或b=0。2. 用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是:(1)通过移项,将方程右边化为零:(2)将方程左边分解成两个一次因式之积;(3)分别令每个因式都等于零,得到两个一元一次方程,(4)分别解这两个一元一次方程,求得方程的解板书
26、设计:2.5一元二次方程的根与系数的关系学习目标:1. 知道一元二次方程根与系数关系的推导过程.2. 理解一元二次方程根与系数的关系.3. 能用两根确定一元二次方程的系数.4. 能用根与系数的关系已知一根,不解方程确定另一根。学习重点:一元二次方程根与系数关系学习难点:一元二次方程根与系数关系的应用.学习过程:一、导入新课:通过前面的学习我们发现,一元二次方程的根完全由它的系数来决定。求根公式就是根与系数关系的一种形式。除此之外,一元二次方程的根与系数之间还有什么形式的关系呢?今天我们就来一起学习:2.5 一元二次方程的根与系数的关系二、自学指导:1、解下列方程:(1) x2-2x+1 = 0 (2) x2+2x-1 = 0(3) x2+7x+6 = 0 (4) 2x2-3x+1 = 02、根据解方程求出的两个解,计算两个解的和与积,完成下表:方 程x2-2x+1 = 0 x2+2x-1 = 0x2+7x+6 = 0 2x2-3x+1 = 03、观察表格中方程的两个解的和、两个解的乘积,与原方程中的系数之间的关系有什么规律?写出你的结论 。4、对于任何一个二元一次方程,这种关系都成立吗?请认真自学P49一元二次方程根与系数关系的推导过程部分内容。三、例题解析例1. 利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积.(1) x2+
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