1、小学奥数面积计算综合题型第十八周 面积计算(一)专题简析:计算平面图形的面积时,有些问题乍一看,在已知条件与所求问题之间找不到任何联系,会使你感到无从下手。这时,如果我们能认真观察图形,分析、研究已知条件,并加以深化,再运用我们已有的基本几何知识,适当添加辅助线,搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”,就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征,添加一些辅助线,运用平移旋转、剪拼组合等方法,对图形进行恰当合理的变形,再经过分析推导,方能寻求出解题的途径。图形面积)简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积,首先要能识别一些特别的图形:正方形、三角形、平行四边
2、形、梯形等等,然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上,不但容易识别,而且容易计算.上面左图是边长为 4的正方形,它的面积是 44 16(格);右图是 35的长方形,它的面积是 35 15(格).上面左图是一个锐角三角形,它的底是5,高是4,面积是 542 10(格);右图是一个钝角三角形,底是4,高也是4,它的面积是4428(格).这里特别说明,这两个三角形的高线一样长,钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.上面左图是一个平行四边形,底是5,高是3,它的面积是 5 3 15(格);右图是一个梯形,上底是 4,下底是7,高是4,它的面积是(4+7)4222(格).上面面积计算的
3、单位用“格”,一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米,1格就是1平方厘米;如果小正方形边长是1米,1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位,1格就是一个面积单位.在这一讲中,我们直接用数表示长度或面积,省略了相应的长度单位和面积单位.一、三角形的面积用直线组成的图形,都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是:三角形面积= 底高2.这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式,而且要会灵活运用.例1 右图中BD长是4,DC长是2,那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢?解:三角形ABD与三角形ADC的高相同.三角形ABD面积
4、=4高2.三角形 ADC面积=2高2.因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意:三角形的任意一边都可以看作是底,这条边上的高就是三角形的高,所以每个三角形都可看成有三个底,和相应的三条高.例2 右图中,BD,DE,EC的长分别是2,4,2.F是线段AE的中点,三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.解: BC 2 4 2 8.三角形 ABC面积= 8 4216.我们把A和D连成线段,组成三角形ADE,它与三角形ABC的高相同,而DE长是4,也是BC的一半,因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理,EF是AE的一半,三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.三角形
5、DFE面积= 1644.例3 右图中长方形的长是20,宽是12,求它的内部阴影部分面积.解:ABEF也是一个长方形,它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.而三个三角形底边的长加起来,就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是FEBE2,它恰好是长方形ABEF面积的一半.同样道理,FECD也是长方形,它内部三个三角形(阴影部分)面积之和是它的面积的一半.因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半,也就是20122120.通过方格纸,我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线,把每个三角形分成两个直角三角形后,图中每个直角三角形都是某个长方形的一半,而长方形ABCD是由这
6、若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形(阴影部分)的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.例4 右图中,有四条线段的长度已经知道,还有两个角是直角,那么四边形ABCD(阴影部分)的面积是多少?解:把A和C连成线段,四边形ABCD就分成了两个,三角形ABC和三角形ADC.对三角形ABC来说,AB是底边,高是10,因此面积=4102 20.对三角形 ADC来说, DC是底边,高是 8,因此面积=78228.四边形 ABCD面积= 20 28 48.这一例题再一次告诉我们,钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.例5 在边长为6的正方形内有一个三角形BEF,线段AE3,DF2,求三角形BEF的面积
7、.解:要直接求出三角形BEF的面积是困难的,但容易求出下面列的三个直角三角形的面积三角形 ABE面积=362 9.三角形 BCF面积= 6(6-2)2 12.三角形 DEF面积=2(6-3)2 3.我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出:三角形 BEF面积=66-9-12-312.例6 在右图中,ABCD是长方形,三条线段的长度如图所示,M是线段DE的中点,求四边形ABMD(阴影部分)的面积.解:四边形ABMD中,已知的太少,直接求它面积是不可能的,我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积,然后用长方形ABCD的面积减去它们,由此就可以求得四边形ABMD的面积.把M与C用线
8、段连起来,将三角形DCE分成两个三角形.三角形 DCE的面积是 7227.因为M是线段DE的中点,三角形DMC与三角形MCE面积相等,所以三角形MCE面积是 723.5.因为 BE 8是 CE 2的 4倍,三角形 MBE与三角形MCE高一样,因此三角形MBE面积是3.5414.长方形 ABCD面积=7(82)=70.四边形 ABMD面积=70-7- 14 49.二、有关正方形的问题先从等腰直角三角形讲起.一个直角三角形,它的两条直角边一样长,这样的直角三角形,就叫做等腰直角三角形.它有一个直角(90度),还有两个角都是45度,通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.两个一样的等腰直角三角
9、形,可以拼成一个正方形,如图(a).四个一样的等腰直角三角形,也可以拼成一个正方形,如图(b).一个等腰直角三角形,当知道它的直角边长,从图(a)知,它的面积是直角边长的平方2.当知道它的斜边长,从图(b)知,它的面积是斜边的平方4例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长,恰好是前一个斜边长的一半,求这个图形的面积.解:从前面的图形上可以知道,前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形,等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半,第一个等腰直角三角形的面积是88232.这一个图形的面积是3216 8 4 2
10、1 63.例8 如右图,两个长方形叠放在一起,小长形的宽是2,A点是大长方形一边的中点,并且三角形ABC是等腰直角三角形,那么图中阴影部分的总面积是多少?解:为了说明的方便,在图上标上英文字母 D,E,F,G.三角形ABC的面积=2222.三角形ABC,ADE,EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜边,与三角形ADE的直角边一样长,因此三角形 ADE面积=ABC面积24.三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积21.阴影部分的总面积是 415.例9 如右图,已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD7,BC3,三个角的度数:角 B和D是直角,角A是45
11、.求这个四边形的面积.解:这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE,切掉一个等腰直角三角形BCE.因为A是45,角D是90,角E是180-45-90 45,所以ADE是等腰直角三角形,BCE也是等腰直角三角形.四边形ABCD的面积,是这两个等腰直角三角形面积之差,即772-33220.这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学,用直线AC把图形分成两个直角三角形,并认为这两个直角三角形是一样的,这就大错特错了.这样做,角 A是 45,这一条件还用得上吗?图形上线段相等,两
12、个三角形相等,是不能靠眼睛来测定的,必须从几何学上找出根据,小学同学尚未学过几何,千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45和直角,你应首先考虑等腰直角三角形.现在我们转向正方形的问题.例10 在右图 1115的长方形内,有四对正方形(标号相同的两个正方形为一对),每一对是相同的正方形,那么中间这个小正方形(阴影部分)面积是多少?解:长方形的宽,是“一”与“二”两个正方形的边长之和,长方形的长,是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.长-宽 =15-114是“三”正方形的边长.宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和,因此中间小正方形边长=11-42
13、3.中间小正方形面积=33 9.如果把这一图形,画在方格纸上,就一目了然了.例11 从一块正方形土地中,划出一块宽为1米的长方形土地(见图),剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.解:剩下的长方形土地,我们已知道长-宽=1(米).还知道它的面积是15.75平方米,那么能否从这一面积求出长与宽之和呢?如果能求出,那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.我们把长和宽拼在一起,如右图.从这个图形还不能算出长与宽之和,但是再拼上同样的两个正方形,如下图就拼成一个大正方形,这个正方形的边长,恰好是长方形的长与宽之和.可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形,仔细观
14、察一下,就会发现,它的边长,恰好是长方形的长与宽之差,等于1米.现在,我们就可以算出大正方形面积:15.754+11 64(平方米).64是88,大正方形边长是 8米,也就是说长方形的长+宽=8(米).因此长=(81)2 4.5(米).宽=8-4.53.5(米).那么划出的长方形面积是4.514. 5(平方米).例12 如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6,求三角形AEG(阴影部分)的面积.解:四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD,上底是EC,高是CD,因此四边形AECD面积=(小正方形边长+大正方形边长)大正方形边长2三角形ADG是直角三角形,
15、它的一条直角边长DG=(小正方形边长+大正方形边长),因此三角形ADG面积=(小正方形边长+大正方形边长)大正方形边长2.四边形 AECD与三角形 ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有,因此,三角形AEH与三角形HCG面积相等,都加上三角形EHG面积后,就有阴影部分面积=三角形ECG面积=小正方形面积的一半= 66218.十分有趣的是,影阴部分面积,只与小正方形边长有关,而与大正方形边长却没有关系.三、其他的面积这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难,但可以给你启发的内容不少,请读者仔细体会.例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形(如右图),求它的面积.解:直
16、接计算粗线围成的面积是困难的,我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.周围小正方形有3个,面积为1的三角形有5个,面积为1.5的三角形有1个,因此围成面积是44-3-5-1.56.5.例6与本题在解题思路上是完全类同的.例14 下图中 ABCD是 68的长方形,AF长是4,求阴影部分三角形AEF的面积.解:三角形AEF中,我们知道一边AF,但是不知道它的高多长,直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB,底边AB,就是长方形的长,高是长方形的宽,即BC的长,面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半,而扩大的三角形AFB是直角三角形,它的两条直角边的长是知道的,很容易算出它
17、的面积.因此三角形AEF面积(三角形 AEB面积)-(三角形 AFB面积)862-482 8.这一例题告诉我们,有时我们把难求的图形扩大成易求的图形,当然扩大的部分也要容易求出,从而间接地解决了问题.前面例9的解法,也是这种思路.例15 下左图是一块长方形草地,长方形的长是16,宽是10.中间有两条道路,一条是长方形,一条是平行四边形,那么有草部分的面积(阴影部分)有多大?解:我们首先要弄清楚,平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底高.从图上可以看出,底是2,高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与 102的长方形面积相等.可以设想,把这个平行四边形换成 102的长方形,再把横竖两
18、条都移至边上(如前页右图),草地部分面积(阴影部分)还是与原来一样大小,因此草地面积=(16-2)(10-2) 112.例16 右图是两个相同的直角三角形叠在一起,求阴影部分的面积.解:实际上,阴影部分是一个梯形,可是它的上底、下底和高都不知道,不能直接来求它的面积.阴影部分与三角形BCE合在一起,就是原直角三角形.你是否看出, ABCD也是梯形,它和三角形BCE合在一起,也是原直角三角形.因此,梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC,是直角边AD的长减去3,高就是DC的长.因此阴影部分面积等于梯形 ABCD面积=(88-3)52 32.5.上面两个例子都启发我们,如何
19、把不容易算的面积,换成容易算的面积,数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领,首先要提高对图形的观察能力.例17 下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知 AF,FE,EC都等于3, CB, BD都等于 4.求这个图形的面积.解:两个直角三角形的面积是很容易求出的.三角形ABC面积=(333)4218.三角形CDE面积=(44) 3212.这两个直角三角形有一个重叠部分-四边形BCEG,只要减去这个重叠部分,所求图形的面积立即可以得出.因为 AF FE EC3,所以 AGF, FGE, EGC是三个面积相等的三角形.因为CBBD4,所以CGB,BGD是两个面积相等的三角形.2三角形DE
20、C面积= 22(三角形 GBC面积)2(三角形 GCE面积).三角形ABC面积= (三角形 GBC面积)3(三角形GCE面积).四边形BCEG面积=(三角形GBC面积)(三角形GCE面积)=(21218)58.4.所求图形面积=12 18- 8.421.6.例18 如下页左图,ABCG是47长方形,DEFG是 210长方形.求三角形 BCM与三角形 DEM面积之差.解:三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.(三角形BCM面积)-(三角形DEM面积)=(梯形ABEF面积)-(两个长方形面积之和=(710)(42)2-(47 210)=3.例
21、19 上右图中,在长方形内画了一些直线,已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中阴影部分的面积是多少?解:所求的影阴部分,恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分,而面积为13,49,35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分,因此(三角形 ABC面积)+(三角形CDE面积)(134935)(长方形面积)(阴影部分面积).三角形ABC,底是长方形的长,高是长方形的宽;三角形CDE,底是长方形的宽,高是长方形的长.因此,三角形ABC面积,与三角形CDE面积,都是长方形面积的一半,就有阴影部分面积=13 49 35 97. 例题1。181DD已知图181中,三角形A
22、BC的面积为8平方厘米,AEED,BD=BC,求阴影部分的面积。181【思路导航】阴影部分为两个三角形,但三角形AEF的面积无法直接计算。由于AE=ED,连接DF,可知SAEF=SEDF(等底等高),采用移补的方法,将所求阴影部分转化为求三角形BDF的面积。 因为BD=BC,所以SBDF2SDCF。又因为AEED,所以SABFSBDF2SDCF。 因此,SABC5 SDCF。由于SABC8平方厘米,所以SDCF851.6(平方厘米),则阴影部分的面积为1.623.2(平方厘米)。练习11、 如图182所示,AEED,BC=3BD,SABC30平方厘米。求阴影部分的面积。2、 如图183所示,A
23、E=ED,DCBD,SABC21平方厘米。求阴影部分的面积。3、 ADA如图184所示,DEAE,BD2DC,SEBD5平方厘米。求三角形ABC的面积。FFEEDBCCDB184183182例题2。两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,如图185所示,已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积各是多少?O612185【思路导航】已知SBOC是SDOC的2倍,且高相等,可知:BO2DO;从SABD与SACD相等(等底等高)可知:SABO等于6,而ABO与AOD的高相等,底是AOD的2倍。所以AOD的面积为623。因为SABD与SACD等底等高 所以SABO6因为SBOC是SDOC的2倍 所以
24、ABO是AOD的2倍所以AOD623。 答:AOD的面积是3。练习21、 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形,(如图186所示),已知两个三角形的面积,求另两个三角形的面积是多少?2、 已知AOOC,求梯形ABCD的面积(如图187所示)。3、 O已知三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍。求梯形ABCD的面积。(如图188所示)。O4O848188187186例题3。D四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分,且四边形AECF的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积(如图189所示)。FAE189CB【思路导航】由于E、F三等分BD,所以三角形ABE、AE
25、F、AFD是等底等高的三角形,它们的面积相等。同理,三角形BEC、CEF、CFD的面积也相等。由此可知,三角形ABD的面积是三角形AEF面积的3倍,三角形BCD的面积是三角形CEF面积的3倍,从而得出四边形ABCD的面积是四边形AECF面积的3倍。 15345(平方厘米) 答:四边形ABCD的面积为45平方厘米。练习31、 四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分,且四边形AECG的面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积(如图1810)。2、 已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分,且阴影部分面积为15平方厘米。求四边形ABCD的面积(如图1811所示)。3、 如图181
26、2所示,求阴影部分的面积(ABCD为正方形)。6EADADDEGA4FFGCBCBECB181218111810例题4。O如图1813所示,BO2DO,阴影部分的面积是4平方厘米。那么,梯形ABCD的面积是多少平方厘米?E1813【思路导航】因为BO2DO,取BO中点E,连接AE。根据三角形等底等高面积相等的性质,可知SDBCSCDA;SCOBSDOA4,类推可得每个三角形的面积。所以, SCDO422(平方厘米) SDAB4312平方厘米 S梯形ABCD12+4+218(平方厘米) 答:梯形ABCD的面积是18平方厘米。练习41、 如图1814所示,阴影部分面积是4平方厘米,OC2AO。求梯
27、形面积。2、 已知OC2AO,SBOC14平方厘米。求梯形的面积(如图1815所示)。3、 D已知SAOB6平方厘米。OC3AO,求梯形的面积(如图1816所示)。OADAOO1816CB18151814CB例题5。如图1817所示,长方形ADEF的面积是16,三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4,求三角形ABC的面积。AFFACCEDEDB1817【思路导航】连接AE。仔细观察添加辅助线AE后,使问题可有如下解法。 由图上看出:三角形ADE的面积等于长方形面积的一半(162)8。用8减去3得到三角形ABE的面积为5。同理,用8减去4得到三角形AEC的面积也为4。因此可知三角形AEC
28、与三角形ACF等底等高,C为EF的中点,而三角形ABE与三角形BEC等底,高是三角形BEC的2倍,三角形BEC的面积为522.5,所以,三角形ABC的面积为16342.56.5。练习51、 如图1818所示,长方形ABCD的面积是20平方厘米,三角形ADF的面积为5平方厘米,三角形ABE的面积为7平方厘米,求三角形AEF的面积。2、 如图1819所示,长方形ABCD的面积为20平方厘米,SABE4平方厘米,SAFD6平方厘米,求三角形AEF的面积。3、 如图1820所示,长方形ABCD的面积为24平方厘米,三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米,求三角形AEF的面积。ADDCBAFDAFFCCEBE1819BE18201818答案:练11、 305212平方厘米2、 21739平方厘米3、 5322平方厘米练21、 422 8242、 8216 16+82+4363、 15345 15+5+15+4580练31、 15230平方厘米2、 15460平方厘
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