因式分解复习资料.docx

1、因式分解复习资料155因式分解的复习新课指南1.知识与技能：掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式，及形如x2+(p+q)x+pq的多项式因式分解，培养学生应用因式分解解决问题的能力.2.过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法.3.情感态度与价值观：通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想.4.重点与难点：重点是用提公因式法和公式法分解因式.难点是分组分解法和形如x2+(p+q)x+pq的多项式的因式分解.教材解读 精华要义数学与生活630能被哪些

2、数整除？说说你是怎么想的.思考讨论 在小学我们知道，要想解决这个问题，需要把630分解成质数的乘积的形式，即630=23257.类似地，在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分解.那么如何进行因式分解呢？知识详解知识点1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.例如：(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.知识点2 提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公

3、因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解？为什么，(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.点拨 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.(2)不是

4、因式分解，不满足因式分解的含义(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等.(4)不是因式分解，是整式乘法.知识点3 公式法(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)完全平方公式：a22ab+b2=(ab)2.其中，a22ab+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-22x3y+(3y)2=(2x-3y)2.探究交流下列变形是否正确？为什么？(1)x2

5、-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.点拨 (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解.(2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解.(3)不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解.知识点4 分组分解法(1)形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)(2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2 =(x+1)2-y2 =(x+y+1)(x-y+1).把多项式进行

6、适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.知识规律小结 (1)分组分解法一般分组方式不惟一.例如：将am+an+bm+bn因式分解，方法有两种：方法1：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).方法2：am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).(2)分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式.例如：am+an+bm+bn分组后有公因式；x2-y2+2x+1分组后能运用公式.分组分解法是因式分解的基

7、本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：(1)按字母分组；(2)按次数分组；(3)按系数分组.例如：把下列各式因式分解.(1) am+bm+an+bn；(2)x2-y2+x+y；(3)2ax-5by+2ay-5bx.知识点5 关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).事实上：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个公式，可以把二次三项式因式分解

8、，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.例如：把x2+3x+2分解因式.(分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=12，一次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)典例剖析 师生互动基础知识应用题本节基础知识的应用主要包括：(1)掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式；(2)会分解关于x2+(p+q)x+pq型的二次三项式.例1 用提公因式法将下列各式因式分解.(1)ax-ay； (2)6xyz-3xz2； (3)-x3z+x4y；(4)36aby

9、-12abx+6ab； (5)3x(a-b)+2y(b-a)；(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).(分析) (1)(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中(5)题把b-a化成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式.解：(1)ax-ay=a(x-y)(2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z).(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy).(4)36aby-12abx+6ab=6ab(6y-2x+1).(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y).(

10、6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)=(m-x)(m-y)(x-m)=-(m-x)2(m-y).小结 运用提公团式法分解因式时，要注意下列问题：(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解.如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)(7m-8n)-(3m-2n)=(x+y)(4m-6n).=2(x+y)(2m-3n).(2)如果出现像(5)(6)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的机率，这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).例如：分解因式a

11、(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简便，因为(x-y)2=(y-x)2.a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2=(y-x)2a+b(y-x)+c=(y-x)2(a+by-bx+c).(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成积的形式.例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)(7a-8b)+(a-8b)=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b)2.学生做

12、一做 把下列各式分解因式.(1)am+an； (2)(xy+ay-by)；(3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)； (4)3x(a-b)-2y(b-a)；(5)4p(1-q)3+2(q-1)2； (6)ab2(x-y)m+a2b(x-y)m+1.老师评一评 (1)原式=a(m+n) (2)原式=y(x+a-b)；(3)原式=2(2a+b)2； (4)原式=(a-b)(3x+2y)；(5)原式=(1-q)2(4p-4pq+2)； (6)原式=ab(x-y)m(b+ax-ay).例2 把下列各式分解因式.(1)m2+2m+1； (2)9x2-12x+4；(3)1-10x+25

13、x2； (4)(m+n)2-6(m+n)+9.(分析)本题旨在考查用完全平方公式分解因式.解：(1)m2+2m+1=(m+1)2.(2)9x2-12x+4=(3x-2)2.(3)1-10x+25x2=(1-5x)2.(4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.学生做一做 把下列各式分解因式.(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1； (2)(x+y)2-4(x+y-1).老师评一评 (1)原式=(x2+3)2； (2)原式=(x+y-2)2.例3 把下列各式分解因式.(1)x2+7x+10； (2)x2-2x-8；(3)y2-7y+10； (4)x2+7x-18.(分析) 二次三项

14、式x2+7x+10的二次项系数为1，常数项10=25，一次项系数7=2+5，所以这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子，可以用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解.解：(1)x2+7x+10=(x+2)(x+5).(2)x2-2x-8=(x-4)(x+2).(3)y2-7y+10=(y-2)(y-5).(4)x2+7x-18=(x+9)(x-2).小结 对于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解，pq0，则p,q同号，若p+q0，则p0，q0；若q+p0，则p0，q0；若pq0，则p,q异号，若p+q0，则绝对值大的为正数，若p+q0,则绝对值大的为负数.学生做

15、一做 把下列各式分解因式.(1)m2-7m+12； (2)x2y2-3xy-10；(3)(m-n)2-(m-n)-12； (4)x2-xy-2y2.老师评一评 (1)原式=(m-3)(m-4)； (2)原式=(xy-5)(xy+2)；(3)原式=(m-n-4)(m-n+3)； (4)原式=(x-2y)(x+y).综合应用题本节知识的综合应用主要包括：(1)用分组分解法分解因式；(2)与方程组的综合应用；(3)与几何知识的综合应用；(4)几种因式分解方法的综合应用.例4 分解因式.(1)x3-2x2+x； (2)(a+b)2-4a2； (3)x4-81x2y2；(4)x2(x-y)+y2(y-x

16、)； (5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.(分析)本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式.解：(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.(2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a).(3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y).(4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2.(5)( a+b+c)2-(a-b-c)2=(a+b+c)(a-b-c)(a+b+c)-(a-b-c)=2a(2

17、b+2c)=4a(b+c).例5 利用分组分解法把下列各式分解因式.(1)a2-b2+a-b； (2)a2+b2-2ab-1；(3)(ax+by)2+(ay-bx)2； (4)a2-2ab+b2-c2-2c-1.(分析) 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，其中(1)题分组后存在公因式，(3)题需去括号后重新分组，(2)和(4)题分组后能运用公式.解：(1)a2-b2+a-b=(a2-b2)+(a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).(2)a2+b2-2ab-1=(a2-2ab+b2)-

18、1=(a-b)2-1=(a-b+1)(a-b-1).(3)(ax+by)2+(ay-bx)2=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=(a2x2+a2y2)+(b2y2+b2x2)=a2(x2+y2)+b2(x2+y2)=(a2+b2)(x2+y2).(4)a2-2ab+b2-c2-2c-1=(a2-2ab+b2)-(c2+2c+1)=(a-b)2-(c+1)2=(a-b)+(c+1)(a-b)-(c+1)=(a-b+c+1)(a-b-c-1).小结 解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公

19、因式后，通常分下列几种情况考虑：(1)如果是四项或四项以上，考虑用分组分解法；(2)如果是二次三项式或完全平方式，则考虑用x2+(p+q)x+pq型式子或完全平方公式分解因式；(3)如果是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式.最后，直到每一个因式都不能再分解为止.例6 解方程组(分析)本题是一个二元二次方程组，就目前的知识水平来说，用代入消元法或加减消元法来解是困难的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x2-4y2=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5，再把x-2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中，即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出.解

20、：由得(x+2y)(x-2y)=5，把代入中得x+2y=5，原方程组化为+得2x=6，x=3.-得4y=4，y=1.原方程组的解为学生做一做 解方程组老师评一评 例7 若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式a2+b2+c-ab-ac-bc=0，试判断这个三角形的形状.解：a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0.即(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ac+a2)=0，(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0.由平方的非负性可知，a=b=c.这个三角形是等边三角形.例8 利用因式分解计算下列各题.(1)234265-2

21、3465； (2)992+198+1.(分析)主要应用提公因式法和公式法分解因式来计算.解：(1)234265-23465=234(265-65)=234200=46800.(2)992+198+1=992+2991+1=(99+1)2=1002=10000.学生做一做 利用因式分解计算下列各题.(1)7.6199.9+4.3199.9-1.9199.9；(2)20022-40062002+20032；(3)565211-435211；(4)(5)2-(2)2.老师评一评 (1)原式=1999； (2)原式=1；(3)原式=143000O； (4)原式=28.例9 若9x2+kxy+36y2是

22、完全平方式，则k= .(分析) 完全平方式是形如：a22ab+b2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2，kxy=23x6y=36xy.k=36.学生做一做 若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k= .老师评一评 k=3或k=-9.探索与创新题例10 计算.(分析) 本题旨在考查因式分解的灵活运用,即=a-b(a+b0).解:原式=+ =(1-2)+(3-4)+(5-6)+(2003-2004) =(-1)(20042) =-1002.例11 若x2+kx+20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有( )A.2个 B.3

23、个 C.4个 D.6个(分析) 若把x2+kx+20在整数范围内因式分解，由式子x2+(p+q)x+qq考虑把20分解因数，20可分解为：201，(-20)(-1)，102，(-10)(-2)，54，(-5)(-4)，所以k可能取的值有：20+1，(-20)+(-1),10+2，(-10)+(-2),5+4，(-5)+(-4),故k可能取的值有6个，所以正确答案为D项.例12 分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10.(分析)把x4+x2作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构.解：令x4+x2=m，则原式可化为(m-4)(m+3)+10=m2-m-12+10=m2-m-2

24、=(m-2)(m+1)=(x4+x2-2)(x4+x2+1)=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1).学生做一做 求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.老师评一评 设这四个连续自然数依次为n，n+1，n+2，n+3，则n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数.例13 若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积，试确定m的值.(分析)用待定

25、系数法，令x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d),再对比系数求得m.解:设x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d)=x2+(a+c)xy+acy2+(b+d)x+(ad+bc)y+bd.对比多项式的系数得由，两式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8.(1)当b=-8，d=3时，得a=9，c=-2，(2)当b=3，d=-8时，得a=-2，c=9.m=-18.学生做一做 已知多项式2x3-x2+m有一个因式(2x+1),求m的值.老师评一评 由已知条件可以设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+ax+b),则2x3-x2+m

26、=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x+b.对比多项式系数可得中考展望 点击中考中考命题总结与展望本章内容在中考中多以填空、选择题的形式出现，直接以分解因式单独命题的并不多，但它与方程组、二元一次方程、二次函数及分式的运算的结合都是屡见不鲜的，应在学习中引起充分的重视.中考试题预测例1 (1)分解因式：a2-25= ；(2)分解因式：xy2-x2y= ；(3)分解因式：x2-1= ；(4)分解因式：3x2-3= ；(5)分解因式：x2+2xy+y2-4= ；(6)分解因式：x3y2-4x= ；(7)分解因式：2x2-2= ；(8)分解因式：a3+2a2+a= ；(9)分解因式：x3y-4x

27、y+4y= ；(10)分解因式：a2-2ab+b2-c2= .(分析) (1)直接运用平方差公式分解即可.(2)直接运用提取公因式法分解即可.(4)3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1).(5)解决本题采用分组分解法，x2+2xy+y2-4=(x2+2xy+y2)-4=(x+y)2-4=(x+y+2)(x+y-2).(6)先提取公因式，再运用公式法分解因式.x3y2-4x=x(x2y2-4)=x(xy+2)(xy-2).答案：(1)(a+5)(a -5) (2)xy(y-x) (3)(x+1)(x-1) (4)3(x+1)(x-1) (5)(x+y+2)(x+y-2)(6)x(xy

28、+2)(xy-2) (7)2(x+1)(x-1) (8)a(a+1)2 (9)y(x-2)2 (10)(a-b+c)(a-b-c)例2 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )A.x2-y B.x2+2y C.x2+y2 D.x2-xy+y2答案:B例3 将多项式a2-ab+ac-bc分解因式，分组的方法共有 种.(分析) 一种是：a2-ab+ac-bc=(a2-ab)+(ac-bc)；另一种是：a2-ab-ac-bc=(a2+ac)-(ab+bc)，分组方法共有2种.例4 x2-y2-x-y分解因式的结果是 .答案：(x+y)(x-y-1)例5 将下列式子因式分解：x-x2-y+y2=

29、 .答案：(x-y)(1-x-y)例6 解方程组(分析)运用因式分解把二元二次方程组转化成二元一次方程组.解：由得(x-2y)(x+y)=0，把代入中，得x-2y=0，原方程组化为-得3y=2，y=.把y=代入中，得x=.原方程组的解为例7 为使x2-7x+b在整数范围内可以分解因式，则b可能取的值为 .(任写一个)(分析) 这是一个开放性试题，答案不惟一，依据的是式子x2+(p+q)x+pq.答案：-8例8 把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结果是( )A.(1-x-y)(1+x-y) B.(1+x-y)(1-x+y)C.(1-x-y)(1-x+y) D.(1+x-y)(1+x+y)(

30、分析)解决本题采用分组分解法.1-x2+2xy-y2=1-(x2-2xy+y2)=1-(x-y)2=(1+x-y)(1-x+y).故此，正确答案为B项.课堂小结 本节归纳1.本节主要学习了：用提公因式法分解因式；用公式法分解因式；用分组分解法分解因式；形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式的因式分解.2.会运用因式分解解决计算问题.自我评价 知识巩固1.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于( )A.3 B.-5 C.7. D.7或-12.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是( )A.2 B.4 C.6 D.83.把(a+b)-4(a2-b2)+4(a-b)2分解因式的结果是( )A.(3a-b)2 B.(3b+a)2 C.(3b-a)2 D.(3a+b)24.把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式为( )A.2(5x-2y)2 B.-2(5x-2