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1、导数在不等式证明中的应用毕业论文导数在不等式证明中的应用毕业论文摘 要 导数知识是高等数学中极其重要的部分,它的内容,思想和应用贯穿于整个高等数学的教学之中.利用导数证明不等式是一种行之有效的好方法,它能使不等式的证明化难为易,迎刃而解.在不等式证明的种种方法中,它占有重要的一席之地.本文将从利用函数的单调性,利用函数的最值,利用微分中值定理,利用泰勒公式,利用函数的凹凸性,利用两导数的不等性及利用偏导数等七个方面阐述导数在不等式证明中的应用. 关键词:导数,不等式,证明,函数. 1 Abstract The knowledge of derivative is an extremely im

2、portant part of higher mathematic，its content,ideas,and applications impenetrate into the teaching of higher mathematic.As to the proofs of inequalities,the use of the derivative proved to be an effective measure.It earns a place in the various methods of the proofs of inequalities.This article will

3、 elaborate the application of derivative in the use of the proofs of inequalities,that is,the monotonic property of the function,the maximum or minimum value of a function,differential mean value theorem,Taylors formula,concavity,inequality of two derivative and partial derivative. Key words:derivat

4、ive,inequalities,prove,function. 2 1.引言. 5 2.利用函数的单调性证明不等式 . 6 3.利用函数的最值(或极值)证明不等式 . 7 4.利用Lagrange中值定理证明不等式 . 8 5.利用泰勒公式证明不等式 . 9 6.利用函数的凹凸性证明不等式 . 11 7.利用两导数的不等性证明不等式 . 12 8.利用特殊例题的推广来证明不等式 . 14 9.结束语. 16 参考文献 . 16 3 引 言 不等式与等式一样，在数学问题中都是有着十分重要而且广泛应用的课题，而不等式的研究范围更广，难度更大.有些不等式用初等数学方法是很难证明的，我们将以函数的观

5、点认识不等式，应用导数为工具，使不等式的证明化难为易，迎刃而解. 在数学分析课程中，不等式是证明定理与公式的工具，不等式的证明又蕴涵着许多数学分析的技巧.文献1微分中值定理及其应用这一章节中主要阐述了拉格朗日微分中值定理、函数的单调性等概念. 文献2中研究了用导数来证明不等式,其中侧重的方法是拉格朗日中值定理、函数的单调性来证明不等式. 文献3中讨论了利用函数的最值来证明不等式. 文献4中用利用函数的凸凹性这一方法来证明不等式.利用导数证明不等式,其传统的方法是利用微分中值定理、函数的单调性及函数的最值等来证明不等式. 查阅相关文献十五篇,其中详读十篇.在文献5中找到创新之处,得出利用特殊例题

6、的推广这一方法来证明不等式.并且对常用的证明方法进行归纳总结,更进一步地,对归纳的证明方法及创新之处加以应用. 4 2利用函数的单调性证明不等式 该方法使用于某区间I上成立的不等式，一般地，证明区间I上fxgx()(),成立的不等式时，可以选择作为辅助函数。Fxfxgx()()(),Fx()对求导，判断是大于0或是小于0,判定的单调性，Fx()Fx()从而证明不等式. 1,1 定理 设函数在区间I上可导,则在区间I上递增fx()fx()(递减)的充要条件是 fx()0,fx()0, () 22xxxxx,，,ln(1)例1 设x0,证明不等式成立. 22(1)，x2xfxxx()ln(1),，

7、,，x,0f00,证明 令,显然.当时,有 ，221xfxx()10,，, 11，xxfx()x,0fx从而在(0,+?)内严格递增,又在处连续,所以,当，fxf()(0)0,x,0时, . 2xln(1)，,xx即 . 25 (1) 2xx,0gxxx()ln(1),，,，设,则时, 2(1)，x2212(1)xxxx，,gx()10,，, 2212(1)2(1)，xxxx,0x,0gx()gx()所以在(0,+?)内递减,又在处连续,故时,有gxg()(0)0, 2xln()xx, 即 2(1)，x(2) x,0 由 (1)(2)可知,当时,有 22xxxxx,，,ln(1)22(1)，x

8、. 注 构造适当的辅助函数，使得证明简洁些是很有必要的。为此，往往对待证的不等式作适当的恒等变形。 3.利用函数的最值(或极值)证明不等式 由待证不等式建立函数,通过导数求出极值并判断极大值还是极小值,再求出最大值或最小值,从而证明不等式,这就是利用函数的最值(或极值)证明不等式的思路. 2,0Ux(,), 设在点连续,在某邻域内可导. 定理2.1fx00xxx,(,),fx()0,xxx,，(,),fx()0,(1) 若当时,当时,则f在0000点处取得极小值; x0xxx,(,),fx()0,xxx,，(,),fx()0,(2) 若当时,当时,则f在00006 点处取得极大值. x0证 下

9、面只证(2),(1)的证明可类似地进行. (,)xx,(,)xx，,由定理的条件及单调性定理知,在内递增,在递f0000fxfx()(),xUx,(,),减,又由在处连续,故对任意的,恒有.即在ffx000处取得极大值. x0xxffab, 若函数的最大(小)值点在区间内,则必是的极大(小)，00xxff值点.又若在可导,则还是一个稳定点.所以我们只要比较在00f所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值,就能从中找到在ab,上的最大值与最小值. ,利用函数的最值(或极值)证明不等式的步骤: 1、确定函数自变量所在的区间; 2、求导,确定在区间上的极值,并确定最值; fx()3、由最值得到不等式

10、. ，nn,3nN,221,，n例2.1 设且,求证:. xfxxx,221,3证 设.则有 ，xfxxx,2ln2,(3). ，3x,3fx,2ln320fx3,，,因为,所以.所以在上为增函数.故，,n221,，nfxf310,fx,0的最小值为.所以恒成立,即命题得，证. 若我们不用函数的最值方法去证明，我们可以这样证明: 证 用数学归纳法. 3n,3282317,，, 当时,恒成立. 7 knk,nk,，1221,，k 假设当时,成立.那么,当时,有 kk，122221242,，,，kk. ，k,34223kk，,，kN,又因为且,所以易证成立.从而得到 k，1223211,，,，kk

11、. ，nk,，1即当时命题也成立,从而原命题得证. 从此例题我们可以看出利用函数的最值证明不等式思路更为清晰,方法更为简明,有利于避免不等式证明中的一些转化,放缩等问题.在不等式的证明中,转化与放缩恰恰又是难点所在,所以以后遇到当函数取最大(或最小)值时不等式都成立的问题时,我们可以把不等式恒成立的问题转化为求函数的最值问题.因此利用导数求函数最值是不等式证明的一种重要方法. 4 利用拉格朗日中值定理证明不等式 fx()要使用拉格朗日中值定理，关键是找出函数及其区间，看它是否满足格朗日中值定理的条件，还可结合不等式的特点来找。 fx() 定理2(拉格朗日中值定理) 若函数满足以下条件: fx(

12、),ab (1)在闭区间上连续; fx()(,)ab (2)在开区间内可导; ,则在(a,b)内至少存在一点，使 fbfa()(),f(),ba, fx()例2 设为非线性函数，在a,b在连续，在(a,b)内可，,(,)ab使 导，证明:fbfa()(),f(),ba,。 8 证明 引入辅助函数 fbfa()(),Fxfxfaxa()()()(),ba, fx()Fx()0,，,cab(,)Fc()0,由于非线性，故，使得，而FaFb()()0,。 Fc()0,Fc()0,ac,cb,设，(类似可证)，在与上分别使用拉格,朗日中值定理，得 FcFa()(), ,Fac()0,(,),11ca,

13、FbFc()(), ,Fcb()0,(,),22bc,fbfa()(),而 ， Fxfx()(),ba,fbfa()(),fxFx()(),，ba,即 . fbfa()(),ff()(),21ba,所以 ， ,fff()max(),(),令 12fbfa()(),故 ,f(),ba,注 一般地，若函数满足拉格朗日中值条件，则有不等式 1,min()()()max()fxfffx, ,x,x,它是利用拉格朗日中值定理证明许多具体函数的不等式的主要思想。 5.利用泰勒公式证明不等式 我们先对泰勒公式作简单介绍. 9 2,定理4.1 若函数在点存在直至n阶导数,则有fx0nfxTxoxx()()()

14、,，,即0n()nfxfx()()2nn00.fxfxfxxxxxxxxx()()()()()()(),，,，,，,，,00000002!n(*) 证 设 nRxfxTxQxxx()()(),()(), 0nnn现在只要证 Rx，n. lim0,xx0Qx，n又由关系式 n，RxRxRx,0, ，000nnn并易知 nn,1，QxQxQxQn,0,!. ，nnnn000n，fx因为存在,所以在点的某邻域内存在阶导函数xfUxn,1，0000xUx,.于是,当且时,允许接连使用洛必达法则次,xx,n,1fx()，00得到 n,1，RxRxRx，nnnlimlimlim, 1n,xxxxxx,00

15、0QxQxQx，nnnnnn,11，fxfxfxxx,，000lim, xx,012nnxx,，0n,1，n,1，fxfx,，1n，0,limfx ，,0xx,0!nxx,0，,0. 定理所证的(*)式称为函数f在点处的泰勒公式. x010 用此公式证明不等式就是把所要证的不等式适当变形,把其中的函数用此公式展开,再把展开式右边进行放大或缩小,从而推证要证的不等式. 22,xx例4.1 当时,证明不等式成立. 0,x,1cosx2,2224xx1cos1,xx,证 由于,故.,cos1cos,0xx,，,cos,2x2242!4!22,22211111411x2,显然有, ,cos1,2224

16、2242962963,即 11cos1,x. ,2,2x2x两边乘以,得 22xx,1cosx. ,2所以结论成立. 注意 用泰勒公式证明命题时,关键要注意一点,即究竟要展开到第几阶,而对于命题则没有统一的规律,我们要根据题中的有关信息加以适当取舍. 6 利用函数的凸凹性证明不等式 函数的凸凹性的重要应用之一是证明不等式，许多不等式问题用以前的方法(如中值定理、泰勒公式等)证明起来十分困难，但利用函数的凸凹性质，可以方便、快捷地得到结论。 IIfx() 定理5 为区间上的凸函数的充要条件是:对于区间上11 xxx,的任意三点总有 123fxfx()(),fxfx()(),3221 ,.xxxx

17、,2132fxx()ln,(0)x, 例5 利用 是凸函数，证明:,n12xxxxxx,，,.x,0,0,1.,其中 ,121122nnniiifxx()ln,(0)x, 证明 因为 是凸函数，所以詹森不等式nnfxfx()(),成立。 ,iiii,11ii,，,，ln()(lnlnln)xxxxxx, 即 11221122nnnn,n12,，,ln()ln(),xxxxxx112212nnn ,n12ln()ln(),xxxxxx，,亦即 112212nnn,n12xxxxxx,，,从而 121122nnIfx() 注 如果是区间上凸(凹)函数，那么由定义，对于区Ixx间上的任意两点,总有

18、12fxfx()(),fxfx()(),fxfx()(),fxfx()(),32322121,(),xxxx,xxxx,21322132 Ifx()所以只需证明在区间上是凸(凹)函数即可证上述不等式。 7.利用两导数的不等性证明不等式 在不等式的证明中,我们也可以由待证不等式建立两个在端点值相等的函数,比较两函数导数的大小,应用定理证明不等式. 3,定理6.1 设函数满足: fxgx(),()(?) 在区间上可导, ab,fxgx()(),(?) 在区间上有, ab,，,(?) , faga()(),12 则在上有. ab,fxgx()(),，,证 设,则在上,有 ab,Fxfxgx()()(

19、),Fxfxgx()()()0,. 是上的增函数. 因而,ab,Fx()，,lim()()0FxFa,另一方面,且,故在Fx()Fafaga()()()0,，xa,xab,Fa()0,上递增且,于是,当时,即ab,FxFa()()0,，,，,. fxgx()(),此定理有明显的几何意义:如果曲线,都过同一点yfxygx,(),(),且当时,曲线的切线斜率大于曲线Mafa(,()yfx,()ygx,()axb,的切线斜率,则曲线必在曲线的上方.(如图1) yfx,()ygx,()y y y=f(x) y=f(x) M y=g(x) y=g(x) M 0 0 x a x b a b x x 图1

20、图2 类似地可得到 13 3,定理6.2 设函数满足: fxgx(),()(?) 在区间上可导; ab,fxgx()(),(?) 在区间上有; ab,，,(?) , fbgb()(),则在上有. ab,fxgx()(),，,其几何意义如图2. 3x例6.1 证明,. xx,sin(0)x,63x证 设,显然,求导,得: fxxgxx(),()sin,fg(0)(0),62x. fxgxx()1,()cos,2为在上判断与的大小,再求一次导,得: ,0fx()gx()，fxxgxxx(),()sin()sin(),. fg(0)(0)1,fxgx()(),因,即,故,即.又因为,x,0,x0,x

21、xsin()fxgx()(),在上应用定理即知.再在上应用定理,知,0,0，,即 fxgx()(),3xxx,sin (0)x,68 利用特殊例题的推广来证明不等式 5,在高等数学典型题解中有这样一道例题即命题1,通过它可以得到下面的命题2,命题3，应用这些推论可以简洁、快速地解决一些不等式的证明问题. fx(),)a，,(,)a，,fa()0,命题1 设函数在上连续，在可导，且。若14 fx(),fx()(,)a，,(,)a，,在单调增加(或单调减少)，则在上单,()x,xa调增加(或单调减少)。 ,fx()(,)a，, 证明 设在上单调增加 ,fxxafxfx()()()1(), ,()(

22、)xfx,2()xaxaxa,(,).ax由拉格朗日中值定理知 存在 使得 fxfxfa()()(), ,f().xaxa,fx()(,)a，,ax,由于在上单调增加，对于任意和有xa,fxf()(),()0.x,()x(,)a，,fx()，从而于是在上单调增加。对于在(,)a，,上单调减少的情形亦可类似证明。 将命题1推广可得以下推论。 fx()(,b(,),bfb()0,命题2 设函数在上连续，在可导，且, fx(),fx()(,),b(,),b若在单调增加(或单调减少)，则在上单,()x,xb调增加(或单调减少)。 ,fx()(,b证明 设在上单调增加 fx,，fxxbfx()()()1

23、, ,()()xfx,2()xbxbxb,(,).b由拉格朗日中值定理知, 存在 使得 fxfxfb()()(), ,f().xbxb,fx()(,),bxb,xb,由于在上单调增加，对于任意和有,fxf()(),()0.x,()x(,),bfx()，从而于是在上单调增加。对于在(,),b上单调减少的情形亦可类似证明。 (,b(,ab,ab注 将区间换成或结论也成立。 15 fx(),ab(,)abfa()0,命题3 设函数在上连续，在可导，且, 若fx(),fx()(,)ab(,)ab在单调增加(或单调减少)，则在上单调增加,()x,xa(或单调减少)。 ,fx()ab,证明 设在上单调增加

24、 ,fx,，fxxafx()()()1, ,()()xfx,2()xaxaxa,ab,.由拉格朗日中值定理知, 存在 使得 ,fxfxfa()()(), ,f().xaxa,fx()axb,xb,ab,由于在上单调增加，对于任意和有,fxf()(),()0.x,()xfx()ab,，从而于是在上单调增加。对于在,ab,上单调减少的情形亦可类似证明。 ,ab,)ab注 将区间换成结论也成立。 下面我们用这些定理证明一些常见的不等式。 ,2sinx(1)例9 证明 当时， 0,x,1.,2x1cos2,x(2) 0,xtanxx,(3) ,(1)fxx()sin,fxx()cos,fx()证明令，

25、则在单调减少。又在(0,)2,sinx,f(0)0,上连续，在内可导，且.于是在上0,(0,)(0,)()x222x,sinsinx2sinxsinx2单调减少。由于，所以.即 ,lim1,1.1，x,0,xxx2,(2)fxx()1cos,fxx()sin,fx()证明令，则在单调增加。又(0,)2,1cos,xf(0)0,在上连续，在内可导，且.于是在0,(0,)()x,22x16 ,1cos,1cos,x,1cos,x2上单调增加。由于，所以.即(0,)lim0,0,，x,0,2xx21cos2,x. 0,x,2,(3)fxx()tan,fx()fxx()sce,证明令，则在单调增加。又

26、在(0,)2,tanx,f(0)0,上连续，在内可导，且.于是在上0,),(0,)(0,)()x222xtanxtanxx,tan1x,单调增加。由于，所以.即 ,lim0，x,0x注 应用上面的命题及其推论我们不难得到下面的两条结论。 22xxxx,01 当时， ln(1)1.xxxxe,，,22(1)，x32x,2 当时， 0,x,，,01cossintan.xxxxxx,239.结束语 以上我们把应用导数证明不等式的方法归成七类,分别举例介绍了其证明方法,使用时究竟用哪种方法,需要根据不等式具体形式加以选择,有的可用多种方法证明.作分类介绍,只是提供了证明的不同思路与方法供选用.总的来说

27、,利用导数证明不等式是一种思路清晰,方法简明,效果良好的方法. 参考文献 1 华东师范大学数学系编，数学分析上册M.北京:高等教育出版社，2001，119/156. 2 刘恒群.用导数研究不等式J.宁夏工学院学报，1997，9(1):17 63/64. 3 梁俊平，导数在不等式证明中的应用J.龙岩师范专科学报，1997，15(3):167/170. 4 尚肖飞，贾计荣.利用导数证明不等式的若干方法J.太原教育学院学报，2002，20(2):35/37. 5 陈兰祥.高等数学典型题精解M.北京:学院出版社，2002.9. 6 刘绛玉，郝香芝等.不等式的证明方法J.石家庄职业技术学(6)16院学报，2001，:39/41. 7 裴礼文.数学分析内容、方法与技巧M.(上)北京:高等教育出版社，1993，170/205. 18