专题等腰三角形含答案.docx

1、专题等腰三角形含答案9、等腰三角形【知识精读】（）等腰三角形的性质1.有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角” ）。推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合。推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60 。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2.定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依 据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的

2、平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两 条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定1.有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” 。） 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论 2：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形。推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2.定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化 为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。3.等腰三

3、角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、 底边上的高、 底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线， 由于这条线可以把顶角和底 边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合， 添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。【分类解析】例 1. 如图，已知在等边三角形 ABC中， D是 AC的中点， E为 BC延长线上一点，且 CECD，DMBC，垂足为 M。求证： M 是BE 的中点。1分析： 欲证 M 是 BE的中点，已知 DMBC，所以想到连结 BD，证 BDE

4、D。因为 ABC 是等边三角形， DBE ABC，21而由 CE CD，又可证 E ACB，所以 1 E，从而问题得证。2证明： 因为三角形 ABC是等边三角形， D是 AC的中点1所以 1 ABC2又因为 CE CD，所以 CDE E所以 ACB 2 E即 1 E所以 BD BE，又 DM BC，垂足为 M所以 M 是 BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理）例 2. 如图，已知： ABC 中， AB AC ，D 是 BC 上一点，且 AD DB ，DC CA ，求 BAC 的度数分析：题中所要求的 BAC在 ABC中，但仅靠 AB AC是无法求出来的。 因此需要考虑 AD DB和DC CA

5、 在 题目中的作用。 此时图形中三个等腰三角形， 构成了内外角的关系。 因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。解：因为 ABAC ，所以 BC因为AD DB，所以BDAB C ；因为CA CD，所以CADCDA （等边对等角）而ADCBDAB所以ADC2 B ，DAC2B所以BAC3B又因为 BCBAC 180即求得 BAC 108说明 1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。 本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。2.注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。3.此题是利用方

6、程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类题目的常用方法。4.2 DCB 。例 3. 已知：如图， ABC 中， AB AC ， CD AB 于 D。求证： BAC于是想到构造它的一半， 再证与 DCB分析：欲证角之间的倍半关系， 结合题意， 观察图形， BAC 是等腰三角形的顶角，的关系。证明： 过点 A 作 AEBC 于 E， AB ACBAC （等腰三角形的三线合一性质）所以1212因为1B90又 CD AB ，所以CDB 90所以3B90（直角三角形两锐角互余）所以13（同角的余角相等）即BAC2DCB说明：DCB的等角等。2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等

7、辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半” 或构造“倍” 。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出4、中考题型：1.如图，ABC中，ABAC，A36，BD、CE分别为 ABC与ACB的角平分线，且相交于点 F，则图中的等腰三角形有（8 个，故选择 C分析： 由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有2. ）已知：如图，在 ABC中， AB AC， D是 BC的中点， DEAB，DFAC，E、F分别是垂足。求证： AEAF。证明： 因为 AB AC ，所以 B C又因为 DE AB ， DF AC所以 BED CFD 90又 D 是 BC 的中点，所以 DB

8、 DC 所以 DEB CFD ( AAS )所以 BE CF，所以 AE AF5、题形展示：求证： AD BD BCBE BA ，连结 DE，易得，则有 AD FD ，只需证明 DE CF ，这就 要从条件出发，通过角度计算可以得出CF DF DE 。证明一： 在 BC上截取 BE BA ，BFBD ，连结 DE、DF在 ABD 和EBD 中， BA BE ，1 2， BDBDABDEBD (SAS)AD DE ，BED A100DEF 80又 AB AC ， A 100ABC1C 21(180 100 )4012140 202而 BD BFBFD1BDF (18022)1(180 202)

9、80DEFDFE 80DEDFDFE 80 ， C 40FDCDFE C 804040FDCC DFFCAD DEDF FCBC BFFC BD AD即 AD BDBC分析二： 如图，可以考虑延长 BD 到E，使DE AD ，这样 BD AD=BD+DE=BE，只需证明BCE 80BE BC，由于 2 20，只需证明 E易证EDC ADB180100 20 60 ， BDC 120 ， 故 作BDC 的 角 平 分 线 ，则有ABDFBD ，进而证明DECDFC ，从而可证出E 80 。证明二：延长 BD到 E，使DEAD，连结 CE，作 DF 平分BDC交 BC于 F。由证明一知： 1 22

10、0 ， A100则有 3 180 10020 60， 6 3 60， BDC 180 60120DF 平分 BDC5 60345 6 60 ，在 ABD 和 FBD 中1 2，BD BD ， 3 4 ABD FBD (ASA )AD FD， BFD A 100 ，而 AD DE， DF DE在 DEC 和 DFC 中， DEDEC DFC (SAS )E DFC 180在 BCE 中， 2 20 ，BCE 80 ， EBC BE， AD BDDF， 5 6，DC DCBFD 180 100 803 80BCEBC说明：“一题多证” 在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，

11、读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力实战模拟】则腰长为（ ）1. 选择题：等腰三角形底边长为 5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm ，A. 2cm B. 8cm C. 2cm 或 8cm D. 以上都不对3.1E，求证： DE BC 。求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上4. ABC中， AB AC， A 120 ，AB的中垂线交 AB于D，交 CA延长线于C试题答案】1. B2. 分析： 结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用解： 因为ABC 是等边三角形所以 ABBC ， ABC 60因为

12、 BDBC ，所以 AB BD所以 32在 ABD 中，因为 CBD 90 ， ABC 60所以 ABD 150 ，所以 2 15所以 1 2 ABC 753. 分析： 首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。已知：如图，在 ABC 中， AB AC ，D、E分别为 AC、AB边中点， BD、 CE交于 O点。求证：点 O在 BC的垂直平分 线上。分析：欲证本题结论，实际上就是证明 OB OC。而 OB、OC在 ABC 中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问 题就转化为证含有 1、 2 的两个三角形全等。证明： 因为在 ABC 中， AB AC所以 ABC ACB （等边对等角）又

13、因为 D、 E分别为 AC、AB 的中点，所以 DC EB （中线定义）在 BCD 和 CBE 中，DC EB（已证 ）DCB EBC（已证 ）BC CB （公共边 ）所以 BCD CBE （SAS）所以 1 2 （全等三角形对应角相等）所以 OB OC （等角对等边）即点 O 在 BC 的垂直平分线上。说明：（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在 底边的垂直平分线上”正确地理解成“ OB OC”是关键的一点。（2）实际上，本题也可改成开放题： “ ABC中，ABAC，D、E分别为 AC、AB上的中点， BD、CE交于 判断 AO 与 BC 的关系，并证

14、明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。4.O。连结 AO 后，试BC 的中点。分析： 此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取 证明： 过点 A 作 BC边的垂线 AF，垂足为 F。在 ABC 中， AB AC ， BAC 120所以BC 3031所以12 60 ， BF1BC （等腰三角形三线合一性质） 。2所以360 （邻补角定义）。所以13又因为ED 垂直平分 AB，所以E30 （直角三角形两锐角互余） 。AD1AB （线段垂直平分线定义）2。又因为AF1AB （直角三角形中角所对的边等于斜边的一半） 。2所以 AD AF在Rt ABF和Rt AED 中，1 3（已证 ）AF AD （已证）AFB ADE 90所以 Rt ABF Rt AED （ ASA ）所以 ED BF1 即 ED 1 BC 。2说明： （1）根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项基本功；（ 2）直角三角形中 30 角的特殊关系，沟通了边之间的数量关系，为顺利证明打通了思路。