高一数学上期末试题及答案.docx

1、高一数学上期末试题及答案2020 年高一数学上期末试题 ( 及答案)、选择题1设集合 Ax|2x1 1 ，By|y log3 x,xA ，则 eB A ()A0,1B 0,1C0,1D 0,12在实数的原有运算法则中，补充定义新运算”如下：当 ab 时， a b aab 时， abb 2 ，已知函数fx1xx 2 2xx2,2 ，则满足fm1f 3m的实数的取值范围是()1,11,22AB ,2CD 1,222333若 f x3a x 4a,x21是 ,的增函数 , 则 a 的取值范围是 ( )x2,x 1222A,3B ,3C,3D ,5554对于函数f (x) ，在使 f (x)m 恒成立

2、的式子中，常数m 的最小值称为函数 f (x)；当的上界值”，则函数 f (x) 3x 3 的“上界值”为( )3x 31,3 上的解集是 ( )15如果函数 y2 m22m2 7m 99m 19 x是幂函数，且图像不经过原点，则实数m2xabx 2,x0a 是方程 x lg x4 的解， b 是方程16已知 f x，其中2,x0x 10x 4的解，如果关于 x的方程 f x x的所有解分别为 x1， x2，xn ，记xi x1 x2 L xn ，则 xii 1 i 117如图，矩形 ABCD的三个顶点 A, B, C分别在函数 y log 2 x， y x21，219 某食品的保鲜时间 y(

3、单位：小时)与储存温度 x(单位： )满足函数关系( 为自然对数的底数， k、 b 为常数)若该食品在 0 的保鲜时间 设计 192 小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是 小时.20 若存在实数 m,n m n ，使得 x m,n 时，函数 f x loga a2x t 的值域也为m,n ，其中 a 0且 a 1，则实数 t 的取值范围是 .三、解答题21 已知函数 f xlg x 12x.(1)判断函数 f x的奇偶性；(2)若 f 1 mf 2m 10 ，求实数 m 的取值范围22 已知函数 f x2log 4 x12 log 4 x .1)当 x 2,

4、4 时，求该函数的值域；2)求 f x 在区间 2,t ( t 2)上的最小值 g t23已知全集 U R ，集合 M x| 2剟x 5, N x|a 1剟x 2a 1 .)若 a 1，求 M I (eRN ) ； () M N M ，求实数 a 的取值范围 .24已知函数 f(x) 是二次函数 , f( 1) 0, f ( 3) f(1) 4.(1)求 f(x) 的解析式 ;(2)函数 h(x) f (x) ln(| x| 1) 在 R上连续不断 ,试探究 ,是否存在 n(n Z) ,函数 h(x) 在区间 (n,n 1)内存在零点 , 若存在 ,求出一个符合题意的 n ,若不存在 ,请说明

5、由 .25 义域为 R的函数 f x 满足：对任意实数 x,y 均有 f x y f x f y 2，且f 2 2，又当 x 1时， f x 0 .1）求 f 0 .f 1 的值，并证明：当 x 1时， f x 0 ；（2）若不等式f2 aa 2 x222a 1 2 x24 0 对任意 x 1,3 恒成立，求实数 a 的取值范围26 若 f x2xa是奇函数 .2x1（1）求 a 的值；（2）若对任意x0,都有 fx 2m2m，求实数 m 的取值范围 .【参考答案】 * 试卷处理标记，请不要删除一、选择题1B解析： B【解析】【分析】先化简集合 A,B,再求 eBA得解 .【详解】由题得 A

6、x|2x 1 20 x|x 1 ， B y|y 0 .所以 eBA x|0 x 1 .故选 B【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法， 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 .2C解析： C【解析】当2x1时，fx1x22 x 4 ；当 1 x2 时， fx2xx22 x3 4 ；x4, 2x1所以 fx3x4,1x2易知，fxx4在2,1 单调3递增， f x x3 4 在 1,2 单调递增，2,2 上单调递增，【点睛】 本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点： （1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致；（

7、2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系4C解析： C【解析】【分析】利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”详解】令 t 3x,t 0 则故函数 f x 的“上界值”是 1； 故选 C【点睛】 本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键 是利用复合函数的单调性法则判断其单调性再求值域或 通过换元法求解函数的值域5A解析： A【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数 m,n满足 m n且 f(m) f(n)，且 f(x) 在区间m2,n上的最大值为 2，所以 f(m) f ( n) =2，由 f(x) log2x 2解得 x 2,1，

8、即21m,n 的值分别为 ，2故选 A2考点：本题主要考查对数函数的图象和性质 点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立 m,n 的方程6A解析： A【解析】【分析】由已知可知， f x 在 1， 上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即 可求解【详解】二次函数 f x2ax x 4对任意的 x1,x2 1, ，且 x1 x2 ，都有0，上单调递减，a01 1 ，解可得 a 0 ，故选 A 122a【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题 .7C 解析： C 【解析】 【分析】 【详解】2因为函数

9、 f x ln x ， g x x 3 ，可得 f x ?g x 是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 A,D ；又 x 0,1 时， f x 0,g x 0,所以 f x ?g x 0,排除 B , 故选 C.【方法点晴】 本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题 .这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循 解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以 及x 0 ,x 0 ,x ,x 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的 选项一一排除 .8A 解析： A 【解析】 本题考察

10、函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得 y ln 1 ， y 2|x| ， y cosx是偶函数， y x3 是奇函数|x|y cosx是周期为 2 的周期函数，单调区间为 2k ,(2k 1) (k z)x 0时， y 2|x|变形为 y 2x ，由于 21,所以在区间 (0, )上单调递增1 1 1x 0时， y ln 变形为 y ln ，可看成 y lnt,t 的复合，易知 y ln t(t 0) |x| x x11为增函数， t (x 0)为减函数，所以 y ln 在区间 (0, ) 上单调递减的函数 x |x|故选择 A9D 解析： D 【解析】试题分析：由 f x f 2 x

11、 ，可知函数 f x 图像关于 x 1 对称，又因为 f x 为偶 函数，所以函数 f x 图像关于 y轴对称 .所以函数 f x 的周期为 2，要使函数g x f x loga x有且仅有三个零点，即函数 y f x 和函数 y loga x图形有且只0a1 11有 3 个交点 .由数形结合分析可知， log a 3 1, a ，故 D 正确 .a 5 3loga 5 1考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结

12、合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数 形结合求解10C解析： C【解析】若 x 2，0 ，则 x0，2，此时（f x） x1，Q （f x）是偶函数，（f x）x 1 （f x）， 即 （f x）x 1， x 2，0， 若 x2，4 ，则x4 2，0，函数的周期是 4， （f x）（f x 4）（x 4） 13 x，x1， 2 x 0即 （f x）x1， 0 x 2 ，作出函数（f x）在 1，3 上图象如图，3x， 2 x 4若 0 0 等价为（f x） 0 ，此时 1 x0 等价为 （f x）0 ，此时 1x0 在 1，3 上的解集为（1，3）（ 1，0）.

13、故选 C.【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和周期性求出对应的解析式，利用 数形结合是解决本题的关键11C解析： C【解析】【分析】【详解】1x2 ax 1 0对于一切 x 0,21 成立，11即 a? -x- 对于一切 x (0, ) 成立，x211设 y=-x- , 则函数在区间 (0, 上是增函数x2-x- 1- 1-2=x2a?故选 C.点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题： (1)根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； (2)若 f(x) 0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 f(x)min 0，若 f (x) 0恒成立，转化为 f

14、(x)max 0;(3)若 f(x)g(x) 恒成立，可转化为f ( xmin )g(x)max .12D解析： D【解析】试题分析：y11 在区间 1,1 上为增函数；y cosx 在区间 1,1 上先增后减；1xy ln 1x 在区间 1,1 上为增函数；y2x 在区间 1,1 上为减函数，选 D.考点：函数增减性二、填空题13【解析】当时解得；当时恒成立解得：合并解集为故填：3解析： x|x 32【解析】3当 x 2 0 时， x x 2 f x 2 5 x x 2 5，解得 2 x ；当2x 2 0时， x x 2 f x 2 5 x x 2 5，恒成立，解得： x 2，合并33解集为

15、 x x ，故填： x x .2214【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数(为 常数)且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中 解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基解析：1【解析】【分析】由 f 35，求得a 35 27b 2 3 ，进而求解 f3 的值，得到答案【详解】由题意，函数fx1ax5 bx3 2( a， b为常数)，且f35，所以 f31a 35127b 2 5 ，所以 a 35 27b3，又由 f31a 3 527b 2 3 2 1.故答案为：1【点睛】本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析

16、式，准确运算是解答的关键， 着重考查了计算能力，属于基础题 .153【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得或然后代入解析式看指数的 符号负号就符合正号就不符合【详解】因为函数是幂函数所以即所以所以或当 时其图象不过原点符合题意 ;当时其图象经过原点不合题意综上所述 :故 解析： 3【解析】【分析】根据幂函数的概念列式解得 m 3,或 m 6,然后代入解析式 ,看指数的符号 ,负号就符合 ,正 号就不符合 .【详解】因为函数 y m2 9m 19 x2 m 7m 9 是幂函数 ,所以 m2 9m 19 1,即 m2 9m 18 0,所以 (m 3)( m 6) 0,所以 m 3或 m 6,当m

17、 3时, f(x) x 12 ,其图象不过原点 ,符合题意 ;当m 5时, f(x) x21 ,其图象经过原点 ,不合题意 .综上所述 : m 3 .故答案为 :3【点睛】 本题考查了幂函数的概念和性质 ,属于基础题 .16【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质可求得的等量关系代 入解析式可得分段函数分别解方程求得方程的解即可得解【详解】是方程的解 是方程的解则分别为函数与函数和图像交点的横坐标因为和互为反函数所以解析： 1【解析】【分析】根据互为反函数的两个图像与性质 ,可求得 a ,b 的等量关系 ,代入解析式可得分段函数 f x分别解方程 f x x ,求得方程的解 ,即可得解

18、.详解】n所以xi 2i1故答案为 : 1【点睛】本题考查了函数与方程的关系 ,互为反函数的两个函数的图像与性质 ,分段函数求自变量 ,属 于中档题 .17【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点 D的坐标【详解】由图像可 知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上 所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函11 解析： ,24【解析】【分析】 先利用已知求出 xA,xB，yC的值，再求点 D的坐标 .【详解】由图像可知，点 A xA,2 在函数 y log 2 x的图像上，所以 2 log 2 xA ，即22xA故答案为 1 ,124【点睛】

19、 本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平.18【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法 即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则 所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式 解析： x2 (x 0)解析】 【分析】根据函数经过点 (4, 2)求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解【详解】则 x y2 ，所以原函数的反函数为 f 1(x) x2 (x 0) 故答案为： f 1( x) x2( x 0)【点睛】 本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟

20、记反函数的求法是解 答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题1924【解析】由题意得：所以时考点：函数及其应用解析： 24【解析】由题意得：ee22k b19248, e22k 14982 14,e11k 12，所以 x 33时，33 k b 11k 3 b y e (e ) e1192 24 .8考点：函数及其应用 .20【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【1 解析： 0,4【解析】【分析】2x由已知可构造 loga a2x

21、t x有两不同实数根，利用二次方程解出 t 的范围即可【详解】2xQ f ( x) loga a2 x t 为增函数，且 x m, n 时，函数 f x loga a2x t 的值域也为 m,n ，f ( m) m, f (n) n ，相当于方程 f (x) x 有两不同实数根 ,2xloga a t x 有两不同实根，即ax a2x t 有两解， 整理得： a2x ax t 0 ， 令 m a x, m 0 ，m2 m t 0 有两个不同的正数根，1 4t 0只需 即可，t0 1解得 0 t ，41故答案为： 0,4【点睛】 本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属

22、于中档题 三、解答题21 (1)奇函数；( 2) , 2【解析】【分析】(1)根据函数奇偶性的定义，求出函数的定义域及 f x 与 f x 的关系，可得答案；f x 的单调性，可得关于 m 的不等式，可得 m 的取值范围 .【详解】解：（ 1）函数 f x 的定义域是 R ，因为 f x lg x 1 x2 ， 所以 f x f x lg x 1 x2 lg x 1 x2 lg1 0 ， 即 f x f x ，所以函数 f x 是奇函数 .（2）由（ 1）知函数 f x 是奇函数，所以 f 1 m f 2m 1 f 2m 1 y lg u ， u x 1 x2 ， x R .因为 y lg u

23、是增函数，由定义法可证 u x 1 x2 在 R上是增函数，则函数R 上的增函数 .，设f x 是所以 1 m 2m 1，解得 m 2，故实数 m 的取值范围是 , 2 .点睛】 本题主要考查函数的单调性、奇偶性的综合应用，属于中档题2log 42 t 3log4 t 1,2 t 2 218,t 2 2（1）令 m log4 x ,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解（2） 根据二次函数的性质 ,分类讨论即可 .【详解】12,1该函数的值域为 1 ,08(1)令 m log4 x,则 x 2,4 时, mQ x 2,t , m 2,log 4 t2g t h m min h log4t

24、 2log4 t 3log 4t 1,3当 log4 t 4 ,即 t 2 2 时 ,1 3 3函数 h（m）在 2,4 上单调递减 ,在 4 ,log 4 t 上单调递增3g t h m min h 4综上所述 :g t【点睛】2log 42 t 3log4 t 1,2 t 2 21,t 2 28本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题 ,属于中档题 .23 （） M I （CRN） x| 2 x 2或3 x 5 （） a 2 【解析】【分析】M 可知（ ） a 1时，化简集合 B,根据集合交集补集运算即可（ ）由 M N N M ，分类讨论 N ， N 即可求解 .【详解】（）

25、当 a 1时， N x|2 x 3 ，CRN x|x 2或 x 3 .故 M I （CRN） x| 2 x 2或 3 x 5 .（） Q M N M ,NM当 N 时， a 1 2a 1，即 a 0 ；当 N 时，即 a 0.QN M ，a 1 22a 1 5 解得 0 a 2 . 综上： a 2.【点睛】 本题主要考查了集合的交集，补集运算，子集的概念，分类讨论，属于中档题224(1) f(x) (x 1)2 ;( 2)存在, 1.解析】【分析】(1)由 f( 3) f (1) ,知此二次函数图象的对称轴为 x 1, 由 f( 1) 0可设出抛物线 的解析式为 f(x) a(x 1)2 ，再

26、利用 f(1) 4求得 a的值；(2)利用零点存在定理，证明 h(0) h(1) 0即可得到 n 的值.【详解】(1)由 f( 3) f (1),知此二次函数图象的对称轴为 x 1,又因为 f( 1) 0,所以 ( 1,0)是 f(x) 的顶点 ,所以设 f (x) a(x 1)2 ， 因为 f (1) 4, 即a(1 1)2 4，所以设 a 1所以 f (x) (x1)2(2) 由(1)知 h(x)(x1)2ln(|x| 1)因为 h( 1) ( 11)2ln(|1|1) ln(2) 0h(0) (0 1)2ln(| 0|1)10即 h(0) h(1) 0因为函数 h(x)f(x)ln(|x

27、|1)在 R上连续不断 ,由零点存在性定理,所以函数h(x)在 ( 1,0)上存在零点所以存在 n 1使得函数 h(x) 在区间 (n,n 1)内存在零点 .【点睛】 本题考查一元二次函数的解析式、零点存在定理，考查函数与方程思想考查逻辑推理能力 和运算求解能力 .25 (1) 答案见解析； (2) a 0或 a 1.【解析】试题分析：(1)利用赋值法计算可得 f 0 2,f 1 4 ，设 x 1，则 2 x 1，利用 f 2 2 拆项： f 2 f 2 x x 即可证得：当 x 1时， f x 0 ；2x2 x 3x2 4x(2)结合(1)的结论可证得 f x 是增函数，据此脱去 f 符号，原问题转化为22a2 a 2 x2 2a 1 x 2 2 在 1