新教材高中数学北师大版选择性必修一学案第六章31离散型随机变量的均值含答案.docx

1、新教材高中数学北师大版选择性必修一学案第六章31离散型随机变量的均值含答案温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。3离散型随机变量的均值与方差3.1离散型随机变量的均值必备知识自主学习导思1怎样求随机变量X的均值？2均值的性质主要有哪些？1.离散型随机变量的均值设离散型随机变量X的分布列如表：Xx1x2xixnPp1p2pipn则称EXx1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望(1)数学期望的意义是什么？提示：它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)随机变量的均值与样本平均值有什么区别？提示

2、：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值2均值的性质(1)如果X为(离散型)随机变量，则YaXb(a，b为常数)也是随机变量，并且有EYE(aXb)aEXb(2)对于任意实数a，b，X，Y都是随机变量，一定有E(aXbY)aEXbEY.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化()(2)随机变量的均值反映样本的平均水平()(3)若随机变量X的数学期望EX2，则E(2X)4.()(4)随机变量X的均值EX.()

3、提示：(1).随机变量的数学期望EX是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征(2).随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平(3).由均值的性质可知(4).因为EXx1p1x2p2xnpn.2已知某一随机变量的分布列如表所示，若E6.3，则a的值为()a79Pb0.10.4A.4B5C6D7【解析】选A.根据随机变量的分布列的性质，可知b0.10.41，所以b0.5，又Eab70.190.46.3.所以a4.3(教材例题改编)若随机变量X的分布列为X123Paba则X的数学期望EX()A2ab Ba2b C2 D3【解析】选C.由EXX1P(X1)X2P(X2)XnP(Xn)，所以EX1a

4、2b3a2(2ab)，而2ab1，所以EX2.4设EX10，则E(3X5)_【解析】E(3X5)3EX5310535.答案：355盒子里有4个球，其中1个红球、1个绿球、2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止设此过程中取到黄球的个数为，则P(0)_；E_【解析】因为0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球、第二次拿红球，所以P(0)，随机变量0，1，2，P(1)，P(2)1，所以E0121.答案：1关键能力合作学习类型一求离散型随机变量的均值(数学运算)1(2021武汉高二检测)某篮球运动员每次投篮未投中的概率为0.3，投中2分球的概率为0.4，投中3分球的概率为0.3，

5、则该运动员投篮一次得分的数学期望为()A1.5B1.6C1.7D1.82已知离散型随机变量X的分布列为X0123P m则X的数学期望EX()A B1 C D23某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值【解析】1.选C.由已知得EX00.320.430.31.7.2选B.由m1，得m，所以EX01231.3X的取值分别为1，2，3，4.X1，表

6、明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X1)0.6.X2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X2)(10.6)0.70.28.X3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X3)(10.6)(10.7)0.80.096.X4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X4)(10.6)(10.7)(10.8)0.024.所以李明实际参加考试次数X的分布列为k1234P(Xk)0.60.280.0960.024所以X的均值为EX10.620.2830.09640.0241.544. 求离散型随机变量X的均值的步骤(1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值(2)求出X取

7、每个值的概率(3)写出X的分布列(有时也可省略).(4)利用定义公式EXx1p1x2p2xnpn求出均值类型二离散型随机变量均值的性质(逻辑推理、数学运算)【典例】1.(2021合肥高二检测)已知随机变量X的分布列如表所示，则E(2X5)的值等于()X12345P0.10.2b0.20.1A.1B2C3D42(2021太原高二检测)随机变量的分布列如下，且满足E2，则E(ab)的值()123PabcA.等于0 B等于1C等于2 D无法确定，与a，b有关【解析】1.选A.由题得0.10.2b0.20.11，所以b0.4，所以EX10.120.230.440.250.13，所以E(2X5)2EX5

8、2351.2选B.由随机变量的分布列得到：a2b3c2，又abc1，解得ac，所以2ab1，所以E(ab)aEb2ab1. aXb型的随机变量均值的求法对于aXb型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aXb)aEXb；也可以先列出aXb的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便(2021天津高二检测)已知离散型随机变量的分布列如下，若随机变量31，则的数学期望为()012P0.42kkA.3.2B3.4C3.6D3.8【解析】选B.由题意，根据离散型随机变量的分布列的性质，可得0.42kk1，解得k0.2，所以数学期望为E00.410.420.20.8，又由随机变量31，所以E

9、3E130.813.4.类型三离散型随机变量均值的实际应用(数据分析)【典例】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 【思路导引】【解析】(1)X的所有可能取值为6，2，1，2.P(X6)0.63，P(

10、X2)0.25，P(X1)0.1，P(X2)0.02.故X的分布列为：X6212P0.630.250.10.02(2)EX60.6320.2510.1(2)0.024.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为EX60.72(10.70.01x)1x(2)0.014.76x(0x0.29).依题意，EX4.73，即4.76x4.73，解得x0.03，所以三等品率最多为3%. 概率模型的三个解答步骤(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论在一

11、次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名战士中获胜希望较大的是谁？【解析】设这次射击比赛战士甲得X1分，战士乙得X2分，则分布列分别如下：X1123P0.40.10.5X2123P0.10.60.3根据均值公式得EX110.420.130.52.1；EX210.120.630.32.2；因为EX2EX1，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以战士乙获胜的希望较大备选类型利用基本不等式解决与离散型随机变量有关的最值问题(数学运算)【典例】一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b

12、，不得分的概率为c(a，b，c(0，1)，已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()ABCD【解析】选D.3a2b0c2，即3a2b2，所以6ab1，因此ab，当且仅当3a2b时取等号本典例中条件不变，求的最小值【解析】(6)，当且仅当时取等号所以的最小值为. 先根据数学期望公式得等量关系，再根据基本不等式求最值课堂检测素养达标1已知Y5X1，EY6，则EX的值为()AB5C1D31【解析】选C.因为EYE(5X1)5EX16，所以EX1.2今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则EX为() A

13、0.765 B1.75 C1.765 D0.22【解析】选B.X的取值为0，1，2，所以P(X0)0.10.150.015，P(X1)0.90.150.10.850.22，P(X2)0.90.850.765，EX00.01510.2220.7651.75.3已知0a，随机变量的分布列如图，则当a增大时，的期望E的变化情况是()101PabAE增大 BE减小CE先增后减 DE先减后增【解析】选B.由题意可知Eaa，所以当a增大时，的期望E减小4某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是()A2 000元B2 200元C2 400元D2 600元【解析】选B.出海的期望效益E5 0000.6(10.6)(2 000)3 0008002 200(元).5某射手射击所得环数X的分布列如下：X78910Px0.10.3y已知X的均值EX8.9，则y的值为_【解析】由题意得即解得答案：0.4关闭Word文档返回原板块