自考2324离散数学第四章课后答案.docx

1、自考2324离散数学第四章课后答案 自考2324离散数学课后答案4.1习题参考答案 -1、在自然数集N中，下列哪种运算是可结合的 ( )。 a)、 a*b=a-b b) a*b=max(a,b) c)、 a*b=a+2bd) a*b=|a-b| 根据结合律的定义在自然数集N中任取 a,b,c 三数，察看 (a。b)。c=a。(b。c) 是否成立？ 可以发现只有 b、c 满足结合律。 晓津观点：b)满足结合律，分析如下：a) 若有a,b,cN，则(a*b)*c =(a-b)-ca*(b*c) =a-(b-c)在自然数集中，两式的值不恒等，因此本运算是不可结合的。b)同上，(a*b)*c=max(

2、max(a,b),c) 即得到a，b,c中最大的数。a*(b*c)=max(a,max(b,c)仍是得到a,b,c中最大的数。此运算是可结合的。c)同上,(a*b)*c=(a+2b)+2c 而a*(b*c)=a+2(b+2c),很明显二者不恒等，因此本运算也不是可结合的。d)运用同样的分析可知其不是可结合的。 -2、设集合 A=1，2，3，4，.，10,下面定义的哪种运算，关于集合A是不封闭的? a) x*y=max(x,y) b) x*y=min(x,y); c) x*y=GCD(x,y),即x,y最大公约数； d) x*y=LCM(x,y) 即x,y最小公倍数； d)是不封闭的。 -3、设

3、S是非空有限集， 代数系统中，(s)上，对的幺元为_，零元为_S_，(s)上对的幺元为_S_零元_。 -4、设p,q,r是实数，*为R上二元运算a,bR，a*b=pa+qb+r，问*运算是否适合交换律、结合律和幂等律，是否有单位元和零元？并证明你的结论。 其不满足 交换律 、满足结合律 、不满足幂等律、无零元、无单位元 晓津补充证明如下：(1)a*b=pa+qb+r 而b*a=pb+qa+r 当p,q取值不等时，二式不相等。因此*运算不满足交换律。(2)设a,b,cR则(a*b)*c=p(pa+qb+r)+qc+r=p2a+pab+pr+qc+r而a*(b*c)=pa+q(pb+qc+r)+r

4、=pa+qpb+q2c+qr+r二式不恒等，因此*运算是不满足结合律的。(3)a*a=pa+qa+ra 所以运算不满足幂等律。(4)反证法。设有单位元e,则应有a*e=pa+qe+r=a, e*a=pe+qa+r=a,可知e=(a-pa-r)/q 或e=(a-qa-r)/p 当p,q,r ,a取值不同时，可得不同的e,这与单位元若有时只是唯一的定理相矛盾。(5)反证法。设有零元O,则应有a*O=pa+qO+r=O ,O*a=pO+qa+r=O ，同上分析，零元不止一个，因此与零元唯一的定理相矛盾。-5、设代数系统,其中 A=a,b,c,*是A上的一个二元关系。对于以下定义所确定的运算，试分别讨

5、论它们的交换性、等幂性，以及在A中关于*是否有幺元，如果有幺元，那么A中的每个元素是否有逆元。 (a) (b) *a b c*a b ca b ca b c b c a c a ba b ca b c b a c c c c(c) (d) *a b c*a b ca b ca b c a b c a b ca b ca b c b b c c c b (a) : 可交换、具有幂等性、有幺元 a 、 c是b的逆元 晓津答案：可交换，但不具有幂等性。幺元e=a,表中有a*a=a,b*c=a,c*b=a,则可得a的逆元是a,b有逆元c,c有逆元b.(b) : 可交换、不具有幂等性、有幺元 a ,因为

6、a*a=a,b*b=a,所以a有逆元a,b有逆元b.(c) : 不可交换、具有幂等性,无幺元。(d) : 可交换、不具有幂等性、有幺元 a ,a有逆元a. -6、定义I+上两个二元运算为： a*b=ab ab=a.b , a,bI+, 证明*对是不可分配的。 证明： 设a,b,cI+ a*(bc)=a(b.c) (a*b)(a*c)=(ab).(ac)=a(b+c) 可见：a*(bc)(a*b)(a*c) 根据：a*(bc)(a*b)(a*c) 可知*对是不可分配的 -7、设Zn=0,1,2,.,n-1,*是Zn上的二元运算，使得a*b=a.b/n 的余数。 构造n=4时，运算*的规则表。 并

7、证明对于任意 nN,*在Zn上是可结合的。 解： Zn=0,1,2,3 *012300000101232020230321晓津证明如下：(1)我们先证明n=1时,该运算*在Z1 上的运算是可结合的：此时，设有a,b,cZ1 则有a=0,b=0,c=0(a*b)*c=(a.b)Mod n).c )Mod n=0a*(b*c)=(a.(b.c)Mod n) )Mod n=0两式相等，因此当n=1时，*运算是可结合的。(2)由上可设 当n=k时，*运算是可结合的。(3)设n=k+1时，有：(a*b)*c= (a.b) Mod (k+1).c )Mod (k+1) =(a.b.c Mod (k+1)

8、) Mod (k+1)a*(b*c)=(a.(b.c)Mod (k+1) )Mod (k+1) =(a.b.c Mod (k+1) ) Mod (k+1) 可见两式是完全相同的结果。因此有当n=k+1时，*运算满足结合律。所以对于任意nN,*在Zn上是可结合的。4.2节习题参考答案 -1、对于正整数k,Nk=0,1,2,.,k-1,设*k是Nk上的一个二元运算，使得a*kb为用k除 a.b所得余数，这里a,bNk。 a)当k=4时，试造出*k的运算表。 b)对于任意正整数k，证明是一个半群。 解： Zn=0,1,2,3 *012300000101232020230321(1)我们先证明k=1时

9、,该运算*在Z1 上的运算是可结合的：此时，设有a,b,cZ1 则有a=0,b=0,c=0 (a*b)*c=(a.b)Mod k).c )Mod k=0 a*(b*c)=(a.(b.c)Mod k) )Mod k=0 两式相等，因此当k=1时，*运算是可结合的。 (2)由上可设 当k=k时，*运算是可结合的。 (3)设k=k+1时，有： (a*b)*c= (a.b) Mod (k+1).c )Mod (k+1) =(a.b.c Mod (k+1) ) Mod (k+1) a*(b*c)=(a.(b.c)Mod (k+1) )Mod (k+1) =(a.b.c Mod (k+1) ) Mod (

10、k+1) 可见两式是完全相同的结果。因此有当k=k+1时，*运算满足结合律。 所以对于任意kK,*在Zk上是可结合的。 由此可知其是个半群。 -2、设是一个半群aS，在S上定义一个二元运算，使 得对于S中任意元素x和y，都有xy=x*a*y 证明：二元运算是可结合的。 根据结合律： (xy)z=x(yz) (xy)z=(x*a*y)*a*z x(yz)=x*a*(y*a*z) 由于*满足结合律，故： (x*a*y)*a*z=x*a*(y*a*z) = (xy)z=x(yz) = 二元运算是可结合的 -3、设G=0，1，2，3，为模4乘法，即 x,yG, xy=(xy)mod4。问: 构成什么代

11、数系统？试证明之。 构成一个半群,证明详见第一题，其具有封闭性、结合性。 -4、在R中定义二元运算。 a。b=a+b+ab, a,bR 。 证明： 是独异点。 (1)、由运算 。可知，a。bR ，可知其在R上具有封闭性。 （2）、对于任意 a,b,cR (a。b)。c=(a+b+ab)。c=a+b+ab+c+ac+bc+abc a。(b。c)=a。(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abc 可见： (a。b)。c=a。(b。c) 即 。 在R上是可结合的。 (3) 因为 0。i=i ,所以0是上一个幺元 根据上述 是独异点 晓津认为题中所给中的O应为o；答案中的(3)幺元是0,而不

12、是0.-5、设V=是个半群，若存在 aS,使得对任意的 xS,有 u,vS满足： a*u=v*a=x 。证明 V是独异点。 晓津证明如下：反证法：若V不是独异点，则V不存在幺元.而因为x是任意的，则当x=a时，有a*u=v*a=a即此时u,v分别是a的右、左幺元。因为在一个系统中若同时存在左右幺元，则二者必相等，因此此时u=v=e。这与假设矛盾，因此由V是一个半群，又V具有幺元，得知V是独异点。 -6、设 V=是半群，OLS是一个左零元，证明： xS , x。OL也是一个左零元。 证明： V=是半群,故 。在S上是可结合的 x。OL=OL。x 根据定义4.1.5可知： OL。x=OL 故x。O

13、L也是一个左零元 晓津不同意见：可结合不等于可交换。在这里应当把(x。OL)看作一个元素，这整个元素是一个左零元。另，题中应为证明如下：因为V是半群，所以运算是封闭的,可结合的。若有x,y,OLS，则有x。OLS且有(x。OL)。y=x。(OL。y)=x。OL 即x。OL是S中任意y的左零元。-7、V=,其中表示模4乘法，找出V的所有子半群，并说明哪些子半群是V的子独异点。 解：子半群如下：V1=,V2=,V3=,V4=其中V1,V2,V3 ,V4都是V的子独异点，因为这四个半群中均有幺元e=1。 -8、证明在一个独异点中，左逆元集合，形成子独异点。 证明如下：设为一个独异点，则它有一个幺元.

14、设在中e是关于*的幺元，若对于任意aS，存在bS且b*a=e，则b是a的左逆元。令左逆元的集合为L，则LS,所以*在L上是结合的。对任意的a，bL, 则必存在x,yS,使a*x=e，b*y=e; 则(a*b)*(y*x)=a*(b*y)*x=a*e*x=a*x=e; 故a*b是y*x的左逆元， a*bL*在L上是封闭的 (本段证明由阮允准补充)即是一个半群。因为e是S中关于*的幺元，所以它同时也是L中关于*的幺元。因此是一个子独异点。 -9、设 是代数系统，其中 S=a,b,c,，*定义为： *abcaabcbbaaccaa则 是否为半群？是否为独异点？为什么？ 答：从表中看： (b*c)*c

15、=a*c=c b*(c*c)=b*a=b (b*c)*cb*(c*c) 故不是半群(本题答案由hybina提供，感谢hybina)4.3习题参考答案 1、设 为群，任意a,b,cA, 证明 a*b=a*c，则 b=c。 证明：根据定理 4.3.4，设是一个群，对于a,bG。必存在惟一的xG,使 a*x=b 设 a*b=g 因为 a*b=a*c 所以 a*c=g 由于 b在A中是惟一的，而c在A中也是惟一。 所以 b=c 晓津的证明如下：已知为群，则对于任意a,必逆元a-1和幺元e，则有：a-1*(a*b)=a-1*(a*c) 即有(a-1*a)*b=(a-1*a)*ce*b=e*c所以有b=c

16、 2、设 是独异点，且H中任意x，有x*x=e,其中e为单位元，试证明： 是交换群。 证明：根据定理 4.2.2设是独异点，对于a,bH,且a,b均有逆元。 那么根据定义4.3.1，可知 是群 交换群就是 *运算满足交换律的情况。 满足交换律就是 a*b=b*a 将 (a*b)*(b*a) 根据结合性可得 a*(b*b)*a=a*e*a=e 将 (b*a)*(a*b) 根据结合性可得 b*(a*a)*b=b*e*b=e 由于有 x*x=e ，而上述两个运算的结果，可知 a*b=b*a 根据定义4.3.4，可知其是一个交换群。 晓津证法如下：设有任意a,bH，e为幺元，则根据已知条件有：a*b=

17、(e*a)*(b*e) =(b*b*a)*(b*a*a) =b*(b*a)*(b*a)*a =b*e*a=b*a可见a*b=b*a,即是交换群。3、设G是整数加群，在G上定义运算*如下： a,bG,a*b=a+b-2,证明： 是群。证明：关于此题的疑惑， 假如 a=1 b=1 那么 a*b=0,0不是正整数了。那么就不能满足封闭性了。也有可能是我把题意给理解错了。 晓津观点，整数加群是指在整数集上进行加法运算的一个代数系统。而不仅仅是正整数上进行加运算，0也是包含在这个集合中的，所以满足封闭性。 证明如下：(1)因为任意a,bG，即a,bZ，且a*b=a+b-2,可见a*bZ，因此是封闭的。(

18、2)设有任意a,b,cG，则(a*b)*c =(a+b-2)+c-2=a+b+c-4a*(b*c) =a+(b+c-2)-2=a+b+c-4=(a*b)*c可见G上关于* 运算是可结合的。(3)在中存在幺元e=2 ，验证如下：对于任意aG，有a*e=a+2-2=a ，e*a=2+a-2=a(4)对于任意aG，存在逆元a-1 =4-a ,验证如下：a*a-1=a+(4-a)-2=2 ;a-1*a=4-a+a-2=2。因此可证，是群。 4、设G= ( 1 0 )( 1 0 )(-1 0 )(-1 0 ) ( 0 1 )( 0 -1)( 0 1 )( 0 -1) 证明： G关于矩阵乘法构成一个群。

19、运算表： 矩阵乘法1 0 0 110 0 -1-10 0 1-10 0 -11 0 0 11 0 0 110 0 -1-10 0 1-10 0 -110 0 -110 0 -11 0 0 1-10 0 -1-10 0 1-10 0 1-10 0 1-10 0 -11 0 0 110 0 -1-10 0 -1-10 0 -1-10 0 110 0 -11 0 0 1从运算表中可以看出其具有封闭性 并且其具有单位元 1 0 0 1 如何证明其具有结合性？晓津认为，仍旧可从表上看出。(表中色块表示(a*b)*d=a*(b*d)。*表示矩阵乘法。仅供理解用，证明时不必写出。)另外可以每个矩阵乘以它本身

20、，就等于其单位元，根据题二的结论 x*x=单位元，则说明是群。晓津观点：最后一步应找到每个元素有其逆元而不是单位元。仍从表上可以找到,每个元素本身就是它的逆元。因此G关于矩阵乘法构成一个群。 5、设为一代数系统，*定义如下： * 问：是否构成群？为什么？ 答：首先其满足封闭性，另外其有单位元 、但是其并非对每个元素均存在逆元，故其不构成群。 6、设A=a,b，试构造代数系统的运算表，并指出是否存在零元、幺元，并说明是否构成群？为什么？ aba,baba,baaaa,ba,bbba,bba,ba,ba,ba,ba,ba,b另外此题有印刷错误 U 应改为 其有单位元 ,零元 a,b ，除外其他元素

21、均无逆元，所以不构成群。7、设 G=2m5n | m,nI,:普通乘法，是否构成群？为什么？ 对此不解，其没有说明 *是什么运算？所以 是否构成群也是个问题。晓津的理解：题中的*应为方合题意。只是这I是指什么集合倒也成问题，我且将它理解成实数吧。这样的话，则G是一个不包含0的实数集，在G上关于运算是封闭的。关于普通乘法，很显然它也是可结合的。在实数集的普通乘法中，有幺元e=1,我们也可以确认，在G中对于m,nI(现我将其理解为实数)，则必存在m，n使2m5n=1.因此，是存在幺元的。同样地，在实数集中的关于乘法的逆元x是x的倒数即x-1,由于G中不包含0，因此对于任一2m5n有2-m5-n 为

22、其逆元。可见构成群。同学们有更好的理解和证法请不要独享啊。8、设 是半群，若存在左幺元，且每个元素均有右逆元，是不是群？为什么？ 其是群，因为右逆元存在的条件便是先存在着单位元（参见P80定义4.1.6)，所以 存在幺元。根据定理4.1.4 ，因为是半群，所以其是可结合运算的，根据定理4.1.4，其必有 左逆元=右逆元 ，所以其是一个群。 9、设G=1,2,3,4,5,6,G上的二元运算7 ,如下表所示： 7 123456112345622461353362514441526355316426654321问： 是循环群吗？若是，找出它的生成元。 答： 是循环群，生成元是3, 3=3 2=32 6=33 4=34 5=35 1=36 故G是六阶循环群。Littletree同学指出还有一个生成元：5因4=52，6=53,2=54,3=55,1=56 10、设A=x|xRx0,1，在A上定义6个函数如下： f1(x)=x ,