微积分下期末复习题完整版docx.docx

1、微积分下期末复习题完整版docx期末复习题一、填空题f cos2 tdt lim XTO x10、11、12、13、设z = xe2,则 dxdy交换积分次序J*dJ J)dj = _交换积分次序J 2(irJ , f(x,y)dy = 交换积分次序J；心/(x,j)dx =二、选择题p an2x| lnQ +，)d1、极限lim 等于(A) 11-cosx(B) 2(C) 4(D) 8d re2、设一 dxJo(A) -4x2f(t)dt = ex,则 /(x)=( )(B) -一r (C)产 (D) -e-2x3、设/(x)是连续函数，且j/(x)dx = F(x) + C,则必有( )B

2、(A)V(Od/ = F(x) (B) fXF(f)dfr = F(x)J a J a(D) Ft)dt = f(x)-f(a)4、设/(x)在a 0上连续，则/(x)在a 0上的平均值是( )7、()是微分方程jlnxdx+ xlnjdj = 0满足条件，*= =e 2的特解。(A) Inx2 +lnj2 = 0 (B) Inx2 +lnj2 = 2(C)In2 x + ln2 j = 0 (D) In2 x + In2 j =三、计算题1、计算下列不定积分:(1)f dx(2) J x In x dxJin2 xdx(2 x)a/1 x(4)p dx(5) , dxJ 2 / 2 iX x

3、 1(6)j 2x , dxl + cos2xJ 1+Vx + 12、计算下列定积分：(1)n2 ex sinxdxJo jjj InTdx.1 x2 arctanxdxlol + x2(4)广二J。e+3-1 dx Ji dx2(6) f xarctan/l- x2 dxJo2 o/(x-l)dx ex, x0 f34、 设 /(x) = 2 ，求 I f(x-2)dx o1+x2, x0上的点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围成的平面图形D的面积S为。4(1)求点0的坐标；(2)求平面图形D绕x轴旋转一周而成的旋转体体积。4、 为销售某种产品，需要作两种方式的广告，当两种广告的费用分别为x

4、和v时，销售利润的增加是 纹+兰七(万元)。现花25万元用于广告，问怎样分配两种方式的广告费用，可使利润的增加达到 5+ x 10+ y最大?5、 某厂生产产量分别为x和y的两种产品，总成本c(x, j) = x2 + j2 + 4xj- 10x4- 10j + 500,需求函 数分别为x = 70-0.25p, y = 1200.5g, (p,g为产品单价)，且产品需求要受限制x + 2j = 50,求 工厂获最大利润时的产量和单价。6、 设某企业的总产量函数为尸(x,y) = 0.005x2)(吨)，X,)为两种投入要素，其单价分别为1万元/ 吨和2万元/吨，且该企业拥有资金150万元，试

5、求X,)使产量最大。7、 生产某种产品需要三种原料，且产量与A,B,C原料的用量的关系为。=0.005亍队， 巳知三种原料售价分别为1,2,3(万元)，今用2400(万元)购买材料，问应如何进料才能使产量最大？五、证明题n1、 设/*(x)在0,1上连续,证明：/(siitf)dZ = 2jJ/(siitf)dZ o2、 设/*(x)在0,1上连续,证明：x/(sinx)dx = y/(sinx)dx o3、 证明1xw(l-x)ndx= rxn(l-x)mdx .J 0 J 0解答：一、 填空题1.1 2. -2f(2x) 3. 2F(4x + a)-2F(a) 4. -2e-1 5.In2

6、 6. (5-1)27. sinxd- 8. 9. 8 10、 2e 11. f dyf f(xy)dx1-7T 2 J。 Jf(x,y)dxfl x2 f 7 2-x213、odxJo /(x,j)dj+Ji dxJo f(x,y)dy二、 选择题1.C 2.B3、 解选B利用变上限积分函数的导数结合f(x)= f(x),得(A) Xf(t)dt = F(x)-F(a), (C) f,(f)df = F(x)-F(a), (D) f= Fr(x)=/(x), J a J a J a故选(B).4、 解选C1 p b若函数/*(x)在。0上连续，则称 一| /(x)dxj/(x)在。0上的平均

7、值，故选(C).b-aJa5、 解选D设 u = tx,则 x = , dx = -du ,于是Z = 4-/(zx)dx=7(w)dM ,故积分与s有关.应选).Jo J 06、 解选B由于X = et+x sin，可写成坐=-ez sim ,故应选(B). d d# x7、 解选将原方程分离变量并两边积分，得到通解为-ln2x + -ln2 j = C, 2 2代入初始条件，；=e 2 ,得C =一,所求特解为11?工+ 1112，=一。JI x=e2 4 2三、计算题1、计算下列不定积分:解 令 t = Vl x ,则 x = 1-t2 9 dx = -2tdt,于是 r dx _ .

8、一 2, d, J (2-x)Vl-x J (1 + 产)(2)-2, “ , =-2a retain-C = 2a r ct a/ii x + C. J 1 + t2X2 , f X2 1 X2 , 2 八Inx I dx = lux x + C.2 J 2 x 2 4J xln xdx = J lnxd(-)=r sec/tan r v=dx= d= cos，d，= sin，+ C= + C2 -1 J sec? ttant J x解=xtan x-Jtan xdx = xtan x-ln |sec x |+C 2、计算下列定积分：冗 兀 冗 冗 n n解：2 ex sinxdx = f

9、sinxdex = ex sinxlj - f ex cosxdx = e，一口 cosxdexJo Jo 10 Jo Jo丸 n _ 艾 -n=e成一 ex c o xlj + ex s i rrdx = +1- ex s i wdxI o J () J 07T 解得2 ex s i adx = (e，+1).Jo 2 解：原式=-J i lnx dx + J InJF= -xlnx/x-|1 - J i x dln/x-Jd-xlny/x- _ x dln/x1 2 心 3 1 2一 dx + e I 一 dx = 1 H e .2 Ji 2 2e2 2丸 丸t&t = dtan，尸o J

10、 o 2 loH- 1 7T I 1 7T 1 1 94 tan, d, 冗 = Insect H 冗 = ln2 冗。 32 4 1 10 32 4 2 32解设x = silt,兀 2七 兀 四原式=j： s，2 dr = J(csc2，一l)d = 一(cot + )|=1-310,-T_ f2 X 1 = t fl f0 1解/Xx _ Ddx = /()d = d，+Jt J -12 + x. I、 |0 . I 71 、ln|2 + 目+ arcsii = + ln24、 解设x-2 = t,J： f(x-2)dx=J： = /(o dt+Jj(o df = (i+f2)df+J%

11、rd/ = |-|.atj Z .x x f Z irt Ttn f Z5、 解 ; = = Zx = ; 同理，Zv = oz z z+x y j(z + x)6、解 zxIf2x 2y ，z = ， x2 + y2 y x2 + y223 一，) , 二2(尸一2)(亍+乃2，(亍+ 尸。7、 解：g = 2xarctar，=ox x dxoy x + y8、 解：方程两边关于x求偏导，3x2 + 3z2+j = 0 n =-,dx dx dx 3z2 +j方程两边关于求偏导，3z2： + z + y； = 0 n dy dy=e2x(2x + 2j2+4j + l) = 0 1:, ，求

12、得驻点(x,y) = (一,-1),|/；=峪(2)+ 2) = 0 2= fL 1)= 2e 0 , B = = 0, C = fy(, -1) = 2e所以(-,-1)为极小值点，极小值为2 2 2 10、解 原式=J。dxj 2 S 1 W dj = J。( s in xs i ir)dx = (c osr+xcosr siir)= 1-s i 11、解 JJy/1-x2da = J。dxJ。71- x2 dy = xy/1-x2 dx = oD 0 0 0 3V2-1316、解方程改写为1+)3 2WX +1 s 1 IX pl dj = xs i irdx = siii-cod 01

13、 x Jo15、解 分离变量，xdx +jdj = 0,积分得x2 + y2 = C, 将)(3) = 4代入，得C = 25, 所求特解为x2 + y2=25.f dx 1 _i_ejTdx + C (3 分)=Je*dx + C = 17、解 原方程为 V + 2xy = 2xex2,y = e2xdx(| 2xe-x2e2xdxdx + C) = (J 2xdx + C) = e- (x2 +C)2i* 41*218、 解原方程为:x +1 x + 1, dx2 i 4 ,y = e、+i dx + C) = (-x3 + C)J x2 +1 x2+l 319、 解 原方程改写为y，+

14、-y = -,通解为xlnx xJ = e f7m(flj7m7dx + c) = J_flZldx + C = J(lln2 X + C) J x Inx J x Inx 2将j(e) = l代入，得C = L,故所求特解为7 = ?(inx +口)。2 2 Inx四、应用题1、 解 S = J：(&-x2)d* = 5, Vx = -J(Vx)2 -(x2)2dx =po, 1 c o o 22、 解 S= (-x - x)dx = , Vx = tt x -(-x ) dx = _冗Ji 6 J 153、 解(1)设AU,。),。，贝彻线的斜率k = a2,切线方程：y = a2xa切线

15、与x轴交点为(一2已3,0), s= fflj3-(3aj-2a3)dj = -a4 解得a = l, A(l,l).Jo 4 4F = + i- + 2(x + y-25)5+ x 10+ y令 刊= +2 = 0, = +2 = 0, x + y = 25x (5+x)2 J (10+x)2解得唯一驻点x = 15, j = 10由实际意义此时利润的增加最大5、解：目标函数为 L(x,y) = px+qyC = 5, 3y2+290x + 23Qy 4xy500,约束条件x + 2j = 50F 5x2 3y2 + 290x + 230j 4xj500+ 2(x + 2j - 50)令 F

16、x =-10x + 290-4j + 2 = 0, F； =-6j + 230-4x + 22 = 0, x + 2j = 50 解得唯一驻点x = 20, j = 15,此时价格p = 200,g = 210由实际意义，此时利润最大6 解：F(x, j) = 0.005x2 j + 2(x + 2j 150),F； = 0.0 Ixy + 2 = 0, =0.005*2+24 = 0,x + 2y = 150,得 x = 100, y = 25,唯一,由实际问题存在产量最大，即当x = 100, j = 25时产量最大。7、解目标函数 e = 0.005x2,约束条件x + 2j + 3z

17、= 240,F = 0.005x2 jz + A(x + 2y + 3z- 240Q),(3 分)令=0.0 Ixyz + 4 = 0, = 0.005x2z + 2 人=0, = 0.005* 勺 + 3A = 0, dx dy dzx + 2y + 3z = 2400,解得唯一驻点x = 120Qj = 30Qz = 200,由实际问题，此时产量最大。五、证明题n1、 证明：J /(sinx) dx = J2 /(sinx) dx +/(sinx) dx 2七=冗jq 冗 4而 J./(sinx)dx = f(sint) dt = J/(sinx) dx2 n故 j。/(sinx) dx = 22 /(sinx) dx2、 见教材P22例1廿2)3、 证明 j：V(1 - x)dx令1 - X = / = -j：(l- 仃tdl = J(l- t)m tndt = (1 - x)m dx