和差倍问题四年级.docx

1、和差倍问题四年级和差倍问题是指已知几个数的和、差或它们的倍数关系（其中的两项），求 这几个数的应用题。包括和倍问题、差倍问题、和差问题这三类应用题，及可以 转化为这三类应用题的比较复杂的倍数问题。 这几类应用题有比较相似的数量关 系和解题思路， 列方程来解非常简单， 但四年级孩子没有学过方程法解题， 需要 根据数量关系逆向推理， 列综合算式解答。 教学中常常采用画线段图的方法来分 析各种数量间的关系，帮助孩子理解题意，寻找解题途径。解题关键是，要在题目中确定一个数量为标准（常以最小数为标准，即 1 倍量），把标准量看作一份，再根据其它数量与标准量的倍数关系，找出几个数 量的和、差或（和 +差）

2、、（和 - 差）对应的份数，通过除法计算先求出标准量， 再算出其它相关数量。涉及两个数的和差倍问题，最基本数量关系有以下 3 组：1和倍问题：已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求这两个数。和*（倍数+1）=小数；小数X倍数=大数。2差倍问题：已知大小两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。差*（倍数-1）=小数；小数X倍数=大数。3和差问题：已知大小两个数的和与两个数的差，求这两个数。（和+差）- 2=大数；（和-差）十2=小数。在二、三年级奥数课堂已经学过简单的和差倍问题， 本册教材奥赛天天练 用四讲内容来分类讲述复杂一点的和差倍问题： 第 7讲和倍问题、第 8讲差 倍问题、第 9 讲和差

3、问题、第 10讲复杂的倍数问题。 奥赛天天练第 7 讲，模仿训练，练习 1题目】：一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平 方厘米？【解析】：先求出长方形长和宽的和：36- 2=18 （厘米）；把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应的就是3份，所以长方形的宽是：18-(2+1) =6 (厘米)；长是：6X2=12 （厘米）；这个长方形的面积是：12X 6=72 （平方厘米）。奥赛天天练第7讲，模仿训练，练习2【题目】：北京路小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共 300朵。已知红花的朵数比黄花的2倍少30朵。问两种花各有多少朵？【解析】：我们把黄花朵数看作

4、一份，画出线段图如下：黄花朵数,I 1 1纱 卜共300朵红花朵数二（ 十 4J少30星从线段图中可以看出，两种花的总和再添上 30朵，正好对应了 3份。所以黄花朵数为：红花朵数为： 300-110=190（朵）。奥赛天天练第 7 讲，巩固训练，习题 1 【题目】：被除数、除数、商 3 个数的和是 212。已知商是 2，被除数和除数各是多少？ 【解析】：由商是 2，可得被除数与除数的和为： 212-2=210；且被除数是除数的 2 倍。 把除数看着1份，两数和对应的份数是3份，除数为：210-（ 2+1） =70; 被除数为：70 X 2=140。奥赛天天练第 7 讲，拓展提高，习题 1【题目

5、】：5箱苹果和 5箱葡萄共重 75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的 2倍。每箱 苹果和每箱葡萄各重多少千克？【解析】：5箱苹果和 5箱葡萄共重 75千克，平均分成 5 份， 1 箱苹果与 1 箱葡萄重量和为： 75-5=15（千克）。把 1 箱葡萄的重量看作一份，重量为： 15-（2+1） =5（千克）;每箱苹果重量为：5X2=10 （千克）。奥赛天天练第 7 讲，拓展提高，习题 2【题目】：甲、乙、丙 3 数之和是 183，乙比丙的 2 倍少 4，甲比丙的 3倍多 7，求甲、 乙、丙三数各是多少？解析】：我们把丙数看作一份，画出线段图如下:丙数：111乙数；1 1 1 购 少4利是183甲数：

6、T1 11 1 假如我们给乙数添上4凑成2份，甲数减去7凑成3份，则这时候三个数的总和为：183+4-7=180,和对应的份数为：1+2+3=&所以，一份数即丙数为：180- 6=30;乙数为：30 X 2-4=56;甲数为：30 X 3+7=97。1、 在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于 120，而减数是差的 3倍，那么差等 于多少？分析：这是一个和倍问题。减数是差的 3倍，那么被减数就是差的 4倍，所以被减数、减数与差的和就是差的 8倍，应该等于120，所以差=120-8 = 15。解：120- (1 + 3 + 1 + 2 )= 15答：差等于15 o2、 甲、乙、丙共有 100

7、本课外书。甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商 都是5，余数也都是1。那么乙有多少本书？分析：这是和倍问题。可以这样理解， 甲、乙、丙3个数是100，甲是乙的5倍多1,丙是甲的5倍多1，求甲、乙、丙各是几？ ” 即:乙是1倍；甲是乙的5倍多1 ;丙是乙的(5X5) 倍多(1X5 + 1) 6。那么100减去(1 + 6 )的差对应(1+ 5 + 5X5 )倍，这样可求岀乙是多少。解：100 1 ( 1X5 + 1) - (1 + 1X5 + 1X5X5)= 91-31 = 3 (本)答：乙有3本书。3、 用中国象棋的车，马，炮分别表示不同的自然数。如果：车 -马=2，炮-车=4,炮一

8、 马=56，那么车+马+炮”等于多少？分析：这是一个差倍问题。依题有，马是 1倍，车是马的2倍，炮是车的4倍，所以炮与马的倍数差是（2X4 1） 7倍，而炮与马的两数差是 56，根据差倍问题的公式就可分别求岀车、 马、炮的值。解：56 - （ 8 1）= 8马；8X2 = 16车16X4= 64 炮8 + 16 + 64 = 88 车+马+炮答：车、马、炮的和是 884、 甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同，若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学 6天的时间仅相等于甲自学一天的时间。问：甲、乙原计划每天自学多少分钟？分析：差倍问题。原来时间相同，现甲多半小时，乙少半

9、小时，现在的两数差是 （30 + 30 ）60分钟，现在的差数差是（6 1） 5倍，这样可求岀现乙每天自学的时间，加上 30分钟，可得原计划每天自学时间。解：（30 + 30） - （ 6 1 ）+ 30 = 12 + 30 = 42 （分钟）答：原计划每天自学 42分钟。5、 .三个小组共有180人，一、二两个小组人数之和比第三小组多 20人，第一小组比第 二小组少2人，求第一小组的人数。分析：要点：先把一，二小组看成一个整体！把第三小组看成一个整体，我们把这种方法 叫化三为二即把三个问题转换成二个问题，先求岀第一，二小组的人数，再求岀第一小组的 人数。这也是一个和差问题。解：（180 +

10、20）吃=100 （人）第一，二小组的人数（100 2）勺=49 （人）第一小组的人数答：第一小组的人数是 49人。6 有50名学生参加联欢会，第一个到会的女同学同全部男生握过手，第二个到会的女生 只差一个男生没握过手，第三个到会的女生只差 2个男生没握过手，以此类推，最后一个到会的女生同7个男生握过手。问这些学生中有多少名男生？分析：这是和差问题。我们可以这样想：如果这个班再多 6个女生的话，最后一个女生就应该只与1个男生握手，这时，男生和女生一样多了，所以原来男生比女生多（ 71 ）= 6个人！解：（50 + 6）吃=28 （人）。答：男生人数28人。涉及4个或4个以上对象数量关系的复杂和

11、差倍问题。7、有货物108件，分成四堆存放在仓库时，第一堆件数的 2倍等于第二堆件数的一半，比第三堆的件数少 2，比第四堆的件数多 2 .问每堆各存放多少件？分析：如果我们把第一堆看成 1倍，那么可以算岀第二堆就是（ 2X2 ） 4倍，第三堆是2倍多2件，第四堆是 2倍少2件，那么一共就刚好是 1 +4+ 2 + 2 = 9倍（第三堆和第四堆刚好一个多2件一个少2件正好抵消），那么 1倍就是108+9 = 12件，第二堆就是 12X4 = 48件, 第三堆就是 12X2 + 2 = 26件，第四堆就是 12X2-2 = 22件。12X2X2= 48 （件）第二堆；12X2 + 2 = 26 （

12、件）第三堆；12X2 2 = 22 （件）第四堆；答：每堆各有 12件、48件、26件、22件人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少解答：用131 + 134 = 265，这是1个甲、丁和2个乙、丙的总和，因为乙、丙两班的总 人数比甲、丁两班的总人数少 1人，所以用265 1 = 264就刚好是3个乙、丙的和，264+3 =88,就是说乙丙的和是 88，那么甲丁和是 88 + 1 = 89，所以四个班的和是 88 + 89 = 177人。甲厂人数比乙厂少540人，若从两厂各调走600人，乙厂人数恰好是甲厂人 数的4倍，求甲厂原来有多少人?【解析】：“两厂各调走600人”，因调

13、走人数相同，调人前后两厂的人数差没有发生变化。把调走600人后，甲厂人数看作1份，乙厂人数看作4份，两厂人数差还是540人，此时甲厂人数为：540+（ 4-1 ） =180 （人）。甲厂原有人数：180+600=780 （人）。奥赛天天练第8讲，巩固训练，习题1【题目】：有A B、C三根绳子，A、C的长度之和是B的2倍。如果把C剪去6分米,那么A的长度就是B、C长度之和的一半。A与B相比， 比 长 分米。【解析】：这一题因为与A、B比较的标准不同，分别是（A+C和（B+C ,所以A和B的长短无法直接比出。解题的关键是制造出相同的比较标准，再通过等量代换， 得出结论。由题意可得：A+C=2B,

14、即： A+B+C=3；BB+C-6=2A, 即： A+B+C-6=3A。即：3B-3A=6（分米），B-A=2（分米）。所以：A与B相比，B比A长2分米。奥赛天天练第 8 讲，巩固训练，习题 2【题目】：在一个数的后面补上两个“ 0”，得到的新数比原来的数增加了 1980。这个 数是多少？【解析】：把原来的数看作 1 份，原数末尾加两个“ 0”即扩大了 100倍，得到的新数 也就是 100 份，它们的差就是增加的 1980。所以原来这个数为：1980 -（100-1 ） =20。奥赛天天练第 8 讲，拓展提高，习题 1【题目】：食堂里有 94千克面粉， 1 38千克大米，每天用掉面粉和大米各

15、9千克，几 天后剩下的大米是面粉的 3倍？【解析】：因每天用掉的面粉和大米数量相等， 不论经过多少天， 面粉和大米的数量差都不变，仍然是：138-94=44（千克）。我们把几天后剩下的面粉重量看作 1份，大米重量也就是3份，则几天后剩 下面粉：44-( 3-1) =22 (千克)。用掉的面粉总量除以每天用面粉数量，可以得出所求的天数：(94-22 )- 9=8 (天)。奥赛天天练第8讲，拓展提高，习题2【题目】：有A B、C三辆车，C车装的货物是B车的一半，B车比A车少160千克，A 车装的是C车的4倍，A、B、C三辆车共装货物多少千克？【解析】：根据题中的三个条件，C车装的货物最少，我们把C

16、车装的货物看作一份， 画出线段图如下：C车： IB车：I | I 吃 .B车比A车少160千克2 倍 A车二 I | | | | “ 4倍从图中可以看出B车货物就是2份，A车货物就是4份，B车比A车少的160千克对应的份数是2。所以1份数即C车装货物为：160- (4-2 ) =80(千克)。三辆车共装货物：80X( 1+2+4) =560 (千克)。奥赛天天练第9讲，巩固训练，习题1【题目】：小王和小张共买了 20本书，如果小王给小张6本书，那么小王就比小张少 2本书。问小王、小张各买了多少本书？【解析】：我们以小王给小张6本书之后，剩下的本数作为标准，画出线段图如下:小王现有本数给出6本X

17、4本隹本解法一：先求出小王现有本数。小王给小张6本书之后，两人书的总本数不变。以小王现有本数为较小数，小张现有本数为较大数，两数和为 20，两数差为2,则小王现有数：（20-2）十 2=9 （本）。所以，小王买书：9+6=15 （本）；小张买书：20-15=5 （本）。解法二：直接先求小张买书本数。小张增加6本之后比小王现有本数多2本，则小张买书本数比小王现有本数少（6-2=） 4本，所以小张买书本数比小王买书本数少（4+6=） 10本。所以小张买书本数为：（20-10 ）- 2=5 （本）；小王买书：20-5=5 （本）。 第一种解法思路比较简单。奥赛天天练第9讲，巩固训练，习题2【题目】：

18、四（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多 14张，小华得到的选票比小玲多8张。如果这3人共得选票54张，那么他们各得选票多少张?【解析】：小玲得到选票最少，我们以小玲得到选票张数为标准，画出线段图如下：小玲获票张数= ）痢张小华获票张数; 卜屮54张中明获票张数:I Ir可以先求出小玲获票张数，再求出另外两个人的获票张数。观察线段图，把小玲获票张数看作1份，把小华获票张数去掉8张，把小明获票张数去掉（8+14）张，都凑成1份，总张数减少为：54-8-（8+14） =24（张）。所以小玲获票张数为：24- 3=8 （张）；小华获票张数为：8+8=16 （张）；小明获票张数为：16+14=3

19、0（张）。这题也可以把小华获票张数或小明获票张数作为标准， 先求出来，再求出另外两个人的获票张数。奥赛天天练第9讲，拓展提高，习题1【题目】：一位少年短跑选手，顺风跑90米用了 10秒钟。在同样的风速下，逆风跑 70米也用了 10秒钟。问在无风的时候他跑 80米要用多少秒？【解析】：解题之前要明确一点：如果我们以无风时少年跑步速度为标准，在同样的风速下，顺风跑步速度高出标准的米数，与逆风跑步速度低于标准的米数是相等的， 相当与风速。所以无风速度就是顺风速度和逆风速度的平均数。解法一：先求出无风时少年速度：（90- 10+70- 10）十2=8 （米）。再求出无风的时候该少年跑 80米需要的时间

20、：80-8=10 （秒）。解法二：以10秒跑步路程为标准，该少年无风时 10秒跑步路程为：（90+70）十 2=80 （米）。所以，在无风的时候该跑80米要用10秒。第二种解法解答这一题比较简便，但不宜推广，第一种解法是基本解法。如下图，4个一样大的长方形和1个小正方形拼成了 1个大正方形。大正方形的面积是64平方分米，小正方形的面积是 4平方分米，问长方形的宽是几分米？【解析】：对64和4分解因数：64=8X 8; 4=2X 2。所以，大正方形的边长为8,即长方形长与宽的和为8;小正方形的边长为2，即长方形长和宽的差为2。所以，长方形的宽为：（8-2 ）- 2=3 （分米）。奥赛天天练第10

21、讲，模仿训练，练习1【题目】：姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用 48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟，妹妹做算术、英语两门练习共用了 44分钟，那么妹妹做英语练习用了多少分钟?【解析】：“姐姐做自然练习比妹妹做算术练习多用 48分钟，比妹妹做英语练习多用42分钟”，由此可以推出妹妹做算术练习比做英语练习少用时间： 48-42=6 （分钟）。所以妹妹做英语练习的时间为：（44+6）十2=25 （分钟）。奥赛天天练第10讲，模仿训练，练习2【题目】：用中国象棋的车、马、炮分别表示不同的自然数。如果，车十马 =2,炮十车=4,炮-马=56,那么“车+马+炮”等于多少？【解析】：车、马、炮表示的三

22、个数中，马表示的数最小，我们以马表示的数作为标准,画出线段图如下:炮匚1 r *1 11车的4倍把马表示的数看作1份，车表示的数就是2份，炮表示的数就是4个2份, 所以，马表示的数为：56-（ 2X 4-1 ） =8。“车 + 马 + 炮”等于：8X( 1+2+2X 4) =88。奥赛天天练第10讲，巩固训练，习题2【题目】：两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少40人，求参加义务劳动的学生共有多少人？【解析】：把乙组学生人数看作1份，画出线段图如下：乙组二I_II 乙比甲的3倍$40人L 亠 甲组；L_l_I_I X y 甲的3偌甲组学生人数是乙组学生

23、人数的 3倍，则甲组学生人数的3倍就是乙组人数 的（3X 3=） 9倍。所以，乙组人数为：40（ 9-1 ） =5 （人）； 参加义务劳动的学生共有：5X（ 1+3） =20 （人）。奥赛天天练第10讲，拓展提高，习题1【题目】：某镇上有东西两个公交车站，东站有客车84辆，西站有客车56辆，每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车，几天后，东站车辆是西站的 4 倍？【解析】：“每天从东站到西站有7辆车，从西站到东站有11辆车”，则每天东站增加（11-7=） 4辆车，西站减少4辆车，但两站车辆总数不变为：84+56=140（辆）。 要使东站车辆是西站车辆的4倍，西站只能有车辆：140-

24、（4+1） =28（辆）。 用西站需要减少的总车辆数除以每天减少的车辆数，可以得出所求天数：（56-28 ）- 4=7 （天）。所以，7天后，东站车辆是西站的4倍。奥赛天天练第10讲，拓展提高，习题2【题目】：甲、乙、丙三所小学的学生人数的总和为 1999。已知甲校学生人数的2倍 和乙校学生人数减去3人与丙校学生人数加上4人都相等。问甲、乙、丙各校学 生人数是多少？【解析】：把甲校学生人数作为标准，画出线段图：甲校二1_乙尬111卜共1999人丙校:一11Sr1丿 4人把甲校人数看作1份，乙校人数就是2份多3,丙校就是2份少4。我们把1999-3+4=200乙校人数减去3,丙校人数加上4,都凑成2份，则总人数变成: 0 （人）。所以甲校人数为：2000-（ 1+2+2） =400 （人）；乙校人数为：400X 2+3=803 （人）；丙校人数为：400 X 2-4=796 （人）。