数学建模.docx

1、数学建模 编号: A262012年芜湖高校数学建模竞赛参赛队伍选择的题号（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 参赛队员：队员1： 王飞 ( 车辆2101 ) ，学院 机电学院 队员2： 张志诚 （车辆2101） ，学院 机电学院 队员3： ，学院 题目 在油价情况波动情况下的生产计划 摘 要 在实际情况下，市场油价的波动会对工厂的生产计划造成影响，为了研究油价波动对生产计划的影响，本文建立了某市某厂按合同规定完成生产方案的相关数学模型。问题一，在不考虑油价波动的情况下建立了目标规划模型，设油价恒定为 7(元/升)， 得出最小费用为 min z=1184.77 万元。 问题二，考虑油价波动实

2、际情况，我们收集了北京市油2011年波动情况的相关数据，建立了考虑油价波动条件下的目标规划模型，利用 lingo 求出最优解，得出最小费用为min z=1185.896 万元。问题三，在不考虑柴油价格、可以容忍2.5%的缺货的概率情况下，最后我们收集了北京市近几年油价格波动数据，建立了微分方程和目标规划的综合模型。 针对问题四，我们在考虑油价的情况下建立了微分方程和目标规划的综合模型。采用拟合法先将每年份的的油价作出散点图，判断出，大致是一次函数，并利用Matlab编程求解拟合出来的函数，预测下一年的油价。并以此来对问题 3 作出计划安排。 问题五，考虑到汽油价格对其他成本的影响，而其他成本中

3、有25%是物流成本，收集汽油价格与物流价格的数据，发现汽油价格变动与物流价格波动呈正相关，在此条件下分别考虑问题 14，制定了合理的生产计划。 关键词： 目标规划 正态随机分布 生产能力 价格波动 数值拟合 一 问题重述某市某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供A万,B万,C万,D万台同一规格的机器。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示，如果生产出的产品当季不交货，每万台积压一个季度需储存、维护等费用0.15 万元。生产成本表第一季度A第二季度B第三季度C第四季度D生产能力（万台）25353010需求（万台）10152520每万台耗0号柴油（升）1000800800100

4、0其他成本（万元/万台）131212101. 不考虑油价波动(四个季度的油价都一样)，建立一个数学模型，使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。2. 考虑油价格波动的实际情况，收集2011年某市（自己选定某一城市或加油站）0号柴油变化情况，重新对问题一建立数学模型，要使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。3. 若根据以往经验，由于市场需求的变化，各季度需求是正态随机变量，若第一季度需求服从，第二季度需求服从，第三季度需求服从，第四季度需求服从，请在此假设下，不考虑柴油价格，可以容忍2.5%的缺货的概率情况下，对该厂的2012年生产计划作出安排。4. 收集近几年的0号柴油价格波动数据，不考

5、虑汽油价格对其他成本的影响，对2012年的柴油价格作预测，并以此来对问题3作出计划安排。5. 若考虑到汽油价格对其他成本的影响， 请收集汽油价格与物流价格的数据（可以不局限于该市），建立汽油价格变动幅度与物流价格波动幅度之间的数学模型，若其他成本中有25%是物流成本，在此假设下分别考虑问题14。二、问题分析由于厂家的生产能力大于市场的需求能力,因此厂家必须进行资源优化,合理安排生产产品的数量。使销售利润达到最大,此问题可以根据线性规划来做。问题中油价波动和物流价格的波动都可以看成约束条件。根据约束条件的不同,厂家的生产能力应做一定的调整。问题一，不考虑油价变化，利用目标函数求最优解，使总费用最

6、低。问题二，在考虑油价波动变化的实际情况下，建立了考虑油价波动条件下的目标规划模型，利用 lingo 求出最优解。问题三，在不考虑柴油价格、可以容忍2.5%的缺货的概率情况下，最后我们收集北京市近几年油价格波动数据，建立了微分方程和目标规划的综合模型。 针对问题四，我们在考虑油价的情况下建立了微分方程和目标规划的综合模型。采用拟合法先将每年份的的油价作出散点图，判断出，大致是一次函数，并利用 Matlab 编程求解拟合出来的函数，预测下一年的油价。并以此来对问题 3 作出计划安排。问题五，考虑到汽油价格对其他成本的影响，而其他成本中有25%是物流成本，收集汽油价格与物流价格的数据，发现汽油价格

7、变动与物流价格波动呈正相关，在此条件下分别考虑问题 14，制定了合理的生产计划。 三、模型假设1、工厂去年没有存货；2、工厂每季度生产的产品的合格率保持稳定；3、工厂在生产过程中，生产能力不受季节、天气等环境因素的影响只取决于工时。4、工厂的员工能按时（不允许请假，迟到或早退）上班；5、每万台每积压一个季度需储存、维护等费用保持不变；6、积压下来的机器各方面性能保持完好，不影响出售。 四、符号说明ki表示第i 个季度生产每台柴油机消耗 0 号柴油(升)的量 hi表示第 i 个季度每吨 0 号柴油的价格 ai表示第 i 个季度市场的需求量(台)qi表示第 i 个季度的其它成本 m表示每台柴油机每

8、积压一天所需要的储存和维护费用t 表示柴油机的合计储存时间(天)si-1上个季度所积压的柴油机Q 积压的柴油机储存的时间 五、模型建立与求解5.1.1 问题一 在不考虑油价波动，仅要求在完成合同的情况下，使该厂的全年生产费用最低，利 用目标规划得到最优分配生产方案。5.1.2 模型的建立目标函数： min z = ( 1 )约束条件： 5.1.2 模型求解代入数据 ki=(0.1,0.08,0.08,0.1) ai=(250000,350000,300000,100000) qi =(130000,120000,120000,100000) 对问题一模型求解，在不考虑油价的情况下， （1）式中

9、影响费用的因素只有货物的储存时间，即我们可以将（1）式的最小转化为求（2）式 min T = （2）5.1.3 生产安排： 第一季度需要在最大保持每天最大生产能力下，工厂最少需要 65 天完成生产，为使储存和维修费用最少即存储的天数最少，固根据模型我们计划工厂 1 月 1 号1 月 24 号安排所有员工休息。 1 月 25 号3 月 30 号，工厂每天都在最大生产能力下生产。 第二季度由于需求量要在最大生产条件下才能满足，所以第二季度 4 月 1 号6 月 30 号每天按照最大生产能力下生产。 第三季度需要在最大保持每天最大生产能力下，工厂最少需要 78 天完成生产，为使储存和维修 费用最少即

10、存储的天数最少，固根据模型我们计划工厂7 月 1 号7 月 12 号安排所有员工休息。 7 月 13 号9 月 30 号，工厂每天都在最大生产能力下生产。 第四季度需要在最大保持每天最大生产能力下，工厂最少需要 26 天完成生产，为使储存和维修 费用最少即存储的天数最少，固根据模型我们计划工厂 10 月 1 号12 月 4 号安排所有员工休息。 12 月 5 号12 月 31 号，工厂每天都在最大生产能力下生产。 不考虑油价波动使费用最小下安排生产的方式（表一）季度休息停产时间最大生产力条件下生产的时间第一季度1月1号-1月24号 1月25号-3月31号第二季度没有4月1号-6月30号第三季度

11、7月1号-7月12号 7月13号-9月30号 第四季度10月1号-12月4号12月5号-12月31号5.2 问题二 2011 年北京市油价日期地区90号汽油93号汽油97号汽油0号柴油2011.1.1北京市6.587.657.937.72011.1.15北京市6.587.657.937.72011.2.1北京市6.587.657.937.720112.15北京市6.587.657.937.442011.3.1北京市6.587.657.937.442011.3.15北京市6.587.657.937.442011.4.1北京市6.587.657.937.442011.4.15北京市6.587.65

12、7.937.792011.5.1北京市6.587.657.937.792011.5.15北京市6.587.657.937.792011.6.1北京市6.587.457.937.792011.6.15北京市6.587.458.367.792011.7.1北京市6.587.458.367.792011.7.15北京市6.587.458.367.792011.8.1北京市6.587.458.367.792011.8.15北京市6.587.458.367.792011.9.1北京市6.587.638.367.792011.9.15北京市6.587.638.367.792011.10.1北京市6.587

13、.638.367.792011.10.15北京市6.587.638.17.532011.11.1北京市6.587.078.17.532011.11.15北京市6.587.178.17.532011.12.1北京市6.587.198.17.532011.12.15北京市6.587.458.17.532011.12.30北京市6.587.778.17.53目标函数： min z = 约束条件： 代入数据 ki=(0.1,0.08,0.08,0.1) ai=(250000,350000,300000,100000) qi=(130000,120000,120000,100000) 程序见附录在引入油

14、价波动的价格变量后，最小费用由油价和储存维修费用共同决定。根据北 京市 2011 年油价波动情况表，结合模型容易知道，货物在储存一个季度后增长的维修 和储存费用远远高于北京市季度油价的差值，所以在基于北京市油价波动中，生产方式 任然按照表一的生产方式生产，即表（2） 。考虑油价波动使费用最小下安排生产的方式（表 2）季度休息停产时间最大生产力条件下生产的时间第一季度1月1号-1月24号 1月25号-3月31号第二季度没有4月1号-6月30号第三季度7月1号-7月12号 7月13号-9月30号 第四季度10月1号-12月4号12月5号-12月31号5.3 问题三 目标函数：约束条件：由 matl

15、ab 画出的需求正态分布图我们得出了如下的生产计划安排 5.3.2 不考虑油价波动情况下基于需求曲线的生产计划安排 5.4问题四 以下是有关近几年 0 号柴油油价波动相关数据： 产品（单位：元/升）调整时间调整类别 90#汽油 93#汽油 97#汽油 0#柴油现价涨跌现价涨跌现价涨跌现价涨跌2012.03.20上调8.330.488.870.518.310.522012.02.08上调7.850.228.360.267.290.262011.10.09下调7.13-0.127.63-0.228.10-0.267.53-0.262011.04.07上调7.850.408.360.437.790.

16、352011.04.07上调7.450.287.930.307.440.302010.12.22上调7.170.257.630.266.880.192010.10.26上调6.920.187.370.206.880.102010.06.01下调6.74-0.187.17-0.206.69-0.192010.04.14上调6.926.267.370.286.880.282009.11.10上调6.660.387.090.416.600.412009.09.30下调6.28-0.156.68-0.177.23-0.176.19-0.162009.09.02上调6.430.246.850.266.3

17、50.262009.07.29下调6.19-0.186.59-0.196.09-0.192009.06.30上调6.370.486.780.516.280.522009.06.01上调5.510.305.890.336.270.355.760.342009.03.25上调5.210.225.560.235.920.245.420.162009.01.15下调4.995.33-0.115.68-0.125.26 2009 年每月油价（元） 月份1月15日2月15日3月15日4月15日5月15日6月15日 油价5.265.265.265.425.425.76 月份7月15日8月15日9月15日10

18、月15日11月15日12月15日 油价6.286.096.356.196.606.60 2010 年每月油价（元） 月份1月15日2月15日3月15日4月15日5月15日6月15日油价6.606.606.606.886.886.69月份7月15日8月15日9月15日10月15日11月15日12月15日油价6.696.696.696.996.886.88 2011 年每月油价（元） 月份1月15日2月15日3月15日4月15日5月15日 6月15日油价7.147.147.147.797.797.79月份7月15日8月15日9月15日10月15日11月15日12月15日油价7.797.797.79

19、7.537.537.53根据 2009、2010、2011 三年的油价变动数据，用 matlab 进行插值拟合 作 2009、 2010、 2011 三年油价的散点图 （1-12、 13-24、 25-36、 37-48 分别表示 2009、 2010、 2011、 2012 年 1-12 月）从图中可以发现油价几乎是直线上升的，因此我们可以利用 y = a1x + a0 作为拟合函 数来预测 2012 年的油价，编写程序： i=37:1:48； x0=1：1：36； y0=5.26 5.26 5.26 5.42 5.42 5.76 6.28 6.09 6.35 6.19 6.60 6.60

20、6.60 6.60 6.60 6.88 6.88 6.69 6.69 6.69 6.69 6.69 6.88 6.88 7.14 7.14 7.44 7.79 7.79 7.79 7.79 7.79 7.79 7.53 7.53 7.53 ; a=polyfit(x0,y0,1) Yi=polyval(a,i) 由于油价在每个月内的波动较小，因此我们对 2012 年月油价进行预测得到表3 2012 年每月油价（元）（表 3）月份1月15日2月15日3月15日4月15日5月15日6月15日油价8.03348.10388.17428.24468.3158.3854月份7月15日8月15日9月15日

21、10月15日11月15日12月15日油价8.4588.52628.59668.66718.73758.8079由 matlab 拟合的到的油价波动函数为： y=0.0023x+7.9984 又因为没台柴油机耗油最少 0.08L，所以每台柴油机每天增加的油价成本为 0.000184， 而每天柴油机每多存储和维护一天所增加的成本为 0.001667。 因此存储和维 护的成本远大于油价增长所带来的成本。所以在满足需求下，当个季度尽量不多生产。 所以问题四在基于油价增长的生产安排同问题三如下： 5.5问题五 通过收集数据可得油价及省内重点物流价格如表 6： 年 份 2004 2005 2006 200

22、7 2008 2009 2010油价 3.46 3.92 4.65 5.34 5.84 6.00 6.42物流价格 6 8 10 10 11 13 15通过 Matlab 拟合散点图： 程序如下： x=3.46 3.92 4.65 5.34 5.84 6.00 6.42; y=6 8 10 10 11 13 15; plot(x,y,*)由散点图知油价的上涨导致物流价格的上涨，而它们的波动幅度也具有很大的相关 性。通过最小二乘法拟合出油价与物流的函数； Matlab 程序： x=3.46 3.92 4.65 5.34 5.84 6.00 6.42; y=6 8 10 10 11 13 15;

23、r=ones(7,1),x; ab=lsqlin(r,y); x0=3.46:0.15:6.42; y0=ab(1)+ab(2)*x0; plot(x,y,*,x0,y0,g) ab(1)=-2.56,ab(2)=2.55;即油价与物流价格的函数为： y = 2.55 x - 2.56 （式中：y 物流价格，x 为油价）所以其它成本为 4 y = 10.2 x - 10.24 在此条件下，考虑 1-4，只要将其它成本变成 x(此种 x 为 1-4 中的 a)的函数。在目标函数中都有： y = (1000a1 x1 + 800a2 x2 + 800a3 x3 + 1000a4 x4 ) /100

24、00 + (10.2a1 -10.24) x1 + (10.2a2 - 10.24) x2 + (10.2a3 -10.24) x3 + (10.2a4 - 10.24) x4 ) /10000 + (4 x1 + 3x2 + 2 x3 + x4 - 155) 而其它约束条件都不改变，所以只是其它成本中也是关于油价的函数。 5.5.1 模型分析及结果分析 在此模型中较为简便，却具有很强的代表性，利用函数间接表示油价与物流价格的 波动幅度关系。在此问题五假设对于问题 1-4 只需要其它成本改为油价变化的函数，这 样的结果具有广泛性、较强的应用性及普遍性。 六、模型的评价、改进及推广 6.1 模型

25、评价 （1）在我们合理的假设下使得问题得以解决。 (2）能对短期几年的生产做出计划。 （1）由于所找数据太少以致在统计数据时不是很准确，又由于计算机模拟带有一 定的随机性，以致得到模型的结果不能很好。6.2 模型改进 （1）查询更多的数据，使得拟合结果更能符合现实。（2）建立动态规划模型。使所建模型能准确的对之后几年的生产做出计划。6.3 模型推广我们建的模型不仅可用于油价波动情况下的工厂生产计划生产，也可用于其它资源 的计划，还可用于诸如像采购模型的其它类型的问题。七、参考文献 1姜启源 谢金星 叶俊 数学模型（第三版） ，北京：高等教育出版社，2003. 2徐全智 杨晋浩，数学建模，北京：

26、高等教育出版社，2003. 3http/ 4http/ 5 6 附录： x=1:90; y=gaussmf(x,2 10);plot(x,y)hold on x=90:180;y=gaussmf(x,3 105); plot(x,y) hold on x=180:270; y=gaussmf(x,5 205);plot(x,y) hold on x=270:360; y=gaussmf(x,4 290); plot(x,y) hold on x=1:360; y=35/90; plot(x,y) x=15 45 75 105 135 165 195 225 255 285 315 345; y=8.033 8.1038 8.1742 8.2466 8.3150 8.3854 8.4558 8.5262 8.5966 8.6671 8.7375 8.8079 ; m=polyfit(x,y,1) y1=0.0023*x+7.9984; plot(x,y1) hold on